Teorema de cambio de variable

Teorema de cambio de variable
Teorema: Sean ( X , Y ) y (U , V ) vectores aleatorios. Continuos, tales que
U = h1 ( X , Y )
V = h2 ( X , Y )
(U , V ) = h( X , Y ) = (h1 ( X , Y ), h2 ( X , Y ) )
o sea
donde la función h : R 2 → R 2 satisface:
{
•
•
•
}
h tiene derivadas parciales continuas en B = ( x, y ) ∈ R 2 / f XY ( x, y ) > 0 .
h es biyectiva de B en h(B)
J h ( x, y ) ≠ 0 en B, donde
⎛ ∂h1 ( x, y )
⎜
∂x
J h ( x , y ) = det⎜
⎜ ∂h2 ( x, y )
⎜ ∂x
⎝
Entonces, el vector aleatorio (U ,V ) tiene densidad
f UV (u, v) = f XY (h −1 (u , v)) J
h −1
∂h1 ( x, y ) ⎞
⎟
∂y
⎟
∂h2 ( x, y ) ⎟
⎟
∂y
⎠
I h ( B ) (u , v)
Ejemplos:
1) Sean X e Y v.a. independientes con distribución exponencial de parámetro λ . Hemos
demostrado que U = X + Y tiene distribución Gamma de parámetros 2 y λ . Lo demostraremos
ahora usando el Teorema de cambio de variable. Para ello completamos la función U = X + Y, de
manera de obtener una función h : R 2 → R 2 que satisfaga las condiciones requeridas. Sea, por
ejemplo,
⎧ h1 ( x, y ) = u = x + y
⎨
⎩ h2 ( x , y ) = v = y
entonces
⎧ x = g1 (u , v) = u − v
⎨
⎩ y = g 2 (u , v) = v
El jacobiano de la inversa de h, que llamamos g, es
J
h− 1
⎛ 1 − 1⎞
⎟⎟ = 1
= det⎜⎜
⎝0 1 ⎠
Entonces
f UV (u , v) = f XY (u − v, v) I ( 0,∞ ) (u − v) I ( 0,∞ ) (v)
f UV (u , v) = λ e − λ ( u −v ) λ e − λ v I ( v ,∞ ) (u ) I ( 0,∞ ) (v)
Debemos obtener la densidad marginal de U y para ello integramos respecto de v. Si
u ≤ 0, f U (u ) = 0 , sea entonces u > 0,
u
f U (u ) = ∫ λ e
−λ (u −v )
λe
−λ v
dv = λ e
2
-λu
0
u
∫ dv = λ
2
e -λu u
0
Luego, f U (u ) = λ 2 e -λ u u I ( 0,∞ ) (u ) y queda demostrado que X+Y ~ G(2, λ ).
2) Sean X e Y v.a. independientes con distribución Normal standard y sean U = X+Y y V = X-Y.
Hallemos la densidad conjunta del v.a. (U,V).
u+v
⎧
⎪x= 2
⎨
u-v
⎪ y=
2
⎩
⎧u = x + y
⎨
⎩v = x − y
Entonces
J
f UV ( u , v ) =
h− 1
⎛1 / 2 1 / 2 ⎞
⎟⎟ = −1 / 2 .
= det⎜⎜
⎝1 / 2 − 1 / 2 ⎠
f UV (u, v) = f XY (h −1 (u , v)) J
h −1
2
2
1
2π
e
1 ⎛ u +v ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ 2 ⎠
1
2π
f UV ( u , v ) =
e
1 ⎛ u −v ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ 2 ⎠
1
2π 2
e
⎛u +v⎞ ⎛u −v⎞1
I h ( B ) (u, v) = f X ⎜
⎟ fY ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2
1 1
=
e
2 4π
1⎛ u ⎞
⎟
− ⎜⎜
2 ⎝ 2 ⎟⎠
1 ⎛ u 2 + 2uv + v 2 + u 2 − 2uv + v 2
− ⎜
2⎜
4
⎝
2
1
2π 2
e
1⎛ v ⎞
⎟
− ⎜⎜
2 ⎝ 2 ⎟⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
1
=
e
4π
1 ⎛ u 2 +v2
− ⎜
2⎜ 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
Por lo tanto U y V son v.a. independientes con distribución N(0,2).
