Sucesiones y Series

Sucesiones y Series
24 de noviembre de 2011
En las siguientes notas vamos a repasar algunas definiciones y resultados sobre sucesiones para luego
dedicarnos a estudiar el tema Series. Para los estudiantes que quieran profundizar en el tema les recomendamos la siguiente referencia: Calculus Volumen I, de Tom Apostol.
Queremos aclarar que estas notas estan en construcción por lo cual apreciamos cualquier aporte o
corrección que puedan dar sobre las mismas.
1.
Sucesiones
En esta sección vamos a dar un repaso rápido y general sobre el tema sucesiones.
1.1.
Definición
Una sucesión es una función que asigna a cada número natural n ∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .} un número
real xn (llamado término n-ésimo de la sucesión). Notaremos a las sucesiones como {xn }, {xn }n∈N o
(x0 , x1 , x2 , . . . , xn , . . .).
Ejemplo 1. {n}n∈N = (0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .). Esta sucesión se denomina sucesión de números naturales.
Ejemplo 2. {an }n∈N = (1, a, a2 , a3 , . . . , an , . . .), donde a ∈ R.
Ejemplo 3. {(−1)n }n∈N = (1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .).
Definición 1. Decimos que la sucesión {xn }n∈N está acotada cuando existe K > 0 tal que |xn | < K
para todo n ∈ N.
Ejemplo 4. La sucesión {(−1)n }n∈N es acotada. Podemos tomar como cota K = 1. Sin embargo la
sucesión {n}n∈N no está acotada.
Ejercicio 1. Consideremos la sucesión {an }n∈N . Estudiar para qué valores de a ∈ R la sucesión está acotada.
Solución:
El término n-ésimo de la sucesión es an . Observar que |an | = |a|n . Por lo tanto la sucesión {an }n∈N
está acotada sı́ y sólo sı́ 0 ≤ |a| ≤ 1.
1.2.
Lı́mites de Sucesiones
Definición 2. Decimos que la sucesión {xn }n∈N es convergente a (o tiene lı́mite) α, y escribimos
lı́m xn = α, cuando para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que |xn − α| < ε para todo n > N .
n→+∞
En caso contrario decimos que la sucesión {xn }n∈N no converge.
Observar que la anterior condición nos dice que para cualquier ε > 0 arbitrariamente chico, podemos
encontrar un ı́ndice N (posiblemente grande) tal que a partir de ese ı́ndice todos los términos con ı́ndices
mayores que N se mantienen en el entorno de centro α (el lı́mite) y radio ε.
En otras palabras, la anterior definición nos dice que cuando n se hace cada vez más grande, los
términos n-ésimos se acercan cada vez más al valor α. Por esta razón en el caso de que una sucesión tenga
lı́mite, el lı́mite es único, ya que no es posible acercarse arbitrariamente a dos lugares distintos al mismo
tiempo.
1
Definición 3. Si la sucesión {xn }n∈N es no convergente pero se tiene que
lı́m xn es +∞ o −∞,
n→+∞
diremos que la sucesión {xn }n∈N es divergente a +∞ o −∞.
Ejemplo 5. La sucesión {( 21 )n } tiene lı́mite 0.
Ejemplo 6. La sucesión {an } sólo tiene lı́mte cuando |a| < 1 (cuando a = 1 también, pero en ese caso
es una sucesión constante). ¿Cuál es el lı́mite en el caso |a| < 1?
Para el caso a > 1 se tiene que {an } es divergente a +∞.
Observar que en el caso a < −1 la sucesión {an } no converge. ¿Por qué?
Ejemplo 7. La sucesión { n1 } tiende a 0.
En la siguiente proposición vamos a enunciar las propiedades algebraicas de los lı́mites. La demostración es muy similar a las demostraciones ya dadas para el caso de lı́mites de funciones en el
Capı́tulo 1 de las notas de teórico.
Proposición 4. Sean {an } y {bn } dos sucesiones convergentes. Entonces
1.
2.
3.
lı́m an + bn = lı́m an + lı́m bn .
n→+∞
n→+∞
n→+∞
lı́m c · an = c lı́m an , para todo número real c ∈ R.
n→+∞
n→+∞
lı́m an · bn = ( lı́m an ) · ( lı́m bn ).
