Derivando la integral

Derivando la integral
) 2 de septiembre de 2015
1. La demostración de Flanders
1
2. La versión usual
2
3. El caso de la convolución
2
4. Aplicación a la integral de sen x/x
5
5. Cuando el dominio varía
7
Apéndice: La fórmula de Jacobi
10
Referencias
11
Tratamos de dar fórmulas para el cálculo de
d
f (x, t) dµ(x).
dt
1. La demostración de Flanders
En esta primera parte buscamos condiciones para la validez de
∂f
d
f (x, t) dµ(x) =
(x, t) dµ(x),
dt X
X ∂t
(1.1)
donde la integración es sobre un espacio de medida positiva (X, A, µ) independiente
de t.
Empezamos con la demostración de Flanders (1973), y luego vemos qué se
necesita.
X
Entonces:
t ∂f
∂f
d
(x, s) dµ(x) =
ds
(x, s) dµ(x)
∂t
dt a
X ∂t
t
∂f
d
=
dµ(x)
(x, s) ds
dt X
a ∂t
d
=
(f (x, t) − f (x, a)) dµ(x)
dt X
d
f (x, t) dµ(x).
=
dt X
(1.2a)
(1.2b)
(1.2c)
(1.2d)
1.1. Teorema. La ecuación (1.1) es válida para t ∈ (a, b) si:
f (x, t) dµ(x) < ∞ para t ∈ [a, b].
a)
X
b ∂ f (x, t) dµ(x) dt < ∞.
b)
a
X ∂t
∂f
c)
(x, t) es continua como función de t ∈ (a, b) para cada x fijo (o c.t.p.).
∂t
∂f
d)
(x, t) dµ(x) es continua como función de t ∈ [a, b].
X ∂t
Demostración. (1.2a) se deduce de d), (1.2b) se deduce de b) (Fubini), (1.2c) se
deduce de c), y (1.2d) se deduce de a).
2. La versión usual
Hay muchas versiones del teorema 1.1. Quizás la siguiente —un poco más débil
que la anterior— es la que se enuncia más frecuentemente.
2.1. Teorema. La ecuación (1.1) es válida para t ∈ (a, b) si:
e) f (x, t) es (medible e) integrable como función de x ∈ X para cada t ∈ [a, b].
∂f
∂t
(x, t) es (medible e) integrable como función de x ∈ X para cada t ∈ (a, b).
∂f
g) Existe ψ ∈ L1 (dµ), independiente de t, tal que ∂t (x, t) ≤ ψ(x).
f)
Demostración. Sea
f (x, t + h) − f (x, t)
.
h
Entonces para algún h 0 entre 0 y h y usando g),
дh (x, t) =
дh (x, t) = ∂ f (x, t + h 0) ≤ ψ(x),
∂t
de donde se deduce el resultado por la convergencia dominada de Lebesgue, ya que
∂f
дh (x, t) converge puntualmente a ∂t (x, t).
3. El caso de la convolución
Poniendo f (x, t) = K(t−x) д(x), las convoluciones son un caso particular cuando
x vive en Rn .
Consideramos sólo el caso unidimensional, pensando que es sencillo ver o creer
que los resultados valen para otras dimensiones y mayores órdenes de derivación.
Nos interesa entonces dar condiciones no muy restrictivas para la validez de:
∞
∞
d
K(t − x) φ(x) dx =
K 0(t − x) φ(x) dx.
(3.1)
dt −∞
−∞
2
Muchas veces es difícil encontrar la función ψ del teo 2.1 en el caso de la convolución (necesitamos algo como |K(t − x)| ≤ ψ(x)), así que volvemos al teo 1.1.
Suponiendo que φ es medible y
φ(x) ≤ M
para todo x,
de modo que la convolución tenga sentido para K ∈ L1 , es tentador poner
f (x, t) = K(t − x) φ(x),
y ver si se satisfacen las condiciones del teorema 1.1.
a) se satisface porque
∞
∞
K(t − x) φ(x) dx ≤ M
|K(t − x)| dx = M
−∞
∞
|K(x)| dx.
−∞
−∞
Del mismo modo se satisface b) si K 0 ∈ L1 ,
∞
K 0(t − x) φ(x) dx ≤ M
∞
−∞
−∞
K 0(x) dx,
y c) se satisface si suponemos K ∈ C 1 .
