estudio local de una función estudio local de una función

DP. - AS - 5119 – 2007
Matemáticas
ISSN: 1988 - 379X
ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN
002
Dada la función y = 2x3 - 9x2 + 12x - 3, calcula:
(a) Dominio de la función.
(b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(c) Puntos máximos y mínimos.
(d) Puntos de inflexión.
(e) Concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo.
(f) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
2B
RESOLUCIÓN
Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos:
y = 2x3 - 9x2 + 12x - 3
y' = 6x2 - 18x + 12
y'' = 12x - 18
y''' = 12
RESOLUCIÓN apartado a
Al tratarse de una función polinómica sencilla:
Dom (y) = (- ∞, + ∞) = { ∀x∈ℜ}
RESOLUCIÓN apartado b
Una función "y" se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que
estrictamente decreciente cuando verifica y' < 0
y'> 0 y
Estudiamos el signo de esta nueva función derivada, para lo que factorizaremos el polinomio:
MÉTODO I
x=
18 ± 182 − 4 ⋅ 6 ⋅12
2⋅6
18 ± 324 − 288
=
12
18 ± 36
=
12
18 + 6

 x1 = 12 = 2
= 
 x = 18 − 6 = 1
 2
12
MÉTODO II
6
- 18
6
- 12
12
0
1
6
2
6
12
- 12
0
6·(x - 1)(x - 2)
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 1
x = 2
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos valores
-·-
+·+
+·1
+
Creciente
Decreciente
2
+ℜ
Creciente
La función es estrictamente creciente para x < 1 ∨ x > 2
para 1 < x < 2
y estrictamente decreciente
RESOLUCIÓN apartado c
La función "y" alcanzará un máximo o un mínimo cuando y'= 0
y' = 6x2 - 18x + 12 = 0
según acabamos de calcular en el apartado anterior:
x1 = 1 ¿Máximo o mínimo?
x2 = 2 ¿Máximo o mínimo?
Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda:
y'' = 12x - 18
www.aulamatematica.com
1
 Abel Martín
y''(1) = 12·1 - 18 = - 6 < 0
MÁXIMO
y''(2) = 12·2 - 18 = 6 > 0
MÍNIMO
Veamos cuáles son esos puntos:
y = 2x3 - 9x2 + 12x - 3
y(1) = 2·13 - 9·12 + 12·1 - 3 = 2
MÁXIMO (1, 2)
y(2) = 2·23 - 9·22 + 12·2 - 3 = 1
MÍNIMO (2, 1)
RESOLUCIÓN apartado d
Para que haya un punto de inflexión la primera condición es que y''= 0
y'' = 12x - 18 = 0
x = 18/12 = 9/6 = 3/2 = 1.5
¿Habrá un punto de inflexión para x = 1.5?
y''' = 12
y''' = 12 → y''' ≠ 0
→ Punto de inflexión
3
y = 2x - 9x2 + 12x - 3
y(1.5) = 2·1.53 - 9·1.52 + 12·1.5 - 3 = 1.5
PUNTO DE INFLEXIÓN (1.5, 1.5)
RESOLUCIÓN apartado e
Para el estudio de la concavidad de una función se estudia el signo de la derivada segunda de
dicha función:
f''(x) > 0
Cóncava hacia arriba (cóncava)
f''(x) < 0
Cóncava hacia abajo (convexa)
y'' = 12x - 18 = 0
x = 1.5
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 2 intervalos que determina este valor
Convexa
1.5
+
ℜ
Cóncava
La función es cóncava hacia abajo para x < 1.5, cóncava hacia arriba para x>1.5,
presentando un punto de inflexión en (1.5, 1.5)
COMPROBACIÓN VISUAL con la CALCULADORA GRÁFICA
004
Dada la función y = 2x3 - 9x2 + 12x + 6 , calcula:
(a) Dominio de la función.
(b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(c) Puntos máximos y mínimos.
(d) Puntos de inflexión.
(e) Concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo.
(f) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
RESOLUCIÓN
2
Aplicación de derivadas. Estudio local de una función.
2B
DP. - AS - 5119 – 2007
Matemáticas
ISSN: 1988 - 379X
Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos:
y = 2x3 - 9x2 + 12x + 6
y' = 6x2 - 18x + 12
y'' = 12x - 18
y''' = 12
RESOLUCIÓN apartado a
Al tratarse de una función polinómica sencilla:
Dom (y) = (- ∞, + ∞) = = { ∀x∈ℜ}
RESOLUCIÓN apartado b
Una función "y" se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que y' > 0 y
estrictamente decreciente cuando verifica y'< 0
Estudiamos el signo de esta nueva función derivada, para lo que factorizaremos el polinomio:
MÉTODO I
x=
18 ± 182 − 4 ⋅ 6 ⋅12
2⋅6
18 ± 324 − 288
=
12
18 ± 36
=
12
18 + 6

