Sistemas lineales con ruido blanco

Capı́tulo 3
Sistemas lineales con ruido blanco
3.1.
Ruido Blanco
En la práctica se encuentra procesos estocásticos escalares u con media cero y la propiedad de
que w(t1 ) y w(t2 ) no están correlacionados aún para valores |t2 − t1 | que son bastante pequeños,
es decir,
Rw (t2 , t1 ) ' 0 para |t2 − t1 | > ε
(3.1)
donde ε es un número pequeño. La función covarianza de tal proceso estocástico se puede
idealizar como sigue:
Rw (t2 , t1 ) = V (t1 ) δ(t2 − t1 )
(3.2)
Aquı́ δ(t2 − t1 ) es una función delta y V (t1 ) se considera como la intensidad del proceso en
el instante t. Estos procesos se denominan: procesos de ruido blanco. Este concepto se puede
extender a procesos vector-valuados.
Definición 3.1. Consideremos w(t) un proceso estocástico vector valuado con media cero y
matriz covarianza:
Rw (t2 , t1 ) = V (t1 ) δ(t2 − t1 )
(3.3)
donde V (t) ≥ 0. Entonces w(t) es un proceso estocástico de ruido blanco con intensidad
V (t).
En el caso de que V (t) es una constante V , el proceso es estacionario en el sentido amplio y
podemos determinar su matriz de densidad espectral de potencia:
Z ∞
Σw (ω) =
ejωτ V δ(τ ) dτ = V
(3.4)
−∞
Esto demuestra que este tipo de procesos tiene igual densidad de potencia para todas las
frecuencias.
Las reglas que entrega el siguiente teorema serán utilizadas más adelante.
27
ELO-378 Teorı́a Moderna de Control Lineal
Teorema 3.1. Tomemos w(t) como un proceso vector-valuado de ruido blanco con intensidad
V (t). También, consideremos como dadas las matrices A1 (t), A2 (t) y A(t).
Entonces:
Z t2
A(t) w(t)dt = 0
a.) E
t
(Z1
T
Z
t2
b.) E
A1 (t)w(t)dt W
t2
Z
t4
A1 (t) w(t)dt
c.) E
t4
0
0
0
A2 (t )w(t )dt
Z
=
t3
t1
(Z
(3.5)
)
I
A2 (t0 ) w(t0 )dt0
T )
Z
=
t3
t1
tr V (t)AT1 (t)W A2 (t) dt (3.6)
A1 (t) V (t) AT2 (t)dt
(3.7)
I
donde I es la intersección de [t1 , t2 ] y [t3 , t4 ] y W es una matriz de ponderación o peso.
3.2.
Sistemas diferenciales lineales excitados con ruido blanco
Un sistema diferencial lineal excitado con ruido blanco es un buen modelo para formular y
resolver problemas de control lineal que envuelven ruido y perturbaciones.
El siguiente teorema nos proporciona propiedades estadı́sticas del estado de un sistema diferencial lineal excitado con ruido blanco.
Teorema 3.2. Supongamos que x(t) es la solución de
ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) w(t)
x(t0 ) = x0
(3.8)
donde w(t) es ruido blanco con intensidad V (t) y x0 es una variable estocástica independiente
w(t), con media m0 y Q0 = E{(x0 − m0 )(x0 − m0 )T } como su matriz covarianza. Entonces x(t)
tiene la media:
mx (t) = Φ(t, t0 ) m0
(3.9)
donde Φ(t, t0 ) es la matriz de transición del sistema (3.8).
La matriz covarianza de x(t) es:
T
Z
min(t1 ,t2 )
Φ(t1 , τ )B(τ ) V (τ ) B T (τ ) ΦT (t2 , τ ) dτ
Rx (t1 , t2 ) = Φ(t1 , t0 ) Q0 Φ (t2 , t0 ) +
(3.10)
t0
La matriz varianza Q(t) = Rx (t, t) satisface la ecuación diferencial matricial:
Q̇(t) = A(t) Q(t) + Q(t) AT (t) + B(t) V (t) B T (t)
Q(t0 ) = Q0
Además:
Rx (t1 , t2 ) =
Q(t1 ) ΦT (t2 , t1 ) t2 ≥ t1
Φ(t1 , t2 ) Q(t2 )
t1 ≥ t 2
28
(3.11)
(3.12)
ELO-378 Teorı́a Moderna de Control Lineal
La matriz de momento conjunto de segundo orden de x(t) es:
Cx (t1 , t2 ) = E x(t1 ) xT (t2 ) = Φ(t1 , t0 ) Cx (t0 , t0 ) ΦT (t2 , t0 )
Z min(t1 ,t2 )
+
Φ(t1 , τ )B(τ ) V (τ ) B T (τ ) ΦT (t2 , τ ) dτ
(3.13)
t0
La matriz momento Cx (t, t) = Q0 (t) satisface la ecuación diferencial matricial:
Q̇0 (t) = A(t) Q0 (t) + Q0 (t) AT (t) + B(t) V (t) B T (t)
Q0 (t0 ) = E x0 xT0
Además:
Cx (t1 , t2 ) =
3.3.
(3.14)
Q0 (t1 ) ΦT (t2 , t1 ) t2 ≥ t1
Φ(t1 , t2 ) Q0 (t2 )
t1 ≥ t 2
(3.15)
Matriz varianza de estado estacionario para sistemas
invariantes en el tiempo
Es interesante determinar el comportamiento asintótico de la matriz varianza en los sistemas
LIT, es decir, cuando A, B y V son matrices constantes.
