Temas Teóricos Examen Final

MATEMÁTICA
Temas Teóricos Examen Final
Unidad 1. FUNCIONES
Representaciones gráficas de las siguientes funciones: Lineal, Cuadrática, Exponencial,
Logarítmica, Trigonométricas Básicas. Operaciones y Propiedades Algebraicas.
Unidad 2. LIMITES DERIVADAS Y DIFERENCIALES
Límite, propiedades. Continuidad. Teorema de Bolzano (Sin demostración). Teorema del
Valor Medio. Corolario del teorema de Bolzano (Demostración e Interpretación
Geométrica). Derivada, definición e interpretación Geométrica. Recta tangente y
diferencial. Polinomio de Taylor. Estudio de función. Teorema sobre las funciones con
derivada nula en un intervalo (Con demostración). Definición de funciones crecientes y
decrecientes. Teorema sobre crecimiento y decrecimiento de funciones (Con
demostración).Máximos y mínimos. El criterio de la primera derivada para extremos
locales (Sin demostración). El criterio de la segunda derivada para extremos locales (Sin
demostración). Puntos de inflexión. Criterio de Concavidad.
Unidad 3. INTEGRALES INDEFINIDAS y DEFINIDAS
Integral indefinida y definida para funciones reales de una variable real. Propiedades del
integral definida. Teorema del Valor medio del cálculo integral (Demostración e
Interpretación Geométrica). Teorema Fundamental del Cálculo Integral (Sin
demostración). Propiedades de las Primitivas. Regla de Barrow (Con demostración).
Área. Concepto de Integral Impropia.
Unidad 4. VECTORES y FUNCIONES VECTORIALES.
Funciones a valores vectoriales. Derivación de funciones a valores vectoriales. Teorema
sobre la derivada de una función vectorial (Con demostración). Teorema: Si F(t) y G(t)
son dos funciones vectoriales derivables, entonces:
a. [F(t)+G(t)]’= F’(t)+G’(t)
b. [c F(t)]’ = c F’(t) siendo c un escalar.
(Sin demostración). Integral indefinida y definida de funciones a valores vectoriales.
Unidad 5. CAMPOS
Campos escalares. Teorema de Schwartz. (Sin demostración).
Derivadas parciales de campos escalares. Diferencial total y cálculo de errores.
Gradiente. Regla de la cadena. Derivadas parciales de campos vectoriales. Derivada
Direccional. Fórmula de cálculo para la derivada Direccional (Sin demostración).
Derivada Direccional Máxima y Mínima. Teorema: Si f tiene sus derivadas parciales
continuas en los puntos cercanos a P0(x0,y0) entonces f es diferenciable en P0. (Sin
demostración). Teorema: Si f es diferenciable en P0(x0,y0) entonces f es continua en P0.
(Con demostración). Campos vectoriales.
Unidad 6. INTEGRALES CURVILINEAS y DOBLES
Integral curvilínea y Concepto de trabajo. Diferenciales exactas y función potencial.
Propiedad: Sean P(x,y) y Q(x,y) con derivadas parciales Px Py Qx Qy continuas,
entonces: Ω = P(x,y)dx + Q(x,y)dy es diferencial exacta si y sólo si Py = Qx (Con
demostración ⇒). Propiedades de las integrales curvilíneas de diferenciales exactas.
Teorema:
∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = f ( xB , y B ) − f ( x A , y A )
C
(Con demostración). Corolario 1 (Con demostración). Corolario 2 (Con demostración).
Integrales dobles. Teorema de Green.
Unidad 7. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS: APLICACIONES
Nociones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Soluciones particulares y generales.
Integración de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Teorema:
Si y1(x), y2(x) son soluciones de la ecuación diferencial considerada, entonces, y(x) =
C1.y1(x) + C2.y2(x) también es solución. (Con demostración). Polinomio característico.
Deducción de la obtención de la solución de la ecuación homogénea de segundo orden
cuando las raíces son reales e iguales, reales y distintas y complejas. (Con
demostración).
Unidad 8. TEORIA DE ERRORES y VARIACION ESTADISTICA.
Modelo estadístico de medición. Notación estadística. Error e Incertidumbre. Errores
Sistemáticos, Errores Aleatorios. Estimación de los resultados: Media y Desviación
Estándar, Dispersión de la Media. Cifras significativas, Errores de Redondeo. Recta de
mejor ajuste: Pendiente y Ordenada al Origen. Coeficiente de Correlación.