Transmisión de calor por el Método de los Elementos Finitos

Transmisión de calor por el Método de
los Elementos Finitos
Introducción
Se estudia la difusión del calor en un medio continuo
Flujo térmico: cantidad de calor transferida por unidad de área
Q
Q
⎧⎪⎪q x ⎫⎪⎪
q = ⎨q ⎬
⎪⎩⎪ y ⎪⎭⎪
El flujo térmico está relacionado con el gradiente de la
temperatura T (ecuación constitutiva)
Q
⎡kx
⎧⎪⎪q x ⎫⎪⎪
⎨q ⎬ = − ⎢⎢
⎪⎩⎪ y ⎪⎭⎪
⎢⎣ 0
Flujo térmico es
contrario al gradiente
1
⎧⎪ ∂T ⎫⎪
0 ⎤ ⎪⎪⎪ ∂x ⎪⎪⎪
⎥⎨
⎬
ky ⎥⎥ ⎪⎪ ∂T ⎪⎪
⎦⎪
⎪⎩⎪ ∂y ⎪⎪⎭⎪
q = −k ∇T
Equilibrio térmico
Q
Equilibrio en un elemento de volumen unidad entre:
X El calor que entra = - divergencia del flujo térmico q
X El calor generado en el material por unidad de volumen Q
(aportado al material)
X El calor acumulado en el material (c = calor específico por unidad de
volumen)
qy +
⎛ ∂q x
∂qy ⎟⎞
∂T
⎜
−⎜
+
⎟⎟ + Q = c
⎜⎝ ∂x
∂y ⎠
∂t
∂q y
∂y
Q
qx
qx +
qy
2
∂q x
∂x
∂T
−∇ q + Q = c
∂t
Τ
Transmisión de calor transitoria en 2D
Sustituyendo el valor del flujo dado por la ecuación constitutiva:
Q
⎧⎪ ∂T ⎫⎪
0 ⎤ ⎪⎪⎪ ∂x ⎪⎪⎪
∂T
⎥⎨
⎬ +Q = c
⎥
T
∂
ky ⎥ ⎪⎪
∂t
⎪⎪⎪
⎦⎪
⎪⎩⎪ ∂y ⎪⎭⎪
∂ ⎫⎪⎪ ⎢⎡kx
⎬
∂y ⎭⎪⎪ ⎢⎣⎢ 0
⎧
∂
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪ ∂x
⎩
T
∇
(
∂T
k ∇T + Q − c
=0
∂t
)
∂ ⎛ ∂T ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ ∂T ⎞⎟
∂T
⎜kx
+
ky
=0
⎟ +Q −c
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎠
∂t
3
Condiciones de contorno
Esencial
T = Tc
Natural
∂T
∂T
kx
n x + ky
ny + q + h(T − Tf ) = 0
∂x
∂y
en S1
T = T0 (x , y )
Valor inicial
t=0
en
q
Tf
S
Q
S1
4
TC
en S
Método de residuos ponderados
T ≈ T = ∑ N iTi
Q
Aproximación:
Q
Residuo
Q
Hallar Ti que anulen el residuo
∂ ⎛⎜ ∂T ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ ∂T ⎞⎟
∂T
R(x , y ) =
≠0
⎟⎟ +
⎟⎟ + Q − c
⎜⎜kx
⎜⎜ky
⎟
⎟
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠
∂t
Wi linealmente independientes
Q
i = 1, n
∫ W (x, y )R(x, y ) d Ω = 0
i
i = 1, n
Ω
Q
Galerkin: Wi = Ni
∫
Ω
5
⎡ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞
⎤
∂
T
⎟
⎟
⎜⎜k
⎥ dΩ = 0
+
+Q −c
N i ⎢ ⎜⎜kx
⎟
⎟
y
⎟
⎟
⎢ ∂x ⎜⎝ ∂x ⎠⎟ ∂y ⎝⎜ ∂y ⎠⎟
⎥
t
∂
⎣
⎦
i = 1, n
Planteamiento débil
Q
Integrando por partes:
∫ N (∇ ⋅ v)d Ω = −∫ v ⋅ ∇N dΩ + ∫ N (v ⋅ n)dS
Ω
−∫
Ω
Q
Ω
S
⎡ ∂N i
⎡ ∂T
∂T ∂N i ∂T ⎤
∂T ⎤
⎢
⎥ d Ω + ∫ N i ⎢kx
kx
ky
n x + ky
ny ⎥ dS
+
⎢ ∂x
⎢ ∂x
∂x
∂y
∂y ⎥⎦
∂y ⎥⎦
⎣
⎣
S
∂T
dΩ = 0
i = 1, n
+ ∫ N iQ d Ω − ∫ N ic
∂t
Ω
Ω
Segunda integral: condición de contorno natural en S:
∂T
∂T
kx
n x + ky
ny = −q − h(T − Tf )
∂x
∂y
6
Planteamiento débil (cont.)