 x1 = 12 = 2
= 
 x = 18 − 6 = 1
 2
12
MÉTODO II
6
- 18
6
- 12
12
0
1
6
2
6
12
- 12
0
6·(x - 1)(x - 2)
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 1
x = 2
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos valores
-·-
+·+
+·1
+
Creciente
-
2
Decreciente
+ℜ
Creciente
La función es estrictamente creciente para x < 1 ∨ x > 2
para 1 < x < 2
y estrictamente decreciente
RESOLUCIÓN apartado c
La función "y" alcanzará un máximo o un mínimo cuando y'= 0
y' = 6x2 - 18x + 12 = 0
según acabamos de calcular en el apartado anterior:
x1 = 1 ¿Máximo o mínimo?
x2 = 2 ¿Máximo o mínimo?
Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda:
y'' = 12x - 18
y''(1) = 12·1 - 18 = - 6 < 0
MÁXIMO
y''(2) = 12·2 - 18 = 6 > 0
MÍNIMO
Veamos cuáles son esos puntos:
y = 2x3 - 9x2 + 12x + 6
y(1) = 2·13 - 9·12 + 12·1 + 6 = 11
MÁXIMO (1, 11)
y(2) = 2·23 - 9·22 + 12·2 - 3 = 1
MÍNIMO (2, 1)
RESOLUCIÓN apartado d
Para que haya un punto de inflexión la primera condición es que y''= 0
y'' = 12x - 18 = 0
x = 18/12 = 9/6 = 3/2 = 1.5
¿Habrá un punto de inflexión para x = 1.5?
y''' = 12
www.aulamatematica.com
3
 Abel Martín
y''' = 12 → y''' ≠ 0
→ Punto de inflexión
3
y = 2x - 9x2 + 12x + 6
y(1.5) = 2·1.53 - 9·1.52 + 12·1.5 + 6 = 10.5
PUNTO DE INFLEXIÓN (1.5, 10.5)
RESOLUCIÓN apartado e
Para el estudio de la concavidad de una función se estudia el signo de la derivada segunda de dicha
función:
f''(x) > 0
f''(x) < 0
Cóncava hacia arriba (cóncava)
Cóncava hacia abajo (convexa)
y'' = 12x - 18 = 0
x = 1.5
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 2 intervalos que determina este valor
Convexa
1.5
+
ℜ
Cóncava
La función es cóncava hacia abajo para x < 1.5, cóncava hacia arriba para x>1.5,
presentando un punto de inflexión en (1.5, 10.5)
RESOLUCIÓN apartado f
COMPROBACIÓN VISUAL con la CALCULADORA GRÁFICA ClassPad 300 de CASIO
005
Dada la función y = x3 - 9x2 + 24x - 20 , calcula:
(a) Dominio de la función.
(b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(c) Puntos máximos y mínimos.
(d) Puntos de inflexión.
(e) Concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo.
(f) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
2B
RESOLUCIÓN
Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos:
y = x3 - 9x2 + 24x - 20
y' = 3x2 - 18x + 24
y'' = 6x - 18
y''' = 6
RESOLUCIÓN apartado a
Al tratarse de una función polinómica sencilla:
Dom (y) = (- ∞, + ∞) = { ∀x∈ℜ}
RESOLUCIÓN apartado b
Una función "y" se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que
estrictamente decreciente cuando verifica y'< 0
4
Aplicación de derivadas. Estudio local de una función.
y'> 0 y
DP. - AS - 5119 – 2007
Matemáticas
ISSN: 1988 - 379X
Estudiamos el signo de esta nueva función derivada, para lo que factorizaremos el polinomio:
18 + 6

x =
=4
18 ± 18 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 24
18 ± 324 − 288
18 ± 36
 1
6
x=
=
=
= 
2⋅3
6
6
 x = 18 − 6 = 2
2
6

