UNIDAD 5 ANÁLISIS COMBINATORIO

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UNIDAD 5
ANÁLISIS COMBINATORIO
La capacidad de identificar y contar los puntos muestrales de un experimento es un paso
importante para comprender lo que puede suceder con él.
Las técnicas de conteo son aquellos métodos que son usados para enumerar eventos
difíciles de cuantificar.
Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y
el aditivo, los cuales se definen a continuación:
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO: Si un experimento se puede describir como
una sucesión de k etapas, en las que hay n1 resultados posibles en la primera etapa, n2
en la segunda, etc., la cantidad total de resultados experimentales es igual a
n1*n2*....*nk. Esto es, la cantidad de resultados del experimento es el producto de las
cantidades de resultados posibles en cada etapa.
Ejemplo 5.1.
Con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse si
a) no se pueden repetir dígitos?
b) si el primer dígito debe ser impar, el segundo debe ser 8 y no puede repetirse dígito?
Solución:
a) 7*6*5 = 210 (el primer número puede escogerse de 7 formas, una vez escogido ese
quedan 6 posibilidades y posteriormente 5)
b) 3*1*5 = 15 (el primer número puede escogerse entre 3 posibilidades –3, 5 o 7-, para
el segundo no hay posibilidad de escoger y el último debe ser diferente a los dos
anteriores)
PRINCIPIO ADITIVO: Si se desea llevar a cabo una actividad que tiene formas
alternativas para ser realizada, donde la primera de ellas puede hacerse de M maneras, la
segunda alternativa puede hacerse de N formas… y la última de las alternativas puede
hacerse de W formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de M + N +
.........+ W formas.
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando
del aditivo?
Es muy simple: Cuando se trata de una sola actividad que debe ser llevada a cabo
en una serie de pasos, se hace uso del principio multiplicativo y si la actividad a
desarrollar tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio
aditivo.
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Sin embargo, muchas veces lo importante es cuantificar todos los posibles arreglos de
un grupo de objetos.
Un arreglo puede distinguirse de otro por:
Número de elementos.
Clase o naturaleza de los elementos.
Orden de los mismos.
Según estos criterios, pueden presentarse variaciones, permutaciones y combinaciones.
VARIACIONES: Agrupación de n elementos en grupos de r. Implica ordenación de los
elementos (importa el orden).
a) Sin repetición: Todos los elementos son distinguibles.
V( n, r ) 
n!
(n  r )!
Ejemplo 5.2.
¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar si no se puede repetir ninguna cifra?
Solución:
El primer dígito puede ser cualquiera, excepto el cero y los tres restantes pueden
elegirse de V(9,3) formas; por lo tanto:
Cantidad de números = 9 *
9!
 4536
6!
b) Con repetición: Cuando los elementos se pueden repetir indefinidamente.
V ´´(n, r )  nr
( r puede ser mayor o menor que n)
Ejemplo 5.3.
Una prueba de opción múltiple consta de cinco preguntas, cada una con cuatro
respuestas posibles de las que sólo una es correcta.
a) ¿De cuántas formas diferentes puede elegir un estudiante una respuesta a cada
pregunta?
b) ¿De cuántas maneras puede escoger un estudiante una respuesta a cada pregunta y
tener mal todas las respuestas?
Solución:
a) 45 = 1024
b) 35 = 243
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PERMUTACIONES: Es un caso especial de las variaciones que se da cuando n = r.
a)
Todos los elementos diferentes:
Pn  n!
Ejemplo 5.4.
Un proceso de manufactura está formado por 10 operaciones.
a) Si estas pueden efectuarse en cualquier orden ¿cuántas secuencias de producción
distintas son posibles?
b) Cinco de ellas deben terminarse antes de que pueda darse inicio a las otras cinco;
dentro de cada conjunto de cinco, las operaciones pueden efectuarse en cualquier
orden. ¿Cuál es el número de secuencias de operaciones distintas posible?
Solución:
a) 10! = 3628800
b) 5! * 5! = 14400
b)
No todos son distinguibles: Si hay a elementos de una clase, b de otra y c de una
tercera:
n!
Pn 
a!b!c!
Ejemplo 5.5.
Una pieza se etiqueta mediante la impresión de 4 líneas delgadas, 3 líneas medianas y 2
líneas gruesas. Si cada ordenamiento de las 9 líneas representa una etiqueta diferente,
¿cuántas etiquetas distintas pueden generarse con este esquema?
Solución:
9!