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Ejercicio 2. Estudiar si la sucesión {xn }n∈N dada por xn = 1 +
Solución:
n
Observar que (−1)
n =
1
n,
1
n→+∞ n
y como lı́m
n→+∞
tiene lı́mite.
= 0 tenemos que
lı́m xn = lı́m 1 +
n→+∞
(−1)n
n
(−1)n
(−1)n
= 1 + lı́m
= 1.
n→+∞
n
n
Lema 5. Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración. Sea {xn }n∈N una sucesión convergente a α. Entonces dado, por ejemplo, ε = 1 existe un
N ∈ N tal que |xn − α| < 1 para todos los ı́ndices n mayores que N . Por lo tanto todos los términos xn
de la sucesión, salvo los primeros N , están acotados entre α − 1 y α + 1, es decir xn ∈ (α − 1, α + 1). Por
lo tanto, como lo que resta son una cantidad finita de términos, concluimos la sucesión esta acotada.
√
Ejercicio 3. Probar que la sucesión { n n}n∈N es convergente a 1.
(Sugerencia: Recordar que ab = eb log(a) .)
Observación 6. El Lema 5 nos da un criterio sencillo para estudiar la convergencia de sucesiones. De
hecho, nos da una condición necesaria para saber si una sucesión converge.
Ejemplo 8. La sucesión {(−1)n ·n}n∈N = (0, −1, 2, −3, 4, −5, . . .) no puede converger como consecuencia
de no estar acotada (|(−1)n n| = n → +∞).
Ejemplo 9. El hecho de que una sucesión esté acotada es claro que no es una condición suficiente para
demostrar la convergencia de una sucesión. Basta considerar el ejemplo {(−1)n }n∈N = (1, −1, 1, −1, . . .).
1.3.
Sucesiones Monótonas
Definición 7. Diremos que la sucesión {xn }n∈N es monótona creciente cuando xn ≤ xn+1 , para todo
n ∈ N.
Análogamente, diremos que la sucesión {xn }n∈N es monótona decreciente cuando xn ≥ xn+1 , para
todo n ∈ N.
Cuando las desigualdades ≤ o ≥ son estrictas (< o >) diremos que son estrictamente creciente o
estrictamente decreciente respectivamente.
El siguiente teorema nos da una condición suficiente de convergencia.
Teorema 8. Toda sucesión monótona (creciente o decreciente) y acotada es convergente.
2
Idea de la prueba: Supongamos que {xn }n∈N es monótona creciente y acotada. Consideremos la “menor”
de las cotas superiores, es decir, el menor número K tal que K sea cota superior de {xn }n∈N . 1 Vamos a
probar que K tiene que ser el lı́mite de la sucesión.
Como K es cota superior se tiene que xn ≤ K para todo n ∈ N. Como K es el menor de los números
que verifica esa propiedad, se tiene que para cualquier ε > 0 el número K − ε (que es menor a K) no
puede ser cota superior. Es decir que existe por lo menos un término xN suficientemente grande tal que
K − ε < xN ≤ K. Ahora como al sucesión es monótona creciente tenemos que K − ε < xN ≤ xn ≤ K
para todo n > N . Es decir que |K − xn | < ε para todo n > N .
Como el ε es arbitrario concluimos que la sucesión tiene lı́mite y es igual a K.
2.
Series
2.1.
Definición
Una serie es una suma infinita de números reales. Para ser más precisos, dada una sucesión de
números reales {xn }n∈N , podemos considerar una nueva sucesión de números reales {Sn }n∈N donde Sn
está definido por
n
X
xi = x0 + x1 + x2 + . . . + xn ,
n = 0, 1, 2, . . . .
Sn =
i=0
Usualmente a Sn se le llama suma parcial n-ésima.
Definición 9. En el caso de existir el lı́mite de la sucesión de sumas parciales {Sn }n∈N , a dicho lı́mite
se le llama serie y se dice que la serie converge. Se notará
+∞
X
xn = lı́m Sn = lı́m x0 + x1 + . . . + xn .
n→+∞
n=0
n→+∞
En el caso de que la sucesión de sumas parciales {Sn }n∈N no tenga lı́mite diremos que la serie no
converge.
