FG1 2015-07-20 SP - Departamento de Física Aplicada

0003 FISICA GENERAL I Examen 2015/07/06 Publicación de notas: 2015/07/20 Revisión: 2015/07/24
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No se permite el uso de calculadora
Calificación: 50% del total del examen
Duración: 90 minutos
Ajustar la respuesta al espacio disponible y escribir el resultado final en el recuadro. Se considerarán correctas
únicamente las respuestas en las que lo sean la solución y los cálculos indicados para su obtención a partir de los
datos del enunciado
Segunda parte - Problema 1
Se va a analizar el movimiento de un sólido rı́gido respecto a un sistema de referencia Oxyz. En un instante dado se conocen
las velocidades de tres puntos. La del punto A, de coordenadas (1, 0, 0) es v A = i+2 j+k, la de B(0, 1, 0) es v B = 2 i+b j−2 k
y la de C(0, 0, 1) es v C = 2 i + 7 j + c k. Se pide:
1.- Hallar los coeficientes b y c de las velocidades de los puntos B y C. (1 punto)
Se aplica el teorema de las velocidades proyectadas: AB · v A = AB · v B , BC · v B = BC · v C y AC · v A = AC · v C donde
AB = (−1, 1, 0), BC = (0, −1, 1) y AC = (−1, 0, 1).
Tomando la primera y la tercera y resolviendo las ecuaciones se obtiene:
(−i + j) · (i + 2j + k) = (−i + j) · (2i + bj − 2k) ⇒ 1 = −2 + b
b=3
c=2
(−i + k) · (i + 2j + k) = (−i + k) · (2i + 7j + ck) ⇒ 0 = −2 + c
2.- Calcular la velocidad de rotación, ω, en ese instante. (1 punto)
Sea ω = ωx i+ωy j+ωz k. A partir de la relación entre las velocidades instantáneas de dos puntos del sólido rı́gido, se obtienen
dos ecuaciones: v B = v A + ω × AB y v C = v A + ω × AC
Sustituyendo los datos y resolviendo las ecuaciones se encuentra que: ωx = −4, ωy = 1, ωz = −1.
ω = −4 i + j − k
3.- A continuación se señalan movimientos instantáneos que puede tener el sólido del problema. Analizar cada uno de ellos,
de forma individual, y justificar si los realiza o no: a) Está en reposo, b) Únicamente posee un movimiento de traslación, c)
Únicamente tiene un movimiento de rotación (rotación pura) y, d) Posee movimiento de traslación y movimiento de rotación.
(1 punto)
a) NO, por ω 6= 0 ,
b) NO, por ω 6= 0 ,
c) NO, por ω · v = −3 6= 0
d) SI, por ω · v 6= 0 y por ω 6= 0
4.- Hallar la ecuación del eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamiento (EIR) de forma continua. (1 punto)
7 1 1
ω × vA
resultando
P
,
,
−
Se calculan las coordenadas de un punto del eje central a través de la expresión: AP =
.
ω2
6 6 2
La ecuación de una recta que pasa por este punto y es paralela a ω será el eje instantáneo de rotación:
E.T.S.I.I.
