Modelos de conteo - Gabriel Montes

Poisson
Modelos de conteo
Gabriel V. Montes-Rojas
Gabriel Montes-Rojas
Modelos de conteo
Poisson
Modelo de regresión de Poisson
Supongamos que la variable dependiente puede tomar cualquier valor entero no
negativo y = 0, 1, 2.... Estos modelos se llaman modelos de conteo (count models), en
los cuales se quiere explicar cuantas veces ocurre un determinado evento.
Ejemplo: y podrı́a ser cantidad de visitas al médico en un mes:
y = 0 sin visitas
y = 1 una visita
y = 2 dos visitas
y = 3 tres visitas
..
.
y = 20 veinte visitas
y = ... no hay lı́mite superior
¿Tiene sentido usar una regresión MCO?
Gabriel Montes-Rojas
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Modelo de regresión de Poisson
Consideremos la distribución de Poisson
f [y = j ] = exp (−λ)λj /j !, j = 0, 1, 2...
donde y ! es el factorial de y , o sea y × (y − 1) × (y − 2) × ... × 3 × 2.
Probar que si y ∼ Poisson(λ), entonces E (y ) = λ y V (y ) = λ.
Ahora consideremos un modelo condicional con λ(x ) = exp (x β).
Modelo de regresión de Poisson:
P [y = j |x ] = exp [−exp (x β)] [exp (x β)]j /j !
Un supuesto restrictivo del modelo de Poisson es que
Var (y |x ) = E (y |x ).
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Modelo de regresión de Poisson
`i ( β) = ∑j∞=1 1[yi = j ]log (P [yi = j |x ]) = yi (x i β) − exp (x i β)
s i ( β) = yi x i0 − exp (x i β)x i0
Ejercicio: Probar que E [s i ( β)|x i ] = 0.
H i ( β) = −exp (x i β)x i0 x i
Para interpretar los parámetros notemos que para una x contı́nua
∂E [y |x ]
[y |x ]
[y |x ]
1
= exp (x i β) β j . Entonces β j = ∂E∂x
= ∂logE
. Ası́ β j se puede
∂x
∂x
E [y |x ]
j
j
j
interpretar como la semi-elasticidad de E [y |x ] con respecto a xj .
Para dummies, notemos que E [y |x, d = 1] = exp ( β 1 + β 2 x2 + ... + β d 1), y
E [y |x, d = 1] = exp ( β 1 + β 2 x2 + ... + β d 0). Entonces el efecto de la dummy es
simplemente exp ( β d ).
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Modelo de regresión de Poisson: STATA
En STATA simplemente hay que escribir
poisson y x1 x2 x3
http://www.stata.com/manuals13/rpoisson.pdf
http://www.stata.com/manuals13/rnbreg.pdf
Ver
http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/examples/eacspd/chapter19.htm
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Otros modelos de conteo (count data)
El supuesto de media = varianza puede ser restrictivo. Entonces existen
modelos alternativos que relajan esta condición.
Binomial Negativa: asumamos que f (y |λ) = exp (−λ)λy /y ! pero λ = µ(x )ν
donde es una variable aleatoria. Notemos que E (y |µ) = µE (ν) con lo cual si
asumimos que E (ν) = 1 estamos en el modelo binomial. Imponiendo distintas
distribuciones sobre ν podemos lograr más flexibilidad.
Asumamos que ν ∼ Gamma, con densidad
R∞
g (ν) = νδ−1 exp (−νδ)δδ /Γ(δ), ν, δ > 0, Γ(r ) = 0 z r −1 exp (−z )dz, y con
propiedades E [ν] = 1, V [ν] = 1/δ. Se usa α = 1/δ.
Entonces
E [y |µ, α] = µ
V [y |µ, α] = µ(1 + αµ)
NegBin I asume V [y |µ, α] = µ(1 + γ), o sea, propocional a la media. NegBin II
usa el modelo más general con una función cuadrática de la media.
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