Respuestas-Técnicas-de-Conteo

Reglas de la suma y el producto
1.
¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada
palabra comience y termine en consonante?
C
V
C
--- --- --5
3
2.
5.3.4 = 60
(regla del producto)
4
Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que
a.
ningún dígito se pueda repetir.
9
9
8
7
6
5
--- --- --- --- --- --9.9.8.7.6.5 = 136.080
b.
(regla del producto)
se pueden repetir los dígitos.
9.10.10.10.10.10 = 900.000
3.
(regla del producto)
Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería, justo antes de que sonara una
alarma contra robos. Cuando fueron interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información
acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos). María estaba segura de que la
segunda letra de la placa era una O o una Q, y que el último dígito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra
de la placa era una C o una G y que el primer dígito era definitivamente un 7.
¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?
C/G
Q/O
7
0 a 9
0 a 9
8 ó 3
-----
-----
-----
-----
-----
-----
|
|
|
|
2
4.
|
x
2
x
1
x
10
x
10
|
x
2 = 800
(regla del producto)
Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido.
a.
¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C?
2 + 4.3 = 14 (reglas de la suma y del producto)
b.
¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al pueblo C y de regreso al pueblo A?
14.14 = 196 (regla del producto)
c.
¿Cuántos de los trayectos completos de la parte (b) son tales que el viaje de regreso (del pueblo C al
pueblo A) es diferente, al menos parcialmente, de la ruta que toma Juan del pueblo A al pueblo C? (Por
ejemplo, si Juan viaja de A a C por las rutas R1 y R6 podría regresar por las rutas R6 y R2, pero no por
R1 y R6).
1
14.13 = 182 (regla del producto)
Permutaciones
1.
a.
¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
P8 = 8! = 40.320.
b.
¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a?
P7 = 7! = 5.040.
c.
¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a y terminan con la letra c?
P6 = 6! = 720.
2.
¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de modo que ninguna e quede junto a otra?
e _ e _ e _ e _ e
P4 = 4! = 24
3. Con los dígitos impares, ¿cuántos números de 5 cifras distintas puedes formar? ¿Cuáles son esos números?
Planteamiento:
1º: Los dígitos primos son {1, 3, 5, 7, 9}.
Es decir, disponemos de 5 (n=5) elementos y vamos a formar agrupaciones con 5 de ellos (p=5).
2º: ¿Influye el orden en el que colocamos los elementos? Si, son permutaciones
3º: ¿Se pueden repetir los elementos? No, no hay repetición alguna
4º: ¿Usamos todos los elementos de que disponemos? Si.
Solución.
Se trata de PERMUTACIONES sin repetición de esos 5 elementos, es decir, 5! = 120 (números). Esas permutaciones, es
decir, los números son: -13579-13597-13759-13795-13957-13975-15379-15397-15739-15793-15937-15973-1735917395-17539-17593-17935-17953-19357-19375-19537-19573-19735-19753-31579-31597-31759-31795-31957-3197535179-35197-35719-35791-35917-35971-37159-37195-37519-37591-37915-37951-39157-39175-39517-39571-3971539751-51379-51397-51739-51793-51937-51973-53179-53197-53719-53791-53917-53971-57139-57193-57319-5739157913-57931-59137-59173-59317-59371-59713-59731-71359-71395-71539-71593-71935-71953-73159-73195-7351973591-73915-73951-75139-75193-75319-75391-75913-75931-79135-79153-79315-79351-79513-79531-91357-9137591537-91573-91735-91753-93157-93175-93517-93571-93715-93751-95137-95173-95317-95371-95713-95731-9713597153-97315-97351-97513-97531-
Combinaciones
1.
Un estudiante que realiza un examen debe responder 7 de las 10 preguntas. El orden no importa. ¿De cuántas
formas puede responder el examen?
Existen
10
10!
10.9.8
C7 = --- = ------ = 120
2
7!3!
3.2.1
combinaciones posibles de preguntas que puede contestar.
2.
Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su casa, sólo puede invitar a 11 de
sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede seleccionar a los invitados?
Hay
20
20!
C11 = ---- = 167.960
11!9!
formas de elegir a los 11 amigos.
3.
En una reunión de 6 personas, ¿cuántos saludos de mano pueden intercambiarse, si entre cada 2 personas, se
dan la mano una sola vez?
6
6!
6.5
C2 = ---- = --- = 15
2!4!
2
1) a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de
limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8
mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4
hombres por lo menos?
Solución: a. n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!
= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!
= 2002 grupos
4. En la primera ronda de un campeonato de ajedrez cada participante debe jugar contra todos los demás una sola
partida. Participan 23 jugadores. ¿Cuántas partidas se disputarán?
Planteamiento:
1º: Se trata de formar parejas, ¿no?. Cada pareja representa una partida.
Es decir, disponemos de 23 (n=23) elementos y vamos a formar agrupaciones con 2 de ellos (r=2).
2º: ¿Influye el orden en el que colocamos los elementos?
3º: ¿Se pueden repetir los elementos?
4º: Ahora que tenemos claras las respuestas, ya podemos hallar la solución.
Son combinaciones sin repetición de 23 elementos tomados de 2 en 2, es decir: 253.
1. Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos
maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de
concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de
construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
3
El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas
posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.
2. ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben
ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir
letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las
placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.
Solución:
a.
a.
Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar
b.
b.
26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil
c.
c.
1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil
d.
d.
1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil
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