En el caso particular que la sucesión de sumas parciales {Sn }n∈N sea divergente +∞, diremos que la
+∞
P
serie diverge a +∞ y escribimos
xn = +∞.
n=0
Ejemplo 10. Dada la sucesión {1}n∈N podemos analizar la serie de sumas parciales {Sn }n∈N , donde
Sn = 1 + . . . + 1 = n + 1. Observar que lı́m Sn = +∞ y por tanto la serie diverge a +∞.
| {z }
n→∞
n+1 sumandos
Ejemplo 11. Consideremos la sucesión {an }n∈N , donde a ∈ R. Analicemos la n-ésima suma parcial
n
P
de la sucesión {an }n∈N , es decir, Sn =
ak . En particular veamos para qué valores de a las sumas
k=0
parciales tienen lı́mite; y por tanto, para esos valores, la serie es convergente.
Escribamos Sn y aSn :
Sn
aSn
=
=
1 + a + a2 + a3 + . . . + an
2
3
4
n+1
a + a + a + a + ... + a
(2.1)
.
(2.2)
Si a la igualdad (2.1) le restamos la igualdad (2.2), se obtiene que:
Sn − aSn = (1 − a)Sn = 1 − an+1 ,
1 La existencia de la menor cota no es un tema que podamos abordar en este curso. Tiene que ver con la completitud de
los números reales.
3
1 − an+1
. Ahora bien, si |a| < 1, ya observamos en un ejemplo
1−a
anterior que existe el lı́m an y vale 0, por lo que en ese caso se tiene que:
por lo que si a 6= 1, se tiene que Sn =
n→∞
1 − an+1
1
=
,
n→+∞
1−a
1−a
lı́m Sn = lı́m
n→+∞
(2.3)
y la serie converge.
Si a > 1 es claro que Sn diverge a +∞ (observar que el denominador del resultado de la suma parcial
es negativo en este caso).
Si a < −1, entonces la fórmula para la suma parcial Sn sigue siendo válida y nos permite deducir
que no existe el lı́mite de Sn cuando n → +∞, puesto que en los términos con n par la suma parcial es
positiva y tiende a +∞, y en los términos impares Sn es cada vez más negativa y tiende a −∞.
Observar que para a = −1 la serie resulta alternada y no converge (Sn = 1 si n es par, Sn = 0 si n
es impar). Finalmente, si a = 1, la fórmula que se dedujo no es válida, pero de todos modos es sencillo
calcular Sn = 1 + 1 + . . . + 1 = n + 1, de lo que se deduce que Sn diverge si a = 1.
{z
}
|
n+1 veces
En resumen, la serie
+∞
X
an converge si y sólo si |a| < 1 y la suma de la serie es
n=0
1
. Esta serie se
1−a
conoce como la serie geométrica de razón a.
+∞
X
1
. Esta serie se conoce como serie
n
n=1
armónica y es uno de los ejemplos básicos de series que visitaremos en muchas ocasiones. Probemos
que la serie armónica diverge.
Ejemplo 12. Consideremos la sucesión { n1 }n≥1 y la serie
Fijemos N = 2k para algún k ≥ 0. Se tiene entonces que
SN = 1 +
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
+ + + + + + + + ... +
+ . . . + k−1 + . . . + k .
2 3 4 5 6 7 8 9
16
2
2
Observemos ahora que:
SN
=
1+
1
1 1 1 1
1
1
1
1 1
1
+ + + + + + ... +
+ . . . + k−1
+
+
+ ... + k
2
3
4
5
6
7
8
9
16
2
+
1
2
{z
} |
{z
}
| {z } |
|
{z
}
≥ 14 + 41 = 12
≥
1+
≥ 18 + 18 + 18 + 18 = 12
1
1
≥ 16
+...+ 16
= 12
≥
1
1
1
+ k = 1 + (k + 1) .
2
2
2
1
2k
+...+
1
2k
= 21
(2.4)
Ahora bien, si k → +∞, N también lo hará, y la desigualdad (2.4) nos permite observar que SN =
S2k → +∞ cuando k → +∞. De ello se deduce que lı́m Sn = +∞.
n→+∞
En el teórico se dará una demostración alternativa de la divergencia de la serie armónica usando
integrales.
Consideremos un α ∈ R+ . Para es α fijo definamos la serie:
+∞
P
n=1
1
nα .
Para α = 1 se obtiene la serie
armónica.
Esta familia de series (para cada valor de α positivo se tiene una serie diferente) han sido bien
estudiadas y se conoce para qué valores de α la serie converge y para cuáles no. Enunciaremos este
resultado en la siguiente proposición.