3) (Extensión a dimensión mayor que 2). Sean X1, X2 y X3 v.a. independientes con distribución
N(0,1), hallar la distribución conjunta de (U,V,W) siendo
⎧U = X 1 + X 2 + X 3
⎪
⎨V = X 1 − X 2
⎪W = X − X
1
3
⎩
Observar que
⎧u = x1 + x 2 + x3
⎪
⎨ v = x1 − x 2
⎪w = x − x
1
3
⎩
u+v+w
⎧
⎪ x1 =
3
⎪⎪
u − 2v + w
⎨ x2 =
3
⎪
u
v
+
− 2w
⎪x =
3
⎪⎩
3
y, entonces
J h −1
1/ 3 ⎞
⎛1 / 3 1 / 3
⎟ 1
⎜
= det⎜1 / 3 − 2 / 3 1 / 3 ⎟ = .
⎜1 / 3 1 / 3 − 2 / 3 ⎟ 3
⎠
⎝
⎛ u + v + w u − 2v + w u + v − 2 w ⎞ 1
f UVW (u , v, w) = f X1 X 2 X 3 ⎜
,
,
⎟
3
3
3
⎝
⎠3
1 ⎛ u +v+ w ⎞2
⎜
⎟
2⎝ 3 ⎠
1 1 −
f UVW ( u , v , w ) =
e
3 2π
1
2π
e
−
1 ⎛ u − 2v + w ⎞
⎜
⎟⎟
2 ⎜⎝
3
⎠
2
1
2π
e
−
1 ⎛ u +v−2 w ⎞
⎜
⎟⎟
2 ⎜⎝
3
⎠
2
Desarrollando se obtiene:
f UVW ( u , v , w ) =
1
2π 3
e
1 ⎛ u ⎞⎟
− ⎜⎜
2 ⎝ 3 ⎟⎠
2
1 1
e
2π 3
1 ⎛ 2 v 2 + 2 w 2 − 2 vw ⎞⎟
− ⎜
⎟
2⎜
3
⎝
⎠
.
Se observa, en particular, que U = X1+X2+X3 ~ N(0,3).
Algunos resultados importantes:
1) Si X 1 ~ N ( μ1 ,σ 12 ) y X 2 ~ N ( μ 2 ,σ 22 ) son v.a. independientes, entonces
aX 1 + bX 2 ~ N ( aμ1 + bμ 2 , a 2σ 12 + b 2σ 22 )
2) Si X 1 ,..., X n son v.a. independientes e idénticamente distribuidas, X i ~ N ( 0,1 ) y a ∈ R n es
un vector tal que a = 1 , entonces
n
∑a X
i =1
i
i
~ N ( 0,1 )
Dem: Sea B una matriz ortogonal de dimensión n × n, cuya primer columna es el vector a y sea
X = (X 1 , X 2 ,..., X n )' . Definiendo
Y = B' X
(1)
n
su primera componente es Y1 = ∑ a i X i .
i =1
El jacobiano de la transformación (1) J = det( B ) =1 pues la matriz B es ortogonal. Entonces:
fY ( y ) = f X ( By) =
(
1
2π
)
n
e
−
2
1
By
2
=
(
1
2π
)
n
e
−
2
1
y
2
y por lo tanto las componentes del vector Y son v.a. independientes con distribución N(0,1).
Hemos demostrado entonces que Y1, que es la primera componente, tiene distribución Normal
standard.
3) Teorema: Sean X 1 ,..., X n v.a. independientes e idénticamente distribuidas, X i ~ N ( μ ,σ 2 ) ,
entonces
i) X =
ii)
⎛ σ2
1 n
X
~
N
∑ i ⎜⎜ μ , n
n i =1
⎝
( n − 1 )s 2
σ2
~ χ n2−1
⎞
⎟⎟ ⇒
⎠
siendo s 2 =
n( X − μ )
σ
~ N ( 0 ,1 )
1 n
(X i − X )2
∑
n − 1 i =1
iii) X y s 2 son v.a. independientes
iv)
n( X − μ )
~ t n −1
s
Dem: No la haremos pero también se basa en hallar una transformación ortogonal adecuada. Este
Teorema lo verán nuevamente en Estadística Teórica.