El problema es la condición d) pues necesitamos o bien que φ sea integrable (en
particular si de soporte compacto), o bien que K tenga soporte compacto, o bien que
las derivadas segundas de K sean integrables:
∞
∞ t1
00
K 0(t1 − x) − K 0(t0 − x) φ(x) dx =
φ(x) dx
K
(s
−
x)
ds
−∞
−∞ t0
∞ t 1
∞
K 00(x) dx.
≤M
K 00(s − x) ds dx ≤ M |t1 − t0 |
−∞ t0
−∞
Por lo tanto:
3.1. Corolario (del teorema 1.1). Si
•
•
•
•
K ∈ C1,
K y K 0 son integrables,
φ es acotada (y medible),
φ ∈ L1 , o K tiene soporte compacto, o K 00 es integrable,
entonces vale la ecuación (3.1).
Este teorema es suficiente si, por ejemplo, K ∈ C ∞ y todas las derivadas son
integrables. Sin embargo, podemos eliminar la última condición en el corolario
obteniendo un resultado más fuerte.
Para eso necesitamos el siguiente resultado, a veces llamado teorema general (o
generalizado) de la convergencia dominada de Lebesgue:
3
3.2. Teorema. Sean (fn ) y (дn ) dos sucesiones de funciones medibles en un espacio de
medida positiva (X, A, µ) que convergen c.t.p. a las funciones medibles f y д respectivamente. Supongamos que fn ≤ дn y
lı́m
дn dµ =
д dµ < ∞.
n→∞ X
Entonces
X
lı́m
n→∞ X
fn dµ =
X
f dµ.
- El enunciado está en el libro Real Analysis de H. L. Royden (3ra. ed., Macmillan
Publishing, 1988) como teorema 17, cap. 4 (p. 92), y también en el libro Real and
Functional Analysis de A. Mukherjea y K. Pothoven (Plenum Press, 1978) como
teorema 3.4 (p. 139).
3.3. Teorema. Supongamos que
• K ∈ C1,
• K y K 0 son integrables,
• φ es acotada (y medible).
Entonces vale la ecuación (3.1).
Demostración. Nos ponemos en las condiciones del teorema 3.2, pensando que
tomaremos sucesiones (hn ) tendiendo a 0 (como el resultado es válido para cualquier
sucesión, entonces vale para el caso continuo).
Para t fijo y h > 0 definimos:
K(t − x + h) − K(t − x)
φ(x), f (x) = K 0(t − x) φ(x),
h
h
1
K 0(t + s − x) φ(x) ds, д(x) = K 0(t − x) φ(x) ,
дh (x) =
h 0 fh (x) =
y observamos que (puntualmente) fh → f , дh → д y si h > 0,
h
0
fh (x) = K(t − x + h) − K(t − x) φ(x) = 1
≤ дh (x).
K
(t
+
s
−
x)
φ(x)
ds
h 0
h
- Ponemos h > 0 para hacerla fácil. Para quitar esa restricción podríamos poner
дh (x) =
1
|h|
|h |
−|h |
K 0(t + h − x) φ(x) dt,
д(x) = 2 K 0(t − x) φ(x) ,
de modo que fh (x) ≤ дh (x) y дh → д.
Finalmente,
∞
h
1
*
д(x + s) ds+ dx
дh (x) dx =
−∞
−∞ , h 0
h ∞
∞
1
д(x + s) dx ds =
д(x) dx,
=
h 0 −∞
−∞
∞
y estamos en las condiciones del teorema 3.2.
4
4. Aplicación a la integral de sen x/x
Problema. Ver la derivabilidad de
∞
F(a) =
0
e −ax sen x
dx
x
para a > 0 y la continuidad para a ↓ 0.
Solución: Pongamos
f (x, a) =
e−ax sen x
.
x
Como para a > 0, f (·, a) ∈ L1 (dx) y
∂f
(x, a) = −e −ax sen x,
∂a
está mayorada por e −ax , podemos pasar la derivada dentro de la integral:
∞
∞
∂f
dF
=
(x, a) dx = −
e −ax sen x dx
da
0 ∂a
0
1
−a sen x − cos x ∞
=−
.
