Resumen TEMA 3: Dinámica del movimiento plano

TEMA 3: Dinámica del movimiento plano
Mecánica 2
Resumen TEMA 3: Dinámica del movimiento
plano
1. Ecuaciones generales del movimiento plano
•
El movimiento es cinemática y dinámicamente plano si:
-
está constituido por sólidos planos enlazados contenidos en un mismo plano
fijo y se mueven sólo en ese plano.
-
si las fuerzas aplicadas están siempre contenidas en el plano y los pares
aplicados son perpendiculares al mismo.
• Ecuaciones ( para cada uno de los sólidos que componen el sistema plano):
1) F = MaG se reduce a dos ecuaciones escalares:
X = MaGX 
 siendo F = X i + Y j
Y = MaGY 
2)
dHG
= NG es una única ecuación escalar
dt
NG = IG
dω
(demuéstrelo a partir del Tema 3)
dt
2. Dinámica de la rodadura (en el movimiento plano)
La rodadura entre dos placas en contacto exige que los puntos de ambas placas en
contacto mutuo tengan la misma velocidad.
Pese a que por tratarse de velocidades la ecuación de la rodadura constituye un
enlace no holónomo, si se consideran placas circulares en contacto, tal ecuación es
integrable y a partir de ella es posible reducir los parámetros geométricos al número
mínimo, en cuyo caso se obtendrían las coordenadas lagrangianas del sistema.
Ordinariamente, la rodadura entraña que, cualesquiera que sean las fuerzas aplicadas,
la fuerza de enlace en el contacto tenga una componente tangencial: la necesaria para
asegurar la ausencia de deslizamiento relativo.
Esta fuerza tangencial nunca podrá sobrepasar la magnitud Nf (f = coeficiente de
rozamiento), donde N es la componente normal de la fuerza en el enlace.
En los problemas de inicio del movimiento de un disco sobre un suelo rugoso (con
rozamiento) a partir del reposo, se ha de hacer la hipótesis de que el movimiento
subsiguiente es rodadura y comprobar que la fuerza tangencial puede ser suministrada
por el suelo.
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De no ser así, hay que reiniciar el problema aceptando que el movimiento será un
deslizamiento con giro. La fuerza en el enlace tendrá entonces dos componentes:
-
una normal N
-
y una tangencial Nf cuyo sentido tiene que ser el mismo que el que hubiera
tenido la componente tangencial de haberse dado la rodadura.
3. Sólido con eje fijo: equilibrado
• Su movimiento es un movimiento cinemáticamente plano.
• Dinámicamente no es un movimiento plano pues puede admitir cualquier clase de
fuerzas y pares aplicados.
a) Ecuaciones del movimiento
• En A hay un par cilíndrico
Z
• El eje Oz es el eje fijo
A
• En O hay una rotula esférica
G
Y
• Hay un solo grado de libertad (ϕ),
ángulo que forma el plano OGA con el
xOz.
O
ϕ
X
G'
• Las fuerzas de enlace son R A y R O
( R A en un plano horizontal, pues no
hay rozamiento).
A
X
RA
O
X
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Y
RO
Y
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Para hallar las ecuaciones del movimiento utilizaremos el triedo cartesiano OXYZ
indicado en esta figura:
Z, z
ϕ
x
G
Y
y
G’
ϕ
X
Y en este sistema las ecuaciones son (hállelas a partir del tema 3):
−MrGϕ 2 = X + ROX + R AX
= X + ROX + R AX
MrGϕ
0 = ROZ + Z


 MaG = F


IXZ + ϕ 2IXZ = NOX − LR AY 
−ϕ
 dH
O
IYZ − ϕ 2IXZ = NOY + LR AX 
−ϕ
= NO
dt

IZ = NOZ
ϕ

(L = OA)
IZ = NOZ y las restantes suministran el valor de las
La ecuación del movimiento es ϕ
reacciones.
Si aplicamos a este movimiento las ecuaciones de Lagrange (¿por qué pueden
aplicarse?):
d ∂T ∂T
−
= Qϕ
dt ∂ϕ ∂ϕ
T=
1 2
IZ ϕ
2
y Qϕ = NOZ
= Qϕ
luego: IZ ϕ
IZ = NOZ
(¡demuéstrelo!), por tanto ϕ
b) Equilibrado de un sólido con eje fijo
En el caso particular de que el sistema de fuerzas aplicadas se reduzca a un par motor
en dirección del eje fijo y al peso del sólido. E1
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G
Mg
P
Y
E2
E3
E1
X
G'
En tal caso:
F = −Mg E3
NO = −Mg rG E2 + P E3
y así las ecuaciones se reducen a:
−MrGϕ 2 = ROX + R AX
= ROY + R AY
MrGϕ
0 = ROZ − Mg
IXZ + ϕ 2IYZ = −LR AY
−ϕ
IYZ − ϕ 2IXZ = −Mg rG + LR AX
−ϕ
IZ = P
ϕ
y de aquí se deduce que:
(
R AY
ROX
ROZ
)
1
1
IYZ + ϕ 2IXZ
Mg rG − ϕ
L
L
1
IXZ − ϕ 2IYZ
= ϕ
L
1
1
IYZ + ϕ 2IXZ
= −MrGϕ 2 − Mg rG + ϕ
L
L
= Mg
R AX =
(
)
(
(1)
)
De estas ecuaciones se deduce que si rG = 0 y si IXZ = IYZ = 0 las reacciones se
reducen a:
R AX = R AY = 0
ROX = ROY = 0
ROZ = Mg
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Con lo que las reacciones en los apoyos (rótula esférica y par cilíndrico) son las que
corresponderían al caso de que el sólido estuviera en reposo.
Las expresiones R AX , R AY y ROX , ROY de (1) que existen cuando hay movimiento
y rG ≠ 0 ;IXA ≠ 0 ;IYZ ≠ 0 , son las reacciones dinámicas en los apoyos y son
producidas por las fuerzas de inercia que aparecen en el movimiento del sólido.
Se llama equilibrado de un sólido con eje fijo a la operación de añadir unas masas
para eliminar las reacciones dinámicas, esto es: lograr que el nuevo sistema (el
formado por el sólido inicial con eje fijo y las masas que se añaden) satisfaga las
condiciones:
rG' = 0
I' XZ = I'YZ = 0 (La ‘ denota que se trata del nuevo sólido).
Esto es que el eje fijo contenga a su centro de masas y sea, además, principal de
inercia en su centro de masas.
FIN DEL TEMA 3
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