Práctica III

Seminario de Mecánica Cuántica
Práctica III (Curso 2015 )
I. Compuertas Lógicas Cuánticas
1) Utilizando la notación X = σx , Y = σY , Z = σz , escribir las matrices que representan,
en la base computacional {|00i, |01i, |10i, |11i}), a los operadores
a) X ⊗ I, b) I ⊗ X,
c) X ⊗ X,
d) UX = |0ih0| ⊗ I + |1ih1| ⊗ X
Verificar que el operador UX es el Control Not cuántico en la base estandard. Verficar
también que todos los operadores anteriores son unitarios y determinar sus inversas.
√
2) Comprobar que W = UX (H ⊗ I), con H = (X + Z)/ 2 la compuerta de Hadamard,
transforma la base computacional en la base de Bell, determinando su representación
matricial. Concluir que una medición en la base de Bell (es decir, basada en proyectores
ortogonales sobre estos estados) es equivalente a aplicar W † = (H ⊗ I)UX seguido de una
medición en la base computacional (y una nueva aplicación de W ). Representar mediante
un circuito la anterior equivalencia.
3) Mostrar que US = UX ŪX UX , con UX = |0ih0| ⊗ I + |1ih1| ⊗ X y ŪX = I ⊗ |0ih0| +
X ⊗ |1ih1|, es el operador de “swap”, que satisface
US |abi = |bai
para todo estado producto |abi = |ai|bi. Escribir la matriz que representa a US en la base
computacional y dibujar el circuito correspondiente.
4) a) Escribir explı́citamente el operador de rotación de un qubit alrededor de un eje
~n, R~n (θ) = exp[−iθ~n · ~σ /2], y mostrar que una transformación unitaria arbitraria de un
qubit puede escribirse como U = eiα R~n (θ).
b) Verificar que X = iRx (π), Y = iRy (π), Z = iRz (π), H = iR~n (π), con ~n = √12 (1, 0, 1),
y que por lo tanto XZX = −Z, XY X = −Y , HXH = Z, HZH = X.
c) Determinar los tiempos t y el Hamiltoniano de dos qubits tales que el operador evolución
U (t) = exp[−iHt/h̄] coincida con R~n (θ) ⊗ Rn~′ (θ′ ).
5) Determinar un Hamiltoniano de dos qubits H y un tiempo t tal que U = exp[−iHt/h̄]
sea el operador Control Not (UX ).
II. Estados no puros de dos qubits y traspuesta parcial.
6) a) Verificar que todo estado de dos qubits puede escribirse como
ρAB = 14 [I ⊗ I +
P
i (hσi
⊗ Iiσi ⊗ I + hI ⊗ σi iI ⊗ σi ) +
P
i,j hσi
⊗ σj iσi ⊗ σj ]
donde σi , i = x, y, z, son las matrices de Pauli. Hallar los estados reducidos ρA , ρB .
b) Hallar la traspuesta parcial respecto de B en esta representación.
c) Probar que es siempre posible encontrar bases locales tales que Jij = hσi ⊗ σj i = δij Ji .
7) Para |Ψi =
√1 (|01i
2
− |10i), considerar el estado
ρAB = x|Ψ+ ihΨ+ | + (1 − x)I ⊗ I/4
a) Indicar para qué valores de x es ρAB un estado fı́sico (ρAB ≥ 0), y para cuales un estado
puro.
b) Indicar para qué valores de x se satisface la desigualdad de CHSH |TrρAB O| ≤ 2.
c) Indicar para qué valores de x es ρAB entrelazado.