−∫
Ω
⎡ ∂N i
∂T ∂N i ∂T ⎤
⎢
⎥ d Ω − ∫ N iq dS − ∫ N i h(T − Tf ) dS
+
kx
ky
⎢ ∂x
∂x
∂y
∂y ⎥⎦
⎣
S
S
∂T
dΩ = 0
i = 1, n
+ ∫ N iQ d Ω − ∫ N ic
∂t
Ω
Ω
Sustituyendo la aproximación
Q
T = N Te
∂N i
∂T
=∑
Ti = Bx Te
∂x
i =1,n ∂x
N : Matriz fila con las funciones Ni
Te : Vector de temperaturas nodales
Bx : Matriz fila con las derivadas
7
N = ⎡⎢N 1 ... N n ⎤⎥
⎣
⎦
⎡ ∂N 1
Bx = ⎢
⎢⎣ ∂x
∂N n ⎤
⎥
...
∂x ⎥⎦
Ecuaciones finales
−∫
Ω
⎡ ∂N i
⎤
∂N i
e
e
⎢
kx Bx T +
ky By T ⎥ d Ω − ∫ N iq dS − ∫ N i h(N Te − Tf ) dS
⎢⎣ ∂x
⎥⎦
∂y
S
S
+ ∫ N iQ d Ω − ∫
Ω
Ω
∂Te
N ic N
dΩ = 0
∂t
i = 1, n
Agrupando las n ecuaciones y ordenando
Q
Conducción
∫
Ω
Inercia térmica
Convección
⎡kx BTx Bx + ky BTy By ⎤ d Ω Te + NT N h dS Te + NT N c d Ω T e =
∫
∫
⎣
⎦
Ω
S
+ ∫ NTQ d Ω − ∫ NT q dS + ∫ NT hTf dS
Ω
Calor generado
8
S
Flujo de calor
S
Temperatura fluido
Ecuaciones finales
e
e
K
+
K
T
+
H
T
= Qv + Qs + Q f
( c
h)
Matriz de conducción
Q
Kc =
∫
Ω
Forma compacta:
Kc =
⎡kx BTx Bx + ky BTy By ⎤ d Ω
⎣
⎦
∫B
T
k Bd Ω
Ω
Q
Matriz de convección
Kh =
∫
S
9
NT N h dS
⎡ Bx ⎤
B = ⎢⎢ ⎥⎥
⎢⎣ By ⎥⎦
Ecuaciones finales (cont.)
Matriz de inercia térmica
Q
H=
∫
NT N c d Ω
Ω
Q
Vector de calor generado
Qv =
∫
NTQ d Ω
Ω
Q
Vector de flujo de calor exterior
Qs = −∫ NT q dS
S
Q
Vector de temperatura del fluido
Qf =
∫
S
10
NT hTf dS
Formulación isoparamétrica
x = ∑ N i'x i
Interpolación de coordenadas
1,n
⎡N 1 0 N 2 0
x⎫
⎧
⎪
⎪
⎨⎪y ⎬⎪ = ⎢⎢
⎪
⎪
⎪
⎩ ⎪
⎭ ⎢⎣ 0 N 1 0 N 2
η
N
Y
2x2
X
x = N xe
N definidas en formulación Serendip o lagrangiana.