 1260
4!3!2!
COMBINACIONES: Implica selección de los elementos sin importar el orden.
n
 n
n!
Cr    
 r  (n  r )!r!
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Ejemplo 5.6.
En una empresa se formará un comité de planeación a largo plazo con el encargo de
desarrollar un plan quinquenal estratégico para que la empresa ingrese al mercado de un
nuevo producto. El presidente ha identificado a 7 gerentes hombres capacitados como
candidatos para el comité y a 5 mujeres igualmente capacitadas, ¿de cuántas maneras se
puede formar el comité de tres miembros
a) si se exige que haya por lo menos una mujer en él?
b) si Natalia, una de las gerentes, tiene que estar en el comité?
Solución:
a) Podría suceder que en el comité haya sólo una mujer, o dos o tres. El número total de
posibles selecciones es:
 5   7   5  7   5 
  *           185
 1   2   2  1   3 
El problema también podría enfocarse como la resta entre todos los casos posibles
( 12 C3 ) y los casos en que los tres seleccionados sean hombres ( 7C3 ), así:
12  7 
      185
 3   3
b) En ese caso quedarían únicamente 11 personas seleccionables y dos cupos
disponibles; por lo tanto, el número de formas posibles:
11
   55
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. A un inversionista le ofrecen dos acciones: A y B. Cada una puede aumentar o
disminuir de valor o permanecer inalterada. El experimento consiste en invertir en
las dos acciones y observar el cambio en su valor (si lo hay).
a) ¿Cuántos resultados experimentales son posibles?
b) Trace un diagrama de árbol para el experimento.
c) ¿Cuántos de los resultados experimentales originan un aumento en el valor de al
menos una de las acciones?
d) ¿Cuántos de los resultados experimentales originan un aumento en el valor de
ambas acciones?
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2. Un inversionista que revisa el desempeño de seis acciones seleccionará dos de ellas
para invertir. ¿Cuántas combinaciones alternativas deberá tener en cuenta?
3. En una empresa se formará un comité de planeación a largo plazo con el encargo de
desarrollar un plan quinquenal estratégico para que la empresa ingrese al mercado
de un nuevo producto. El presidente ha identificado a 7 gerentes capacitados como
candidatos para el comité, ¿de cuántas maneras se puede formar el comité de tres
miembros?
4. El muestreo aleatorio simple usa una muestra de tamaño n tomada de una población
de tamaño N para obtener datos y hacer inferencias sobre las características de una
población. Supongamos que tenemos una población de 50 cuentas bancarias y que
deseamos tomar una muestra aleatoria de cuatro para caracterizar la población.
¿Cuántas muestras aleatorias distintas es posible formar con cuatro cuentas?
5. Una empresa desea aumentar sus operaciones construyendo dos fábricas en la parte
occidental del país. Se han identificado ocho posibles lugares y están siendo
evaluados. ¿Cuántas combinaciones de dos lugares son posibles?
6. Se van a usar los números del 0 al 9 en grupos de cuatro para hacer códigos para
identificar prendas de vestir. Si no se puede usar el mismo número dos o más veces
en una secuencia, ¿cuántos códigos se pueden obtener? (El primer dígito puede ser
0)
7. Al departamento de marketing se le encargó de diseñar códigos de colores para las
42 líneas diferentes de discos compactos que vende la empresa. Van a usar tres
colores para cada CD, pero una combinación de tres colores usada para un CD no se
puede reordenar y emplearse para un CD diferente. Eso significa que si usaron
verde, amarillo y violeta para identificar una línea, cualquier otra combinación de
esos tres colores no se puede usar para identificar otra línea. ¿Serían suficientes 7
colores tomados de a 3 para codificar las 42 líneas?
8. ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar con los números del 0 al 9 a)
permitiendo repeticiones
b) sin repeticiones c) si el último dígito debe ser cero
y no se permiten repeticiones?
9. ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos
0, 1, 2, 4, 6 y 9?, si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.
10. Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de
dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los
números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y
números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las
claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas
de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número
impar?
11. Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto;
aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos
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ganados será el que gane el torneo. ¿De cuántas maneras puede ser ganado este
torneo?
Respuestas:
1. a) 9 c) 5 d) 1
2. 15
3. 35
4. 230300
5. 28
6. 5040
7. No
8. a) 9000 b) 4536 c) 504
9. a) 120 b) 216
10. a) 67600000 b) 19656000 c) 75600 d) 15120
11. 10