Proposición 10. Sea α ∈ R+ . Entonces, la serie:
+∞
X
1
α
n
n=1
converge, si y sólo si α > 1.
En el resto de los casos, es decir, cuando α ∈ (0, 1] la serie diverge.
4
(2.5)
En estos apuntes sólo probaremos que la serie diverge cuando α ∈ (0, 1] (para α = 1 ya está probado).
Con un argumento similar al que se verá en el teórico para probar que se serie armónica con α = 1
+∞
P 1
diverge, basado en integrales, se puede probar que si α > 1 entonces la serie
nα converge.
n=1
2.2.
Convergencia de Series
En esta subsección se verán algunos criterios de convergencia para series. Primero veamos una condición necesaria para la convergencia de series, es decir, una condición que se cumple cuando la serie es
convergente, pero que cuyo cumplimiento no asegura la convergencia de la serie.
Proposición 11. (Condición Necesaria) Sea {an }n∈N una sucesión. Entonces, si la serie
+∞
P
an
n=0
asociada a la sucesión {an }n∈N converge, debe cumplirse que
Ejemplo 13. Consideremos an =
n
log(n)
lı́m an = 0.
n→+∞
para todo n ≥ 2. La serie
+∞
P
n=2
lo hiciese, la proposición anterior nos dice que deberı́a suceder que
sabe que
n
lı́m
n→+∞ log(n)
n
log(n)
no converge, puesto que si
lı́m an = 0, pero sin embargo se
n→+∞
= +∞.
Ejemplo 14. De forma análoga se puede mostrar que la serie asociada a la sucesión an =
todo n ≥ 0 no converge, puesto que
lı́m an =
n→+∞
n2
n2 +n+1
n2
n2 +n+1
para
= 1.
En los dos ejemplos anteriores se puede probar que las series divergen a +∞. En efecto, cada sumando
de cada una de las series es un número positivo, por lo que si alguna de las series estuviese acotada, su
sucesión de sumas parciales Sn serı́a una sucesión monótona creciente y acotada, por lo que tendrı́a un
lı́mite finito, es decir, serı́a convergente, lo que es absurdo, por que ambas series ya vimos que no lo eran.
Ejemplo 15. Consideremos la serie armónica
+∞
P
n=1
1
n.
Ya sabemos que la serie diverge, sin embargo
lı́m an = 0.
n→+∞
El último ejemplo demuestra que, aunque se satisfaga la condición necesaria de la proposición, no se
puede asegurar que la serie converge. Sin embargo, sı́ se puede afirmar que, si no se cumple la condición
+∞
P
necesaria, es decir, si lı́m an 6= 0, la serie
an no puede ser convergente.
n→+∞
n=0
Para estudiar el comportamiento de una serie, esto es, si es convergente o no, basta con saber cómo se
comportan los términos de la sucesión que estamos sumando para valores grandes (usualmente llamada
la “cola” de la serie). Más precisamente,
Lema 12. Sea {an }n∈N una sucesión y n0 ∈ N arbitrario. Entonces el comportamiento de las series
+∞
X
an
n=0
y
+∞
X
an es el mismo. Es decir, o ambas series son convergentes, o ambas series son no convergentes.
n=n0
Demostración. Observar que, si N ≥ n0 , entonces
N
X
n=0
an =
n0
X
n=0
an +
N
X
n=n0 +1
an = α +
N
X
an ,
n=n0 +1
Pn0
donde α = n=0
an . Entonces tomando lı́mite en N concluimos que el comportamiento de ambas sucesiones es el mismo, y por lo tanto se prueba el resultado.
Ahora pasamos a enunciar diferentes criterios que nos permitirán saber en muchos casos si una serie
converge o diverge.
Proposición 13. (Criterio de comparación) Sea {an }n∈N y {bn }n∈N sucesiones tales que 0 ≤ an ≤ bn
para todo n ∈ N. Entonces vale que:
5
(i) Si
+∞
P
bn es convergente =⇒
n=0
(ii) Si
+∞
P
+∞
P
an es convergente.
n=0
+∞
P
an es divergente =⇒
n=0
bn es divergente.
n=0
Demostración. a): Sea {Sn }n∈N la sucesión de sumas parciales de {an }n∈N , es decir, Sn =
n
P
ai . Como
i=0
0 ≤ an , tenemos que la sucesión de sumas parciales es monótona creciente. Además, como an ≤ bn ,
resulta
n
n
+∞
X
X
X
Sn =
ai ≤
bi ≤
bi ,
i=0
i=0
i=0
por lo tanto {Sn }n∈N es una sucesión monótona y acotada. Entonces por el Teorema 8 concluimos que la
+∞
P
sucesión de sumas parciales de an es convergente, es decir
an < ∞.
n=0
b): Se deja como ejercicio.
