Seminario de Mecánica Cuántica

Seminario de Mecánica Cuántica
Práctica III (Curso 2011)
I. Estados no puros de dos qubits, traspuesta parcial.
I.1 a) Mostrar que un estado general de dos qubits puede escribirse como
3
X
X
1
ρAB = [I ⊗ I + (hσiA ⊗ IiσiA ⊗ I + hI ⊗ σiB iI ⊗ σiB ) + hσiA ⊗ σjB iσiA ⊗ σjB ]
4
i=1
i,j
donde σiA,B , i = X, Y, Z, son las matrices de Pauli de cada qubit.
b) Hallar las matrices densidad reducidas ρA , ρB .
c) Indicar a que se reduce la traspuesta parcial respecto de B en esta representación.
d) Expresar en la forma anterior el estado
ρAB = |Ψ+ ihΨ+ | , |Ψ+ i =
√1 (|00i
2
+ |11i)
I.2 Consideremos el estado de Werner para dos qubits,
ρAB = x|ΦihΦ| + (1 − x)I ⊗ I/4
con |Φi un estado de Bell.
a) Expresarlo en la forma del problema 1.
b) Para qué intervalo de valores de x es ρAB una matriz densidad?
c) Para qué valores de x es ρAB un estado puro?
d) Para qué intervalo de valores de x se satisface la desigualdad de Bell |TrρAB O| ≤ 2,
con O el observable CHSH descripto en clase?
e) Para que intervalo de valores de x es ρAB entrelazado?
f) Evaluar la negatividad, concurrencia y entrelazamiento de formación del estado anterior.
I.3 a) Mostrar que el estado puro ρAB = |ΨAB ihΨAB | es entrelazado si y sólo si su
traspuesta parcial posee al menos un autovalor negativo.
b) Evaluar la negatividad de un estado puro bipartito general ρAB = |ΨAB ihΨAB |.
II. Transformada de Fourier Finita
II.1 Sea {|ji, j = 0, . . . , N − 1} una base ortonormal de un espacio de dimensión N .
Consideremos los estados
−1
1 NX
e2πikj/N |ki, j = 0, . . . , N − 1
|j̃i = U |ji ≡ √
N k=0
a) Probar que U es un operador unitario, y que por lo tanto
hj̃|j˜0 i = δjj 0 ,
−1
1 NX
|ji = U † |j̃i = √
e−2πikj/N |k̃i
N k=0
b) Mostrar que |j̃i son autoestados del operador de traslación T , definido por T |ji = |j+1i
(con la convención |N i ≡ |0i, o en general, |ji ≡ |j(mod N )i si j > N − 1):
T |j̃i = e−2πij/N |j̃i
−1
c) Sea X ≡ j j|jihj|. Mostrar que T = e−2πiP/N , donde P ≡ U XU † = N
j=0 j|j̃ihj̃|
PN −1
P −1 ˜
˜
d) Probar que si |φi = j=0
fj |ji ⇒ U |φi = N
j=0 fj |ji, donde fj y fj están relacionados
por
−1
−1
1 NX
1 NX
f˜j = √
e2πijk/N fk , fj = √
e−2πijk/N f˜k
N k=0
N k=0
P
P
–1–
Apéndice Práctica III
La concurrencia de un par de qubits en un estado ρ (puro o no puro) se define como
C = Max[2λmax − TrR, 0]
donde λmax es el máximo autovalor de
R=
q
ρ1/2 ρ̃ρ1/2
con ρ̃ = σy ⊗ σy ρ∗ σy ⊗ σy en la base estándar. C es una medida del entrelazamiento del
par.
a) Probar que R es una matriz hermı́tica.
b) Probar que para estados de dos qubits de la forma




ρ=
a
0
0
ᾱ
0
b
β̄
0
0
β
c
0
α
0
0
d





√
√
se tiene C = 2Max[|α| − bc, |β| − ab, 0], donde sólo uno de los términos puede ser
positivo (por qué?)
c) Hallar la negatividad del estado ρ y probar que N > 0 sii C > 0.
d) Expresar los valores de a, b, c, d, α y β en términos de valores medios de matrices de
Pauli.
q
e) Probar que para estados puros, C = 2(1 − Trρ2A )
donde ρA es el estado reducido de uno de los qubits. Interpretar esta expresión de C.
–2–