En este caso la ecuación (3.10) queda:
A(t−t0 )
Rx (t, t) = Q(t) = e
AT (t−t0 )
Q0 e
Z
t
eA(t−τ ) B V B T eA
+
T
(t−τ )
dτ
(3.16)
t0
Si y sólo si, A es asintóticamente estable, Q(t) tiene el siguiente lı́mite para Q0 arbitrario:
Z
∞
lı́m Q(t) = lı́m Q(t) = Q̄ =
t→∞
t→−∞
eA τ B V B T eA
T
τ
dτ
(3.17)
0
Ya que Q(t) es la solución de la ecuación diferencial (3.11) su lı́mite Q̄ también la debe
satisfacer, luego:
A Q̄ + Q̄ AT + B V B T = 0
(3.18)
Los resultados que se indican a continuación demuestran que Q̄ es la única solución de la
ecuación (3.18).
Lema 3.1. Tomemos M1 , M2 , M3 como matrices reales nxn, mxn y nxm, respectivamente.
Además λi , i = 1, 2, . . . , n y µj , j = 1, 2, . . . , m como los valores caracterı́sticos de M1 y M2
respectivamente.
Entonces la ecuación matricial:
M1 X + X M2T = M3
(3.19)
tiene una única nxm matriz X de solución si y sólo si para todo i, j:
λi + µj 6= 0
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(3.20)
ELO-378 Teorı́a Moderna de Control Lineal
Aplicando este lema a (3.18), tomando M1 = A, M2 = AT . Resulta m = n y µj = λj ,
j = 1, 2, . . . , m. Como A es asintóticamente estable, todos los valores caracterı́sticos tienen parte
real estrictamente negativa, entonces:
λi + λj 6= 0
(3.21)
para todo i, j. Luego (3.18) tiene solución única.
Lo anterior se resume en el siguiente teorema:
Teorema 3.3. Consideremos la ecuación diferencial estocástica:
ẋ(t) = A x(t) + B w(t)
x(t0 ) = x0
(3.22)
donde A y B son constantes y w(t) es ruido blanco con intensidad constante V . Entonces
si A es asintóticamente estable y t0 → −∞ o t → ∞, la matriz varianza de x(t) tiende a una
matriz constante no negativa definida:
Z ∞
T
Q̄ =
eA t B V B T eA t dt
(3.23)
0
que es la única solución de la ecuación matricial
A Q̄ + Q̄ AT + B V B T = 0
(3.24)
Las ecuaciones matriciales del tipo (3.24) aparecen en teorı́as de estabilidad son conocidas
como las “ecuaciones de Lyapunov”.
Podemos observar que si A es asintóticamente estable y t0 → −∞, la salida del sistema
diferencial (3.22) es un proceso estocástico en el sentido amplio.
3.4.
Modelado de procesos estocásticos
Más adelante usaremos el modelado de un proceso estocástico por un sistema diferencial
lineal excitado por ruido blanco. Las ecuaciones que lo describen son:
v(t) = C(t) x(t)
ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) w(t)
(3.25)
donde w(t) es ruido blanco y v(t) es el proceso estocástico.
3.5.
Expresión integral cuadrática
Más adelante se emplearán expresiones de la forma:
Z t1
E
xT (t) R(t) x(t) dt + xT (t1 ) P1 x(t1 )
t0
en el siguiente teorema se resumen fórmulas para esta expresión:
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(3.26)
ELO-378 Teorı́a Moderna de Control Lineal
Teorema 3.4. Consideremos el sistema diferencial lineal
ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) w(t)
(3.27)
donde
w(t)
es ruido blanco con intensidad V (t) y x(t0 ) = x0 es una variable estocástica
con E x0 xT0 = Q0 . Tomemos R(t) como una matriz simétrica y no negativa definida para
t0 ≤ t ≤ t1 , y P1 como una matriz constante, simétrica y no negativa definida.
Entonces:
Z t1
Z
T
T
x (t) R(t) x(t) dt + x (t1 ) P1 x(t1 ) = tr P (t0 ) Q0 +
E
t1
T
B(t) V (t) B (t) P (t) dt
t0
t0
(3.28)
donde P (t) es la matriz simétrica no negativa definida:
Z t1
P (t) =
ΦT (τ, t) R(τ ) Φ(τ, t) dτ + ΦT (t1 , t) P1 Φ(t1 , t)
(3.29)
t
donde Φ(t, t0 ) es la matriz de transición del sistema 3.27. P (t) satisface la ecuación diferencial
matricial:
− Ṗ (t) = AT (t) P (t) + P (t) A(t) + R(t)
(3.30)
con la condición terminal:
P (t1 ) = P1
(3.31)
En particular, si el sistema (3.27) se reduce al sistema diferencial autónomo:
ẋ(t) = A(t) x(t)
Es decir, V (t) = 0 y x(t0 ) determinı́stico, entonces
Z t1
xT (t) R(t) x(t) dt + xT (t1 ) P1 x(t1 ) = xT (t0 ) P (t0 ) x(t0 )
(3.32)
(3.33)
t0
Para el caso en que A, B, V y R son constantes, la ecuación (3.29) se reduce a:
Z t1
T
T
P (t) =
eA (τ −t) R eA(τ −t) dτ + eA (t1 −t) P1 eA(t1 −t)
(3.34)
t
Si A es asintóticamente estable, obtenemos cuando t1 → ∞:
Z ∞
T
P (t) = P̄ =
eA (τ −t) R eA(τ −t) dτ
(3.35)
t
Haciendo un cambio en la variable de integración tenemos:
Z ∞
T 0
0
P̄ =
eA t R eA t dt0
(3.36)
0
Esto demuestra que P̄ es una matriz constante y por lo tanto satisface la ecuación (3.30),
luego tenemos que:
AT P̄ + P̄ A + R = 0
(3.37)
Como se supone que A es asintóticamente estable, el lema 3.1 garantiza que esta ecuación
algebraica tiene solución única.
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