3·(x - 2)(x - 4)
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 2
x = 4
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos valores
-·-
+·+
+·2
+
Creciente
-
+ℜ
4
Decreciente
Creciente
La función es estrictamente creciente para x < 2 ∨ x > 4
para 2 < x < 4
y estrictamente decreciente
RESOLUCIÓN apartado c
Método I
Basándonos en el estudio del crecimiento de la función podemos decir que hay un máximo relativo
en x = 2 y un mínimo relativo en x = 4:
Máximo relativo (2, y) → miramos tabla de valores (2, 0)
Mínimo relativo (4, y) → miramos tabla de valores (4, - 4)
Método II
La función "y" alcanzará un máximo o un mínimo cuando y'= 0
y' = 3x2 - 18x + 24 = 0
según acabamos de calcular en el apartado anterior:
x1 = 2 ¿máximo o mínimo?
x2 = 4 ¿máximo o mínimo?
Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda:
y'' = 6x - 18
y''(2) = 6·2 - 18 = - 6 < 0
MÁXIMO
y''(4) = 6·4 - 18 = 6 > 0
MÍNIMO
Veamos cuáles son esos puntos:
y = x3 - 9x2 + 24x - 20
y(2) = 23 - 9·22 + 24·2 - 20 = 0
MÁXIMO (2, 0)
y(4) = 43 - 9·42 + 24·4 - 20 = - 4
MÍNIMO (4, - 4)
RESOLUCIÓN apartado d
Para que haya un punto de inflexión la primera condición es que y''= 0
y'' = 6x - 18 = 0
x = 18/6 = 3
¿Habrá un punto de inflexión para x = 3?
y''' = 6 → y''' ≠ 0
→ Punto de inflexión
3
y = x - 9x2 + 24x - 20
y(3) = 33 - 9·32 + 24·3 - 20= - 2
PUNTO DE INFLEXIÓN (3, - 2)
RESOLUCIÓN apartado e
www.aulamatematica.com
5
 Abel Martín
Para el estudio de la concavidad de una función se estudia el signo de la derivada segunda de
dicha función:
f''(x) > 0
f''(x) < 0
Cóncava hacia arriba (cóncava)
Cóncava hacia abajo (convexa)
y'' = 6x - 18 = 0
x=3
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 2 intervalos que determina este valor
3
Convexa
ℜ
+
Cóncava
La función es cóncava hacia abajo para x < 3, cóncava hacia arriba para x>3, presentando
un punto de inflexión en (3, - 2)
RESOLUCIÓN apartado f
COMPROBACIÓN VISUAL con la CALCULADORA GRÁFICA
008
Dada la función f(x) = x3 - 81x2, calcula:
(a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(b) Puntos máximos y mínimos relativos.
(c) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
BH2
**
PAU
OVIEDO
Junio
1994
RESOLUCIÓN apartado a
Una función f(x) se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que
estrictamente decreciente cuando verifica f'(x) < 0
f'(x) > 0 y
y' = 3x2 - 162x
Estudiamos el signo de esta nueva función derivada, para lo que factorizaremos el polinomio:
3x·(x - 54)
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 0
x = 54
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos valores
-·-
+
Creciente
+·+
+·0
54
Decreciente
+ℜ
Creciente
La función es estrictamente decreciente para x < 0 ∨ x > 54
para 0 < x < 54
y estrictamente decreciente
RESOLUCIÓN apartado b
La función "y" alcanzará un máximo o un mínimo cuando y'= 0
y' = 3x2 - 162x = 3x·(x - 54) = 0
x1 = 0 ¿máximo o mínimo?
6
x1 = 54 ¿máximo o mínimo?
Aplicación de derivadas. Estudio local de una función.
DP. - AS - 5119 – 2007
Matemáticas
ISSN: 1988 - 379X
Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda:
y'' = 6x - 162
y''(0) = 6 · 0 - 162 < 0 Máximo. (0, y)
y''(54) = 6 · 54 - 162 > 0 Mínimo. (54, y)
x = 0 y = x3 - 81x2 = y = 03 - 81·02 = 0
(0, 0) Máximo
x = 54 y = x3 - 81x2 = y = 543 - 81·542 = - 78732
(0, - 78732) Mínimo
RESOLUCIÓN apartado c
Al realizar la tabla de valores y con la ayuda del estudio realizado a lo largo del problema:
009
1
- 53x + 150 (x ≠ 0),
x2
(b) Dibuja la función f(x) = x2 - 53x + 150
Si f ' es la derivada de la función dada por f(x) = x2 +
calcula
(a) f'(- 0.5)
BH2
**
PAU
OVIEDO
Junio
2006
RESOLUCIÓN apartado a
f(x) = x2 +
1
x2
f'(x) = 2x +
- 53x + 150
−1
x4
f'(x) = 2x -
· 2x - 53
2
x3
· - 53
2
· - 53 = - 1 + ( - 16) - 53
(−0.5) 3
f'(- 0.5) = - 70
Al ser una parábola con a > 0 sabemos que tendrá un mínimo:
y' = 2x - 53 = 0
2x = 53 → x = 26.5
(26.5, y)
(26.5, - 552.2)
Al realizar la tabla de valores y con la ayuda del estudio realizado a lo largo del problema:
f'(- 0.5) = 2·(- 0.5) -
www.aulamatematica.com
7
 Abel Martín
010
(a) Encuentra f'(2) donde f' es la derivada de la función f dada por
4
f(x) = 2 + 8x - x2 - 12 (x ≠ 0).
x
(b) Dibuja la función f(x) = 8x - x2 - 12
RESOLUCIÓN apartado a
f(x) =
f'(x) = 4·
4
+ 8x - x2 - 12
x2
−1
x
4
· 2x + 8 - 2x =
(x ≠ 0).
−8
x3
+ 8 - 2x
−8
+ 8 - 2·2
23
f'(2) = 3
f'(2) =
RESOLUCIÓN apartado a
y = 8x - x2 - 12
Al ser una parábola donde a < 0 sabemos que va a presentar un máximo en:
y' = 8 - 2x = 0
- 2x = - 8
x = 4
Al realizar la tabla de valores y con la ayuda del esttudio realizado a lo largo del problema:
8
Aplicación de derivadas. Estudio local de una función.
BH2
**
PAU
OVIEDO
Sept.
2005