Elementos con lados curvos, según el tipo de N
11
1,n
ξ
η
ξ
y = ∑ N i'yi
⎧⎪x 1 ⎫⎪
⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪y1 ⎪⎪
...⎤ ⎪ ⎪
⎥ ⎨⎪x 2 ⎬⎪
...⎥⎥ ⎪⎪ ⎪⎪
⎦ ⎪y2 ⎪
⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪⎩...⎪⎪⎭
Matriz de conducción (I)
η
Kc =
∫
BT k Bd Ω
ξ
Ω
(0,0)
Integral se evalúa en ξ, η
(-1,-1)
B contiene las derivadas de N respecto de x,y
Relación entre las derivadas
⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪
⎪⎪⎪ ∂ξ ⎪⎪⎪
⎪⎨
⎪⎬ =
⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎪ ∂η ⎭⎪
⎡ ∂x
⎢
⎢ ∂ξ
⎢
⎢ ∂x
⎢
⎢⎣ ∂η
⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪
∂y ⎤ ⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎥ ⎪⎪
∂ξ ⎥ ⎪⎪ ∂ x ⎪⎪
⎪ ∂ x ⎪⎪
⎥⎨
⎬ = J ⎪⎨
⎬
⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪
∂y ⎥ ⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪
⎥⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪
∂η ⎥⎦ ⎪⎪⎩ ∂y ⎪⎪⎭
∂
y
⎪⎩
⎪⎭
Necesario para B
⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪
⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪ ∂ξ ⎪⎪
⎪⎪ ∂ x ⎪⎪
−1 ⎪
⎨
⎬= J ⎨
⎬
⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪
⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
∂
y
⎪⎩
⎪⎭
⎩⎪ ∂η ⎭⎪
Jacobiana de la transformación x,y / ξ, η
12
(+1,+1)
Matriz de conducción (II)
Conocidas de N(ξ,η)
Matriz Jacobiana J
⎡ ∂x
⎢
⎢ ∂ξ
J=⎢
⎢ ∂x
⎢
⎢⎣ ∂η
∂y ⎤ ⎡
∂N i
xi
⎥ ⎢∑
∂ξ ⎥ ⎢
∂ξ
⎥=⎢
∂y ⎥ ⎢
∂N i
xi
⎥ ⎢∑
∂η ⎥⎦ ⎢⎣
∂η
∂N i ⎤
∑ ∂ξ yi ⎥⎥
⎥
∂N i ⎥
∑ ∂η yi ⎥⎥
⎦
Coordenadas de los nudos
Dominio de integración
Espesor variable
13
d Ω = t dxdy = t J d ξd η
t = ∑ N i ti
Matriz de conducción (III) Aspecto final
Kc =
Kc =
∫
∫
⎡ ∂N ⎤
⎢
1 ⎥
⎢
⎥
⎢ ∂x ⎥
⎢ ... ⎥ kx
⎢
⎥
⎢ ∂N ⎥
⎢ n⎥
⎣⎢ ∂x ⎦⎥
BT k B d Ω
⎡kx BTx Bx + ky BTy By ⎤ d Ω
⎣
⎦
∂N n ⎤
⎥ t dxdy + ∫
...
∂x ⎥⎦
⎡ ∂N ⎤
⎢
1 ⎥
⎢
⎥
∂
y
⎢
⎥
⎢ ... ⎥ k
⎢
⎥ y
⎢
⎥
∂
N
⎢ n⎥
⎢
⎥
⎢⎣ ∂y ⎥⎦
⎡ ∂N 1
⎢
⎢⎣ ∂y
⎛ ∂N ∂N j
∂ N i ∂ N j ⎞⎟
i
⎜
⎟⎟ t J d ξ d η
= ∫ ⎜kx
+ ky
⎜⎝ ∂ x ∂ x
∂y ∂y ⎠⎟
−1
+1
14
∫
Ω
⎡ ∂N 1
⎢
⎢⎣ ∂x
Kcij
=
∂N n ⎤
⎥ t dxdy
...
∂y ⎥⎦
Matriz de conducción (IV) Proceso de cálculo
⎛ ∂N ∂N j
∂ N i ∂ N j ⎞⎟
i
⎜
= ∫ ⎜kx
+ ky
⎟⎟ t J d ξ d η
⎜ ∂x ∂x
∂ y ∂ y ⎠⎟
−1 ⎝
+1
Kcij
⎧
∂Ni ⎫
⎧⎪ ∂ N i ⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∂ξ
⎪⎪ ∂ x ⎪
−1 ⎪
⎪
⎪
⎨
⎬= J ⎨
⎬
⎪⎪ ∂ N i ⎪
⎪
⎪
∂
N
i⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
∂
y
∂η
⎪
⎩⎪
⎭
⎪
⎩
⎭
Integrando:
J constante: polinomio
J no constante: cociente de polinomios
J constante: elemento sin distorsión
(rectángulo)
15
⎡
∂Ni
⎢∑
xi
⎢
∂ξ
⎢
J=
⎢
∂Ni
⎢∑
xi
⎢⎣
∂η
⎤
∑ ∂ξ yi ⎥⎥
⎥
∂Ni ⎥
∑ ∂η yi ⎥⎥
⎦
∂Ni
Matrices de convección e inercia térmica
Q
Convección
Kh =
∫
NT N h dS
∫
NT hTf dS
Q fi =
∫ N hT dS
∫
NT N c d Ω
H ij =
∫NN
K hij =
S
Qf =
Q
∫NN
i
j
h t dl
S
i
f
Inercia térmica
H=
Ω
16
i
j
c J d ξd η
Vector de calor generado en el elemento
Qv =
∫
NTQ d Ω
Ω
e
Q = NQ
Variación permitida
Qv =
M=
∫
Ω
∫
NT N d Ω Qe = M Qe
⎡ ⎤
⎢N1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎢N ⎥
⎣⎢ n ⎦⎥
⎡N ... N ⎤ t dxdy
n⎥
⎢⎣ 1
⎦
+1
M ij =
∫N
−1
17
Valores nodales del
flujo térmico (Ctes)
i
N j t J dξ dη
Vector de flujo de calor exterior en S
Qs = −∫ NT q dS
S
Variación permitida
Valores nodales del
flujo térmico (Ctes)
q = N qe
Qs = −∫ NT N dS qe = Ms qe
Real
S
Aprox.
