002 Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos: y = 2x3

Curso ON LINE
002
Tema 7
Dada la función y = 2x3 - 9x2 + 12x - 3, calcula:
(a) Dominio de la función.
(b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(c) Puntos máximos y mínimos.
(d) Puntos de inflexión.
(e) Concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo.
(f) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
2B
RESOLUCIÓN
Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos:
y = 2x3 - 9x2 + 12x - 3
y' = 6x2 - 18x + 12
y'' = 12x - 18
y''' = 12
RESOLUCIÓN apartado a
Al tratarse de una función polinómica sencilla:
Dom (y) = (- ∞, + ∞) = { ∀x∈ℜ}
RESOLUCIÓN apartado b
Una función "y" se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que
estrictamente decreciente cuando verifica y'< 0
y'> 0 y
Estudiamos el signo de esta nueva función derivada, para lo que factorizaremos el polinomio:
MÉTODO I
x=
18 ± 182 − 4 ⋅ 6 ⋅ 12
2⋅6
18 ± 324 − 288
=
12
18 ± 36
=
12
18 + 6

 x1 = 12 = 2
= 
 x = 18 − 6 = 1
 2
12
MÉTODO II
6
- 18
6
- 12
12
0
1
6
2
6
12
- 12
0
6·(x - 1)(x - 2)
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 1
x = 2
Estos 2 valores determinan 3 intervalos en la recta real:
¿?
¿?
¿?
1
ℜ
2
6·(x - 1)(x - 2)
y'
y
x<1
-·- → +
y' > 0
Estrictamente creciente
1<x<2
+·- → -
y' < 0
Estrictamente decreciente
x>2
+·+ → +
y' > 0
Estrictamente creciente
La función es estrictamente creciente para x < 1 ∨ x > 2
para 1 < x < 2
y estrictamente decreciente
RESOLUCIÓN apartado c
La función "y" alcanzará un máximo o un mínimo cuando y'= 0
y' = 6x2 - 18x + 12 = 0
según acabamos de calcular en el apartado anterior:
x1 = 1 ¿Máximo o mínimo?
www.classpad.tk
x2 = 2 ¿Máximo o mínimo?
www.abelmartin.tk
www.aulamatematica.tk
1
 Abel Martín
"Estudio local de una función"
Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda:
y'' = 12x - 18
y''(1) = 12·1 - 18 = - 6 < 0
MÁXIMO
y''(2) = 12·2 - 18 = 6 > 0
MÍNIMO
Veamos cuáles son esos puntos:
y = 2x3 - 9x2 + 12x - 3
y(1) = 2·13 - 9·12 + 12·1 - 3 = 2
MÁXIMO (1, 2)
3
2
y(2) = 2·2 - 9·2 + 12·2 - 3 = 1
MÍNIMO (2, 1)
RESOLUCIÓN apartado d
Para que haya un punto de inflexión la primera condición es que y''= 0
y'' = 12x - 18 = 0
x = 18/12 = 9/6 = 3/2 = 1.5
¿Habrá un punto de inflexión para x = 1.5?
y''' = 12
y''' = 12 → y''' ≠ 0
→ Punto de inflexión
y = 2x3 - 9x2 + 12x - 3
y(1.5) = 2·1.53 - 9·1.52 + 12·1.5 - 3 = 1.5
PUNTO DE INFLEXIÓN (1.5, 1.5)
RESOLUCIÓN apartado e
Para el estudio de la concavidad de una función se estudia el signo de la derivada segunda de
dicha función:
f''(x) > 0
Cóncava hacia arriba (cóncava)
f''(x) < 0
Cóncava hacia abajo (convexa)
y'' = 12x - 18 = 0
x = 1.5
Este valor determina 2 intervalos en la recta real
¿?
¿?
ℜ
1.5
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos intervalos
12x - 18
y''
y
x < 1.5
–
y'' < 0
Cóncava hacia abajo (convexa)
x > 1.5
+
y'' > 0
Cóncava hacia arriba (cóncava)
La función es cóncava hacia abajo para x < 1.5, cóncava hacia arriba para x>1.5, presentando un
punto de inflexión en (1.5, 1.5)
COMPROBACIÓN VISUAL con la CALCULADORA GRÁFICA
2
Matemáticas y TIC