U.P.R. MATE 4009 Departamento de Ciencias Matemáticas RUM Primer Examen Parcial 15 de septiembre de 2011 Nombre: ________________________________ Sección:_______ Instrucciones: Lea cada pregunta minuciosamente. No se permite el uso de libros, libretas, solo puede usar el papel especi…cado en clase. Está prohibido consultar con otro(a) estudiante durante el examen o copiar. 1. Conteste las siguientes preguntas: (a) (4 puntos) Escriba una ecuación diferencial no lineal de orden 4 y no homogénea. Por ejemplo: y (4) + yy 0 = sin x (b) (7 puntos) Resuelva la ecuación diferencial y0 = dy p dx = x +y Considere: z = x + y ) dz = dx + dy y dy = dz dx; sustituyendo en la ED se obtiene: p p dz dx dz = z ) dx = 1 + z ED en variables separables. dx R dz R Integrando: 1+pz = dx + c; R p p 1 para integrar 1+dzpz considere: u = 1 + z ) du = 2p dz ) dz = 2 zdz = 2 (u 1) du z R u 1 R dz p p p =2 2 ln u = 2 (1 + z) 2 ln (1 + z) u du = 2u 1+ z p p 2 (1 + z) 2 ln (1 + z) = x + c sustituyendo por las variables originales: p p 2 (1 + x + y) 2 ln (1 + x + y) = x + c (c) (7 puntos) Halle la ecuación diferencial cuya solución general es y = c1 sin (2x + c2 ) y = c1 sin (2x + c2 ) y 0 = 2c1 cos (2x + c2 ) y 00 = 4c1 sin (2x + c2 ) = (d) 4y 4y (8 puntos) Determine sui la función y = e2x diferencial y00 y0 2y = 0 y = e2x 3e x y 0 = 2e2x + 3e x y 00 = 4e2x 3e x (e) y 00 = y 00 y0 2y = 4e2x 3e 3e x es solución de la ecuación 2e2x + 3e x x 2 e2x 3e x =0 (5 puntos) Determine si el teorema de existencia y unicidad se cumple p para el problema de valor inicial y0 = x 1 + xy; y(1) = 1 3 Para que el teorema de existencia y unicidad se cumpla, debe satisfacerse: f (x; y) y continuas en un rectángulo, R, que contiene al punto (1; 1) : p f (x; y) = x 3 1 + xy si es continua en R. @f @y = x2 3(1+xy)2=3 no es continua en R. Por el tanto el teorema no se cumple. 1 @f @y deben ser (f) (5 puntos) A continuación se muestra el campo direccional de la ecuación diferencial y0 = x + y; trace dos curvas soluciones que pasen por los puntos (1; 0) y ( 1; 1) y 2 1 x −2 −1 1 2 3 −1 −2 −3 2. (10 puntos) Resuelva la ecuación diferencial con coe…cientes homogéneos xdy = 2xe y=x + y dx Dividiendo por x : dy = 2e y=x + en la ecuación original se tiene: vdx + xdv = (2e v y x dx y considere: v = y x ) y = vx y dy = vdx + xdv, sustituyendo v + v) dx = 2e dx + vdx simpli…cando: R dv R dx xdv = 2e dx EDVS, integrando: e v =2 x + c; o R v R dx v e dv = 2 x + c ) e = 2 ln x + c sustituyendo por las variables originales: v ey=x = 2 ln x + c 3. (13 puntos) Resuelva la ecuación diferencial no exacta 1 determinando su factor integrando y luego resuélvala. M = 1 x2 y ) My = x2 N = x2 (y x) ) Nx = 2xy 3x2 My Nx N Analizamos: = x2 3x2 ) x) (2xy x2 (y = la ED no es exacta 2xy+2x2 x2 (y x) R 2 = 2x(y x) x2 (y x) Por lo tanto el factor integrando es: u (x) = e x dx = e f = x 2 y ) My = 1 M la ED es exacta e =y x N ) Nx = 1 R f (x; y) = x 2 y dx + g(y) = x1 xy + g(y) @f @y = x + g 0 (y) = y f (x; y) = 1 x x ) g 0 (y) = y ) g(y) = 12 y 2 xy + 12 y 2 = c 2 2 ln x = =x 2 x 2 = z (x) x2 y dx+x2 (y x) dy = 0; 4. (13 puntos) Resuelva la ecuacion diferencial no lineal 2xy 0 + 2y = xy 3 . Dividiendo por 2x : y 0 + x1 y = 12 y 3 , ED de Bernoulli con n = 3; considere: u = y1 y + 2 xu R 0 d dx 2 2y 3 y= y , multiplicando la ED por: 1 2 3 2y y3 ) 2y 2 2 xy 3 0 y 3 2y = 1 realizando las sustituciones: =e 2 ln x = x 2 x3 u u = x 2 x u dx = 2 2 2 =x y la ED se puede expresar: que es equivalente a : integrando con respecto a x : R x 2 dx + c ) x 2 u = x1 + c La solución general es: y 5. 3 0 2y 1 la cuale es una ED lineal, se halla el factor integrando: u x 1 x ) u0 = 2 x dx 2 0 d dx R 2 = v=e x =y 3 0 2y u n 2 = x + cx2 (12 puntos) Según la ley de Newton, la velocidad de de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia de la temperatura T del cuerpo y la temperatura M del del aire.: Si la temperatura del aire es de 20 C y el cuerpo se enfrín en 20 minutos desde 100 C a 60 C . Determine el tiempo en que la temperatura desciende hasta 30 C . : Sea T (t) la temperatura en el tiempo t: La ED asociada a este problema es: dT dt = k (T 20) ; T (0) = 100; T (20) = 60 R dT R Resolviendo la ED se obtiene: kdt + c ) ln(T T 20 = 20) = kt + c y la temperatura es: T (t) = 20 + cekt donde: T (0) = 20 + ce0 = 100 ) c = 80 T (t) = 20 + 80ekt T (20) = 20 + 80e20k = 60 ) e20k = 1 2 )k= ln 2 20 = 0:034657 Por lo tanto la temperatura en el tiempo t es: T (t) = 20 + 80e para hallar el tiempo en que la temperatura alcanza los 20 + 80e 6. 0:034657t = 30 ) e 0:034657t = 1 8 30 C , ln 8 0:034657 )t= 0:034657t ; se resuelve la ecuación: = 60 minutos. (11 puntos) Si el 45% de una sustancia radioactiva se desintegra en 200 años, determine su vida media.. Sea A(t) la sustancia radioactiva que queda en el tiempo t: La ED asociada a este problema es: dA dt = kA; A(0) = 1; A(200) = :55 R Resolviendo la ED se obtiene: dA A = R kdt + c ) ln A = kt + c y la sustancia radioactiva que queda en el tiempo es: A (t) = cekt donde: A (0) = ce0 = 1 ) c = 1 A (t) = ekt A (200) = e200k = :55 ) k = ln :55 200 = 0:0029892 Por lo tanto la sustancia radioactiva que queda en el tiempo t es: A (t) = e para hallar el tiempo en que la vida media, se resuelve la ecuación: e 0:029892t = :5 ) t = ln :5 0:0029892 = 231:88 años 3 0:0029892t ; 7. (9 puntos) Un tanque contiene incialmente 200 galones de agua salada cuya concentración es 3 lb/gal. Agua salada cuya concentración es 2lb/gal. entra al tanque a una razón de 4 gal/min. El agua bien mezclada sale a una razón de 2 gal/min. Escriba, pero no resuelva, una ecuación diferencial que le permita encontrar la concentración de sal en el tanque en el tiempo t. Sea x(t) la cantidad de sal en el tiempo t: La ED asociada a este problema es: dx dt = ri ci dx dt =8 r0 c0 ; x(0) = 3 x 2 200+2t =8 200 = 600; ri = 4; ci = 2; r0 = 2; c0 = x 100+t ; x(0) = 600 4 x V0 +(ri r0 )t = x 200+2t