4.3.1 MEDIDAS DE COMPORTAMIENTO Se definen dos medidas

4.3.1 MEDIDAS DE COMPORTAMIENTO
Se definen dos medidas del comportamiento del sistema de
control que sirven como herramientas para evaluar si el sistema de
control hace bien su tarea.
Definición 4.1 El error cuadrático medio de seguimiento Ce(t) y el
valor cuadrático medio de las entradas Cu(t). Se definen como:
Ce(t) = E{eT(t) We(t) e(t)}
t ≥ to
Cu(t) = E{uT(t) Wu(t) u(t)}
t ≥ to
Donde
e(t) = z(t) – r(t)
t ≥ to
We(t) y Wu(t) , t ≥ to, son matrices de peso simétricas no
negativa definidas.
Cuando We(t) es diagonal, como generalmente es, Ce(t) es la
suma ponderada de los errores cuadráticos medio de seguimiento
de cada uno de los componentes de la variable controlada.
Cuando e(t) es una variable escalar y We=1, entonces Ce ( t )
es el error rms de seguimiento
Nuestra meta en el diseño de un sistema de control es reducir
Ce(t) tanto como sea posible. Disminuir Ce(t) generalmente implica
aumentar Cu(t). Ya que Cu(t) está determinada por la capacidad de
la planta, hay que buscar un compromiso entre un Ce(t) pequeño y
la necesidad de tener un Cu(t) bajo.
OBJETIVO BASICO DE DISEÑO
Se debe escoger un error cuadrático medio, Ce(t), lo más bajo
posible sin permitir que la entrada cuadrática media, Cu(t),
exceda los valores máximos permitidos.
4.3.2 CALCULO DE Ce(t) Y Cu(t)
Usando la técnica de aumentar el vector de estado obtenemos
la siguiente ecuación para el sistema de control:
•
 x(t )   A(t ) − B(t )H f (t )C(t ) B(t )F(t )
•  = 
+
−
K
(
t
)
C
(
t
)
L
(
t
)

f
q(t ) 
(4.11)
 I − B( t )H f ( t )  v p ( t ) 
B( t )H r ( t )
+
r
(
t
)

 K (t ) 
− K f (t )   v m (t )
0


r
Para el error de seguimiento y la entrada tenemos:
 x( t ) 
e(t ) = [D(t ) 0]
 − r(t )
q
(
t
)


(4.12)
 x( t ) 
u(t ) = [− H f (t )C( t ) F(t )]
 + H r ( t )r( t ) − H f (t ) v m ( t )
q
(
t
)


El cálculo de Ce(t) y Cu(t) se realiza en dos etapas.
PRIMERO: Determinar la media o parte determinística de e(t) y
u(t), denominadas como:
e(t ) = E{e(t )}
u(t ) = E{u(t )}
t ≥ to
(4.13)
Estos valores medios se calculan usando las ecuaciones (4.11) y
(4.12) donde los procesos estocásticos r(t), vp(t) y vm(t) se
reemplazan por sus valores medios y el estado inicial se toma como
la media de [x(to) q(to)]T
SEGUNDO: Se definen nuevas variables restándoles el valor
medio respectivo, por ejemplo:
~
x( t ) = x( t ) − x( t )
~
q(t ) = q(t ) − q(t)
t ≥ to
(4.14)
etc
Con esta anotación se escriben:
Ce (t ) = E{e T (t )We (t )e(t )}
~T
~
= e (t )We (t )e(t ) + E{e (t )We (t ) e(t )}
T
(4.15)
Cu (t ) = E{u T (t )Wu (t )u(t )}
~ T
~
= u (t )Wu (t )u(t ) + E{u (t )Wu (t ) u(t )}
T
~T
~ T
~
~
Los términos E{e (t )We (t ) e(t )} y E{u (t)Wu (t) u(t)} se pueden
encontrar cuando se conoce la matriz varianza del vector columna
~
~
[ x(t ), q( t )]. Para determinar la matriz varianza, se debe modelar las
partes con media cero de r(t), vp(t) y vm(t) como variables de salida
de sistemas diferenciales lineales manejados por ruido blanco.
~
~
Luego el vector columna [x(t ), q(t )] se aumenta con el estado de
los modelos generados por los procesos estocásticos. La matriz
varianza del estado aumentado se puede calcular usando la
ecuación diferencial de la matriz varianza del teorema 3.2.
4.4 LA ESTABILIDAD DEL SISTEMA DE CONTROL
Si el sistema de control es inestable, generalmente Ce(t) y Cu(t)
crecen indefinidamente. Esto lleva al siguiente objetivo de diseño:
OBJETIVO DE DISEÑO 4.1
El sistema de control debiera ser asintóticamente estable.
Si el sistema de control es invariante en el tiempo. Este objetivo de
diseño es equivalente a requerir que todos los autovalores del
sistema aumentado deban tener parte real estrictamente negativa, es
decir los autovalores de:
 A − BH f C BF 
 −K C
L 

f
(4.16)
Según teorema 1.16, el polinomio característico de (4.16) se puede
escribir como:
det[sI-A]det[sI-L]det[I+H(s)G(s)]
(4.17)
Donde: H(s) = C[sI - A]-1B es la matriz de transferencia de la
planta desde u a y.
G(s) = F[sI - L]-1Kf + Hf es la matriz de transferencia
del controlador desde y a -u