Ejemplo 16. Consideremos la serie
+∞
P
n=1
1
n! ,
donde n! es el factorial de n, es decir, n! = n(n − 1)! con
1! = 1. Vamos a probar que converge.
1
Se puede observar que para todo n ≥ 4 se cumple que 2n < n!. Por lo cual se cumple n!
< 21n ,
+∞
P 1 n
converge, entonces
para todo n ≥ 4. Por el ejemplo de la serie geométrica sabemos que la serie
2
aplicando el criterio de comparación (la parte (i)) se obtiene que la serie
Ejemplo 17. Sea α ∈ (0, 1) fijo. Veamos que la serie:
+∞
P
n=1
1
nα
n=1
+∞
P 1
n!
n=1
también converge.
diverge utilizando el criterio de compara-
ción.
Observar que como α ∈ (0, 1) se tiene que nα < n para todo n ≥ 1; por tanto n1 < n1α y como la serie
+∞
+∞
P 1
P 1
armónica
n diverge, entonces el criterio de comparación nos dice que
nα también diverge.
n=1
n=1
Proposición 14 (Criterio del cociente). Sea {an }n∈N una sucesión y L = lı́m
n→+∞
(i) Si L < 1, entonces la serie
+∞
X
|an+1 |
.
|an |
an converge.
n=0
(ii) Si L > 1, entonces la serie
+∞
X
an no converge.
n=0
Si L = 1, el criterio no nos permite decidir si la serie converge o no.
Demostración. (i): Para fijar ideas vamos a suponer que los términos de la serie son positivos: an ≥ 0
para todo n ∈ N. Como el lı́mite del cociente an+1 /an es L menor que 1, se tiene que dada una constante
K, L < K < 1, existe n0 ∈ N tal que an+1 /an < K para todo n ≥ n0 . Entonces para todo n ≥ n0 , se
tiene que an < Kan−1 < K 2 an−2 < · · · < K n−n0 an0 . Por lo tanto
N
X
n=n0
Como K < 1, la serie
de comparación que
+∞
P
n=n0
+∞
P
an <
n
X
n=n0
K n−n0 = K n0
n
X
K n−n0 an0 = an0
+∞
P
K n−n0 .
n=n0
K n es convergente, y por lo tanto concluimos del criterio
n=0
an es convergente. El resultado sigue de aplicar el Lemma 12.
n=n0
(ii): La prueba es similar a la anterior. Se deja de ejercicio.
6
(i): Ver Ejemplo 20.
+∞
P log(n)
Ejemplo 18. Consideremos la serie
n! . Utilizaremos el criterio del cociente para saber si converge
n=1
o no.
L = lı́m
n→+∞
|an+1 |
n! log(n + 1)
log(n + 1)
1
= lı́m
= lı́m
= lı́m
= 0 < 1.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
|an |
(n + 1)! log(n)
(n + 1) log(n)
n+1
+∞
P
Entonces, por el criterio del cociente se deduce que la serie
n=1
Ejemplo 19. Consideremos la serie
+∞
P
n=1
log(n)
n!
converge.
n2 +1
n! .
|an+1 |
n![(n + 1)2 + 1]
(n + 1)2 + 1
n2
= 0 < 1.
= lı́m
= lı́m
= lı́m
2
2
n→+∞ |an |
n→+∞ (n + 1)![n + 1]
n→+∞ (n + 1)(n + 1)
n→+∞ n3
L = lı́m
+∞
P
Por el criterio del cociente, la serie
n=1
n2 +1
n!
converge.
Ejemplo 20. Consideremos las siguientes series: (i)
+∞
P
n=1
1
n
y (ii)
+∞
P
n=1
1
n2 .