q
Ms = −∫
L
⎡ ⎤
⎢N1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣N n ⎥⎦
⎡N ... N ⎤ t dl
n⎥
⎢⎣ 1
⎦
Msij = −∫ N i N j t dl
18
Elemento de 2 nudos
⎡1 − ξ
N=⎢
⎢⎣ 2
1+ ξ⎤
⎥
2 ⎥⎦
⎡ dN 1
Bx = ⎢
⎢⎣ dx
dN 2 ⎤ ⎡ dN 1
⎥=⎢
dx ⎥⎦ ⎣⎢ d ξ
Kc = ∫
h, Tf
1
dN 2 ⎤ d ξ ⎡ −1
⎥
=⎢
⎢⎣ 2
d ξ ⎥⎦ dx
⎡ 1 −1⎤
kA
⎢
⎥
k BTx Bxd Ω =
L ⎢⎢⎣−1 1 ⎥⎥⎦
⎡1/ 3 1/ 6⎤
⎥
Kh = ∫ h NT Nds = hPL ⎢⎢
⎥
s
1/
6
1/
3
⎢⎣
⎥⎦
P: perímetro lateral
19
2
1⎤ 2
⎥
2 ⎥⎦ L
⎡1/ 3 1/ 6⎤
⎥
H = cAL ⎢⎢
⎥
1/
6
1/
3
⎢⎣
⎥⎦
Qf =
∫
⎡1/ 2⎤
⎥
NT hTf dS = hTf PL ⎢⎢
⎥
1/
2
⎢⎣
⎥⎦
Elemento triangular
N 1 = (a1 + b1x + c1y ) / 2A
a1 = x 2y 3 − x 3y2
N 2 = (a2 + b2x + c2y ) / 2A
b1 = y2 − y 3
c1 = x 3 − x 2
N 3 = (a 3 + b3x + c3y ) / 2A
N = ⎡⎢N 1 N 2
⎣
1 ⎡⎢b1 b2 b3 ⎤⎥
B=
2A ⎢⎣c1 c2 c3 ⎥⎦
T = N 1T1 + N 2T2 + N 3T3
2
N1
N3
N2
1
1
1
2
3
1
1
3
20
N 3 ⎤⎥
⎦
Elemento triangular (II)
Kc = ∫ BT k B d Ω = At BT k B
H=∫
Convección por la cara lateral (uniforme)
Kh =
∫
S
Qf =
∫
S
21
⎡2 1 1⎤
⎢
⎥
hA ⎢
⎥
T
N N h dS =
⎢1 2 1⎥
12 ⎢
⎥
⎢⎢1 1 2⎥⎥
⎣
⎦
⎡1⎤
⎢ ⎥
hTf A ⎢ ⎥
T
N hTf dS =
⎢1⎥
3 ⎢ ⎥
⎢⎢1⎥⎥
⎣ ⎦
V
⎡2 1 1⎤
⎢
⎥
cAt ⎢
⎥
T
N N c dV =
1
2
1
⎢
⎥
12 ⎢
⎥
⎢⎢1 1 2⎥⎥
⎣
⎦
2
h, Tf
1
3
Elemento triangular (III)
Convección uniforme en un lado de longitud L
KhL =
∫
L
Q fL = ∫
L
22
2
⎡2 1⎤
htL
⎢
⎥
NT N h dl =
6 ⎢⎢⎣1 2⎥⎥⎦
⎡1/ 2⎤
⎥
NT hTf dl = hTf tL ⎢⎢
⎥
1/
2
⎢⎣
⎥⎦
h, Tf
1
3