= −e −ax
2
1+a
1 + a2
0
Por lo tanto, F(a) = C − arctan a, donde C es una constante de integración.
Tomando lı́ma→∞ F(a) = 0, obtenemos C = π/2. O sea,
F(a) =
π
− arctan a,
2
demostrando la continuidad si sabemos que F(0) = π/2.
3
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k
∞
Si no sabemos que F es continua, la anterior es una forma de calcular 0 (sen x)/x dx
si demostramos que F es continua. ∞
Supongamos que sabemos que 0 (sen x)/x dx existe y es finita (la demostración
de este hecho es similar a lo que sigue más abajo), de modo que podemos poner
∞
∞
∞
sen x
sen x
−ax sen x
dx −
e
dx =
(1 − e −ax )
dx
x
x
x
0
0
0
Ponemos
∞
∞
(1 − e
−ax
0
donde
In (a) =
X
sen x
)
dx =
(−1)n In (a),
x
n=0
(n+1) π
nπ
(1 − e−ax )
5
|sen x|
dx.
x
(4.1)
Veamos que In (a) decrece monótonamente a 0 (n → ∞, a fijo).
Para n ≥ 1 tenemos,
nπ
(n+1)π
|sen x|
−ax |sen x|
In−1 (a) − In (a) =
(1 − e )
dx −
(1 − e−ax )
dx
x
x
(n−1)π
nπ
#
(n+1)π "
1 − e −a(x−π) 1 − e −ax
=
−
|sen x| dx,
x−π
x
nπ
y queremos ver si el integrando es positivo.
Mirando la parte entre corchetes,
1 − e −a(x−π) 1 − e −ax x − xe −a(x−π) − x + π + (x − π) e −ax
−
=
,
x−π
x
(x − π) x
como el denominador es positivo miramos al numerador
π + (x − π) e−ax − x e−a(x−π) .
(4.2)
Estudiemos esta expresión como función de a para x fijo (nπ ≤ x ≤ (n + 1) π).
Cuando a = 0, el valor es
π + (x − π) − x = 0,
mientras que la derivada (de (4.2) respecto de a) es
−(x − π) x e−ax + x (x − π) e −a(x−π) = x (x − π) e −ax (e aπ − 1) > 0
si x > π.
Es decir, la expresión (1.2b) es positiva para x > π y a > 0.
Por lo tanto, In−1 (a) − In (a) > 0 para n ≥ 1. Entonces la serie alternada en (4.1)
converge, y si la truncamos en N el error está dominado por el término siguiente:
(N+1) π
X
∞
|sen x|
n
(−1) In (a) ≤ IN (a) =
(1 − e −ax )
dx
x
n=N
Nπ
(N+1) π
1
2
≤
.
|sen x| dx =
Nπ Nπ
Nπ
π
Finalmente, poniendo K = 0 (sen x)/x dx,
N−1
X
X
∞
N−1
∞
2
sen x X
(1 − e −ax )
dx ≤ (−1)n In (a) + (−1)n In (a) ≤
In (a) +
x
Nπ
n=N
n=0
0
n=0
2
2
≤ NI0 (a) +
≤ (1 − e aπ )NK +
.
Nπ
Nπ
De modo que podemos tomar primero N para que el último sumando a la derecha
sea chico, y luego a suficientemente chico para que también el primer sumando sea
suficientemente chico.
6
5. Cuando el dominio varía
Nos interesa ver el teorema 5 (p. 713) en el libro de Evans:
5.1. Teorema. Sea U(t) ⊂ Rn una familia de abiertos acotados y con borde suave que
depende suavemente del parámetro t ∈ R. Sean v la velocidad en ∂U(t) y ν la normal
exterior.
Si f = f (x, t) es una función suave, entonces
∂f
d
f dx =
f v · ν dS +
dx.
dt U(t)
∂U(t)
U(t) ∂t
Acá seguimos nuevamente a Flanders (1973).
- Es más o menos conocida la fórmula de Leibniz, cuando el dominio es unidimensional (suponiendo f , д y h suficientemente suaves):
d
dt
h(t)
д(t)
f (x, t) dx = f (h(t), t) h 0(t) − f (д(t), t) д0(t) +
h(t)
д(t)
∂f
(x, t) dx,
∂t
aunque las versiones más comunes son cuando f no depende de t, o cuando д y
h no dependen de t, como por ejemplo,
d
dt
a
t
f (x) dx = f (t),
d
dt
a
b
f (x, t) dx =
a
b
∂f
(x, t) dx.
