HOJA 1: EL PROCESO DE POISSON

HOJA 1: EL PROCESO DE POISSON
(2004-2005)
1.
Sea {N(t),t  0 } un proceso de Poisson de intensidad
a)
PN (6)  9
b)
PN (6)  9, N (20)  13, N (56)  27
 =15. Calcula
c)
P  N (20)  13 N (6)  9
d)
P  N (6)  9 N (20)  13 , e) PN (2'3)  1, N (4'5)  N (1)  2
2.
El número de llamadas a una centralita telefónica forma un proceso de Poisson con una media de 5
llamadas por minuto. a) ¿Cuál es la distribución del tiempo transcurrido hasta que se recibe la décima
llamada? b) ¿Cuál es el tiempo medio que transcurre hasta que se recibe la décima llamada? c) ¿Cuál
es la probabilidad de recibir exactamente cuatro llamadas en un minuto? d) ¿Cuál es el tiempo medio
transcurrido entre las llamadas novena y décima? e) Si se eligen 10 intervalos de un minuto
separados entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que en cada intervalo se hayan recibido más de dos
llamadas?
3.
Un operario debe realizar dos tareas. El tiempo que emplea para finalizar la tarea i es
exp(i ) ,
i=1,2 y estos tiempos son independientes. Cada instante de demora en la realización de cada tarea
tiene asociado un coste de Ci , i  1, 2 , dólares por unidad de tiempo. ¿Cuál ha de ser el orden de
realización de ambas tareas para hacer mínimo el coste total esperado?
4.
Los clientes llegan a un centro comercial según un proceso de Poisson de intensidad   20
clientes a la hora. Si la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0’30 calcula: a) el
número de ventas que se espera realizar en una hora. b) El número de ventas que se espera realizar en
la jornada laboral de ocho horas. c) ¿Cuál es la probabilidad de no vender nada entre las 15:00 y las
15:15 horas? ¿Con qué probabilidad no llega ningún cliente en dicho intervalo de tiempo?
5.
Los clientes que llegan a un banco se clasifican en tres categorías. Clientes tipo 1 que sólo ingresan
dinero, clientes tipo 2 que sólo retiran dinero y clientes tipo 3 que realizan ambos tipos de
transacciones. En promedio, los ingresos se realizan en 3 minutos, las retiradas de dinero en 4
minutos y las transacciones combinadas necesitan 6 minutos. Los clientes de tipo i, i=1,2,3 llegan de
acuerdo con un proceso de Poisson de intensidades respectivas 20, 15 y 10 clientes a la hora. ¿Cuánto
se tarda, en promedio, en realizar una transacción bancaria? ¿Son independientes los tiempos
empleados por los clientes en realizar sus correspondientes operaciones bancarias?
6.
Un taller mecánico ofrece a sus clientes una revisión rápida de sus vehículos. Los clientes interesados
en tal oferta siguen un comportamiento similar a un proceso de Poisson de intensidad  clientes a la
hora. El taller abre al público a las 7:00 de la mañana y cada vehículo es inspeccionado en 15
minutos
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo cliente que llega no tenga que esperar?
b) ¿Cuál es el tiempo medio que debe esperar dicho cliente?
7.
Una máquina tiene dos partes: A y B necesarias para su funcionamiento. Se dispone de dos
recambios para la parte A y de un único recambio para la parte B. Las reparaciones son instantáneas
siempre que se disponga de un recambio, en otro caso la máquina deja de funcionar definitivamente.
La duración de todas las partes es independiente con distribución exp(  ) para la parte A y sus
recambios, y distribución exp(  ) para la parte B y su recambio. Los recambios fallan únicamente si
han sido puestos en funcionamiento. ¿Cuál es el tiempo medio de funcionamiento de la máquina?
8.
En los días de verano una pequeña ciudad turística recibe la llegada de autobuses turísticos siguiendo
un proceso de Poisson con media de 5 autobuses a la hora. Cada autobús permanece en la ciudad
durante dos horas para realizar la visita.
a) Determina la distribución del número de autobuses que se encuentran en la ciudad a las 5 de la
tarde.
b) Cada autobús puede transportar a 50, 75 ó 100 turistas con probabilidades respectivas 0.25, 0.5 y
0.25. Determina el número medio de visitantes que tendrá la ciudad a las 5 de la tarde
c) (Bajo los mismos supuestos del apartado b)) Calcula de manera aproximada, utilizando una
distribución normal la probabilidad de que a las 5 de la tarde haya más de 900 visitantes en la
ciudad si en las zonas de aparcamiento hay 15 autobuses turísticos.
9.
Supongamos que los usuarios de una oficina de correos llegan según un proceso de Poisson de
intensidad   10 clientes a la hora. El horario de atención al público comienza a las 8:00 h.
a) ¿Cuál es el número esperado de clientes que utilizan la oficina de correos durante una jornada de
8 horas?
b) ¿Cuál es la distribución del número de usuarios diarios de la oficina?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente número 42 llegue antes de las 12:30?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue nadie entre 13:00 y 13:10? ¿Y entre 11:40 y 11:50? ¿A
qué se debe el resultado?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un cliente entre las 13:00 y las 13:06, y que lleguen dos
clientes entre 13:03 y 13:12?