Departamento de
Física Aplicada
a la Ingeniería
Industrial
x − 7/6
y − 1/6
z + 1/2
=
=
−4
1
−1
Resolución alternativa: Si P(x, y, z) ∈ EIR su velocidad debe ser un vector paralelo a ω: v P = v A + ω × AP = λ ω siendo
AP = (x − 1, y, z) resulta v P (x, y, z) = (1 + z + y)i + (3 − x + 4z)j + (2 − x − 4y)k = λ ω
Luego la ecuación del EIR es:
3 − x + 4z
2 − x − 4y
1+z+y
=
=
−4
1
−1
5.- Si existe, calcular el vector que representa la velocidad de mı́nimo deslizamiento, v ∗ . (1 punto)
7 1 1
1
Se sustituyen las coordenadas del punto P
, ,−
en la expresión de v P = v A +ω×AP, llegándose a v ∗ = (4i − j + k)
6 6 2
6
Resolución alternativa: Si P(x, y, z) ∈ EIR se cumple que v P · ω = |vP | |ω| = v ∗ |ω| = v A · ω =⇒ v ∗ = v ∗
ω
(v A · ω)ω
=
2
|ω|
|ω|
v∗ =
1
(4i − j + k)
6
Segunda parte - Problema 2
Un semidisco homogéneo de masa M y radio R rueda
sin deslizar sobre una recta horizontal, que se tomará
como eje x, sometido a su propio peso. Entre el
semidisco y la recta existe rozamiento de coeficiente
estático suficientemente grande para que no se pierda
la condición de rodadura sin deslizamiento. En el
instante inicial t = 0 el semidisco se encuentra en
reposo con su diámetro en posición vertical, que se
tomará como eje y, tal como se muestra en la figura,
y se deja libre. La distancia d indicada en la figura
es la distancia del centro del semidisco O al centro
de masas C.
1.- Escribir las ecuaciones del movimiento del centro de masas en
el instante inicial, indicando en la figura las fuerzas que actúan
sobre el semidisco. (1 punto)
Las fuerzas que actúan son: el peso M g, la reacción normal de la
recta N y la fuerza de rozamiento Fr . Utilizando el teorema del
centro de masas se obtiene:
M ẍc = Fr
M ÿc = N − M g
2.- Escribir la expresión de la aceleración angular α del semidisco
en la posición inicial, en función de las fuerzas que actúan, la
distancia d, el momento de inercia respecto a un eje perpendicular
que pasa por C, IzC y los datos del enunciado. (1 punto)
Utilizando el teorema del momento cinético áxico, IzC α = MzC resulta:
MzC = Fr R − N d
α=
1
IzC
(Fr R − N d)
3.- En la posición mostrada en la figura de la derecha, obtener la velocidad del centro de masas C, en función de M , R, d,
IzC y la aceleración local de la gravedad, g. (1 punto)
E.T.S.I.I.
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Física Aplicada
a la Ingeniería
Industrial
Se puede utilizar la conservación de la energı́a porque las fuerzas de rozamiento en una rodadura sin deslizamiento no realizan
trabajo. En la posición inicial la energı́a es solo potencial E = M gR, tomando como origen de energı́as potenciales y = 0.
En la posición final E = Ecin + M g(R − d), donde para calcular la energı́a cinética se puede utilizar el segundo teorema de
1
1
König quedando Ecin = M vc2 + IzC ω 2 .
2
2
Como rueda sin deslizar respecto a P , vc = ω(R − d), resultando:
v
u
1
1
1
vc2
1
2M gd
2
2
2
+ M g(R − d) de donde
M gR = M vc + IzC ω + M g(R − d) = M vc + IzC
vc = u
t
2
IzC
2
2
2
2
(R − d)
M + (R−d)
2
4.- Obtener la posición del centro de masas del semidisco en el instante inicial, en función exclusivamente de R. (1 punto)
Por simetrı́a yc = R.
π
Para determinar xc = d se puede aplicar el segundo teorema de Guldin V = 2πxc A siendo A = R2 el área del semidisco y
2
4 3
V = πR el volumen de una esfera de radio R correspondiente al sólido de revolución generado mediante la rotación del
3
semidisco alrededor del eje Oy. Se tiene,
V = 2πxc A ⇒
4 3
π
πR = 2πxc R2
3
2
xc = d =
4
R; yc = R
3π
5.- Determinar el momento de inercia IzC , en función de M y R. (1 punto)
1
El momento de inercia de un disco respecto a un eje perpendicular por su centro es Iz = M R2 .
2
1
Para el semidisco, respecto a un eje que pase por O, es IzO = M R2 .
4
Aplicando el teorema de Steiner:
2
1
4
1
16
IzC = IzO − M d2 = M R2 − M
IzC =
− 2 M R2
4
3π
4 9π