∂t
Este caso puede demostrarse usando la regla de la cadena, poniendo
v
f (x, t) dx, φ(t) = Φ(д(t), h(t), t),
Φ(u, v, t) =
u
de modo que
h(t)
dφ
∂Φ ∂Φ ∂Φ
д0(t) +
h 0(t) +
=−
(x, t) dx.
dt
∂u д(t)
∂v h(t)
д(t) ∂t
Cuando el dominio vive en más dimensiones, las cosas no son tan sencillas.
Tratamos de usar los resultados de la sección 1, refiriéndonos a un dominio fijo.
Para eso consideramos C ⊂ Rn y ψ(u, t) : C × (a, b) → Rn , de modo que para
t fijo, ϕt (u) = ψ(u, t) define un difeomorfismo entre C y U(t) = ϕt (C). Suponemos
que ϕt tiene dos derivadas continuas, y poniendo x(u) = ϕt (u), la matriz jacobiana
#
"
∂xi
Jt = J(ϕt (u)) =
,
∂uj
es no singular, de modo que es válido el teorema de la función inversa,
"
#
∂ui
−1
Jt =
.
∂xj
7
En particular, det Jt no cambia el signo, lo que nos permite derivar |det Jt |.
Más aún, intercambiando variables u de ser necesario, podemos suponer que
sgn (det Jt ) > 0,
aunque seguiremos poniendo |det Jt | para recordar la presencia del valor absoluto.
Finalmente, la velocidad es
∂ϕt
∂ψ
v=
=
(u, t),
(5.1)
∂t
∂t
para cada u ∈ C (fijo).
- Pensamos que el vector x = ψ(u, t) se mueve con t siendo u parámetro.
Si
F(t) =
U(t)
f (x, t) dx =
C
f (x(u, t), t) |det Jt | du,
e indicando con primas a las derivadas respecto de t, tendremos
X
∂f
∂xi
(x(u, t), t)
F 0(t) =
|det Jt | du
∂x
∂t
i
C i
∂f
(x(u, t), t) |det Jt | du
+
∂t
C
d
+ f (x(u, t), t) (det Jt ) du.
dt
C
(5.2)
Por el corolario 5.4 en el apéndice,
!
d
dJt −1
(det Jt ) = tr
J
(det Jt ) ,
dt
dt t
y recordando (5.1), queda
! X 2
∂ xi ∂uj X ∂vi ∂uj X ∂vi
dJt −1
tr
Jt =
=
=
= div v.
dt
∂t ∂uj ∂xi
∂uj ∂xi
∂xi
i,j
i,j
i
- En (5.1) definimos v como función de u y t, pero en div v la estamos pensando
como función de x para t fijo.
Juntando los términos en (5.2) y después volviendo al dominio U(t),
X
∂f
0
F (t) =
(x(u, t), t) vi |det Jt | du
C i ∂xi
∂f
(x(u, t), t) |det Jt | du
+
∂t
C
+ f (x(u, t), t) (div v) |det Jt | du
!
C
∂f
=
div(f v) +
dx,
∂t
U(t)
y el teorema 5.1 sigue por el teorema de la divergencia.
8
5.2. Ejemplo. En el libro de Evans muchas veces aparecen evaluaciones como
d
d
−
−
u(y) dS(y) o
u(y) dy,
(5.3)
dr ∂B(x,r)
dr B(x,r)
donde u es suficientemente suave, y el truco es considerar B(0, 1) en vez de B(x, r),
hacer cuentas, y luego volver a B(x, r), en un espíritu similar a lo que acabamos de
hacer.
No se puede usar directamente el teorema 5.1 para el promedio sobre ∂B(x, r),
pues se integra sobre una superficie de dimensión n − 1, pero sí podemos usarlo para
el segundo.
Indicando con α(n) a la medida de Lebesgue de B(0, 1) ⊂ Rn , ponemos
1
u(y) dy,
F(r) = −
u(y) dy =
α(n) r n B(x,r)
B(x,r)
y tratamos de calcular
dF
.
dr
Haciendo los cálculos al estilo del libro de Evans, nos quedará
!
