Factorizar Polinomios

Factorizar Polinomios
Factorizar un polinomio significa ponerlo en forma de productos de monomios
irreducibles (al menor grado posible).
Factorización
Números:
Para factorizar polinomios disponemos de varios metodos:
60 = 22 · 3 · 5
• Sacar Factor Común
• División por Ruffini
• Entidades Notables
• Formula de las Ecuaciones de Segundo Grado
Si igualamos a cero cada término del producto resultante de la factorización,
obtendremos las raíces de su polinomio correspondiente.
Esto significa que si substituimos las “x” del polinomio por alguna de estas
raíces, sus valores se anularán.
En otras palabras, habremos hayado todas las soluciones de dicho polinomio
(igualado a cero).
Ej:
x4 + 2x3 – 5x2 -6x
[polinomio original: grado 4, así que cuatro soluciones posibles]
x(x+1)(x-2)(x+3)
[polinomio factorizado: cuatro facotres grado uno es igual a grado cuatro]
x = 0
x + 1 =
x - 2 =
x + 3 =
[raíces
0 ; x = -1
0 ; x = 2
0 ; x = -3
polinomio, igualar factores a cero]
04+2·03–5·02-6·0 = 0
(-1)4+2(-1)3–5(-1)2-6(-1) = 1+2·(-1)-5·1-6·(-1) = 1-2-5+6 = 0
24 + 2·23 – 5·22 -6·2 = 16+2·8-5·4-6·2 = 16+16-20-12 = 0
(-3)4 + 2(-3)3 – 5(-3)2 -6(-3) = 81+2·(-27)-5·9-6·(-3) = 81-54-45+18 = 0
[valor númerico, soluciones de la ecuación]
En estas hojas descompondremos en factores el polinomio:
p(x) = 2x7 + 2x6 - 20x5 - 16x4 + 64x3 + 32x2 - 64x
Noel Suárez Barro
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Factor Común Números:
2 + 4 + 6 + 10 = 2(1+2+3+5)
Sacando Factor Común:
Este método consiste en expresar el polinomio de forma que el factor que está
repetido en todos sus términos aparezca solo una vez multiplicando a el
conjunto.
2x7 + 2x6 - 20x5 - 16x4 + 64x3 + 32x2 - 64x =
= 2x(x6 + x5 - 10x4 - 8x3 + 32x2 + 16x - 32)
Dividiendo por Ruffini:
Dividir Números:
18 = 18/2 c(9) r(0) = 2 · 9
Este método consiste en dividir el polinimio usando la regla de ruffini,
probando con todos los divisiores del término independiente hasta que su resto
sea creo. Este divisor exacto del polinomio será una de sus raíces.
2x (x6 + x5 - 10x4 - 8x3 + 32x2 + 16x - 32) =
divisores término independiente: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32
1
-1
1
1
-10 -8
32
16 -32
-1
0
10
-2 -30 14
0
-10
2
30 -14 18
1
1
1
1
-10 -8
32
1
2
2
-8 -16 16
16 -32
-8 -16 16
32
32
0
1 2 -8 -16 16
32
= 2x (x - 1) (x5 + 2x4 - 8x3 - 16x2 + 16x + 32x) =
divisores término independiente: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32.
1 2 -8 -16 16 32
-1
-1 2
-6 22 -38
1 -2 6 -22 38 -6
1 2 -8 -16 16 32
1
1 3
5
1 3 5 -11
-11 5
5
37
-2
-2 0
16
0
-32
1 0 -8
0
16
0
= 2x (x - 1) (x + 2) (x4 - 8x2 + 16)
Noel Suárez Barro
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Entidades Notables:
Este método consiste en, mediante las igualdades de los productos notables,
volver del paso de polinomio al de factor.
Las entidades notables eran:
( a + b )2 = a2 + b2 +2ab
( a – b )2 = a2 + b2 -2ab
( a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
2x (x - 1) (x + 2) (x4 - 8x2 + 16) =
= 2x (x - 1) (x + 2) (x2 - 4)2
Ecuación de 2º Grado:
Este método consiste en, mediante la fórmula de segundo grado, deshacer
polinomios de segundo grado, devolviendo como soluciones sus raíces.
Las ecuacón de segundo grado era:
-b ± √[b2 -4ac]
x = --------------------2a
2x (x - 1) (x + 2) (x2 – 4)2 =
x = [-(0) ± √[02 – 4·1·(-4)]] / 2·1
x = (0 ± √16) / 2
x = (0 ± 4) / 2
x = ±4 / 2
x1 = 4 / 2 = 2
x2 = -4 / 2 = -2
2x (x - 1) (x + 2) [(x - 2) (x + 2)]2
Noel Suárez Barro
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RESULTADO FACTORIZACIÓN EJEMPLO
p(x) = 2x7 + 2x6 - 20x5 - 16x4 + 64x3 + 32x2 – 64x
p(x) = 2x(x-1)(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)
p(x) = 2x(x-1)(x-2)2(x+2)3
RAÍCES[p(x)] = 0, 1, 2, 2, -2, -2, -2 = 0, 1, 2 doble, -2 triple.
Al igualar a cero los factores de la descomposición de un polinimio, se
obtienen sus raíces. Al substituir las incógnitas por las raíces en el
polinomio, este se anula. Por lo que podemos deducir que las raíces de
un polinomio son las soluciones de esa ecuación igualada a cero.
Noel Suárez Barro
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