1
d
0
F (r) =
u(x + rz) dz
dr α(n) B(0,1)
1
=
∇u(x + rz) · z dz
α(n) B(0,1)
y−x
=−
dz,
∇u(y) ·
r
B(x,r)
F 0(r) =
1
F 0(r) = −
∇u(y) · (y − x) dz.
r B(x,r)
es decir,
(5.4)
Para usar el teorema 5.1 pensamos que el dominio de referencia es B(0, 1), y =
ψ(z, r) = x + rz, Dr = B(x, r) y
v=
∂y
y−x
=z=
.
∂r
r
(5.5)
Observando que la normal exterior a ∂B(x, r) en y es
ν=
obtenemos
v·ν =z·
y el teorema 5.1 nos da
−n
F (r) =
α(n)r n+1
0
y−x
,
r
y−x y−x y−x
=
·
= 1,
r
r
r
1
u(y) dy +
α(n)r n
B(x,r)
9
∂B(x,r)
u(y) dS(y).
(5.6)
Es interesante comparar las ecuaciones (5.4) y (5.6): en la primera aparecen
derivadas y en la segunda no, y si no hay contradicción en las matemáticas, las
ecuaciones deberían ser equivalentes.
Pero la equivalencia es sólo un disfraz del teorema de la divergencia, como vimos
en la demostración del teorema 5.1: con las notaciones anteriores tenemos
u(y) dS(y) =
u(y) v · ν dS(y) =
∇u(y) · v + u(y) div v dy,
∂B(x,r)
∂B(x,r)
B(x,r)
y recordando (5.5) observamos que
y − x div v = div
r
=
n
.
r
Entonces (5.6) queda
−n
F (r) =
u(y) dy
α(n)r n+1 B(x,r)
1
+ −
∇u(y) · (y − x)dy
r B(x,r)
n
+
u(y) dy.
α(n)r n+1 B(x,r)
0
La moraleja es que integrar en el borde es parecido a integrar las derivadas en el
interior, como ya sabemos por el teorema fundamental del cálculo... tendremos que
seguir buscando contradicciones en la matemática.
¨
Apéndice: La fórmula de Jacobi
- Lo que sigue es un resumen de distintos artículos en WikipediA.(1)
Dada la matriz A = aij ∈ Rn×n ,
• el menor Mij es el determinante de la submatriz obtenida al borrar la fila i y la
columna j de A,
• el cofactor Cij es Cij = (−1)i+j Mij ,
• la adjunta clásica (adjugate) de A es la transpuesta de la matriz de cofactores,
Adj A = Cji .
- No confundir con la adjunta definida como la transpuesta conjugada.
Los siguientes son resultados clásicos:
P
• Si tr(A) = i aii indica la traza de la matriz A, entonces tr(AB) = tr(BA).
(1) http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page.
10
• El desarrollo (o expansión) de Laplace expresa el determinante en términos de
los cofactores (o sea, el desarrollo por fila o columna del determinante):
X
X
det A =
aijCij =
aijCij .
j
i
• A Adj(A) = (det A) I, y en particular, si det A , 0,
A−1 =
1
Adj A.
det A
5.3. Teorema (Fórmula de Jacobi). Si t → A(t) es diferenciable, entonces
(det A)0 = tr (Adj A) A0 = tr A0 Adj A .
Demostración. La fórmula de Laplace dice que para i fijo,
X
aijCij .
det A =
j
Cij no depende del valor aij (ni de otros en la fila i o columna j), o sea, si pensamos
a det A como función de los coeficientes aij ,
∂(det A)
= Cij ,
∂aij
y podemos usar la regla de la cadena:
(det A)0 =
X ∂(det A)
j
∂aij
aij0 =
X
j
Cij aij0 = tr
Adj A A0 .
Usando que Adj A = (det A) A−1 ,
5.4. Corolario. Si A(t) es inversible,
(det A)0 = (det A) tr A−1 A0 .
Referencias
L. C. Evans, 2010. Partial Differential Equations. American Mathematical Society,
2.a ed.
H. Flanders, 1973. Differentiation Under the Integral Sign. The American Mathematical Monthly, 80(6):615–627.
11