Para (i), se tiene que:
|an+1 |
n
n
= lı́m
= lı́m
= 1.
n→+∞ |an |
n→+∞ n + 1
n→+∞ n
L = lı́m
En el caso de (ii):
|an+1 |
n2
n2
= lı́m
=
lı́m
= 1.
n→+∞ |an |
n→+∞ (n + 1)2
n→+∞ n2 + 2n + 1
L = lı́m
En ambos casos el lı́mite da uno, por lo que las series no pueden claseificarse según el criterio del
cociente. Es más, en el caso de la serie (i) sabemos que diverge y en el caso de (ii) sabememos que es
convergente.
p
1
Proposición 15 (Criterio de la raı́z ). Sea {an }n∈N una sucesión y L = lı́m n |an | = lı́m |an | n .
n→+∞
(i) Si L < 1, entonces la serie
+∞
X
n→+∞
an converge.
n=0
(ii) Si L > 1, entonces la serie
+∞
X
an no converge.
n=0
Si L = 1, el criterio no nos permite decidir si la serie converge o no.
Demostración. (i): Al igual que en el criterio del cociente, vamos a suponer que los términos de la serie
√
son positivos. Como el lı́mite n an es L menor que 1, se tiene que dada una constante K, L < K < 1,
√
existe n0 ∈ N tal que n an < K para todo n ≥ n0 . Entonces elevando a la potencia n se tiene
an < K n ,
Entonces
N
X
n ≥ n0 .
para todo
an <
n=n0
n
X
K n,
n=n0
la cual es convergente por ser la cola de la serie geométrica
+∞
P
n=0
sigue del Lemma 12.
(ii): La prueba es similar a la anterior. Se deja de ejercicio.
(i): Ver Ejemplo 20.
7
K n con K < 1. Por lo tanto el resultado
+∞ X
1 n
1
−
.
n2
n10
n=1
r
p
1 n
n8
1
n8 − 1
n
n
L = lı́m
−
=
lı́m
= 0 < 1.
|an | = lı́m
=
lı́m
n→+∞
n→+∞ n10
n→+∞
n→+∞ n10
n2
n10
n
+∞
P1
1
Por el criterio de la raı́z, la serie
−
converge.
n2
n10
Ejemplo 21. Consideremos la serie
n=1
+∞ n n2
X
2 3
.
n
n=1
r
n n2
p
2 3n
n 2 3
n
|an | = lı́m
L = lı́m
= lı́m √
= lı́m 2 3n = +∞.
n→+∞
n→+∞
n→+∞ n n
n→+∞
n
Ejemplo 22. Consideremos la serie
Por el criterio de la raı́z, la serie
+∞
P
n=1
2
2n 3n
n
diverge.
+∞
P
Ejemplo 23. Sea a ∈ R tal que |a| < 1. Se define la serie
n2 an , mostremos que esta serie converge
n=0
usando el criterio de la raı́z. En efecto se tiene:
p
1
1
lı́m n |n2 an | = lı́m (n2 an ) n = lı́m |a|(n2 ) n ,
n→+∞
n→+∞
por lo que alcanza con mostrar que
lı́m (n2 )
1
n
n→+∞
n→+∞
= 1 (observar que en principio este lı́mite es una inde-
0
terminación “∞ ”).
Como con este tipo de lı́mites se procede de la siguiente manera:
1
lı́m (n2 ) n = lı́m e
n→+∞
1 log (n2 ) n
1
= lı́m e n log(n
n→+∞
n→+∞
2
)
2
= lı́m e n log(n) = 1 ,
n→+∞
porque el exponente tiende a 0 cuando n → +∞ por órdenes de infinitud. En resumen, se tiene que:
p
lı́m n |n2 an | = |a| < 1 ,
n→+∞
por lo que el criterio de la raı́z dice que la serie converge.
Ejercicio 4. Con el mismo argumento del ejemplo anterior probar que, si |a| < 1, la serie
+∞
P
nα an es
n=0
convergente para cualquier α ∈ R+ fijo.
Ejercicio 5. Sean a ∈ R, con |a| < 1 y α ∈ R+ . Se considera la serie
+∞
P
n=1
an
nα .
Probar, utilizando el
criterio de la raı́z, que la serie converge.
Ejercicio 6. Sea {an }n∈N una sucesión de números positivos tales que lı́m an = 7. Probar que la serie
n→+∞
+∞
P
n=1
an
n2
es convergente.
Solución: Como {an }n∈N es convergente se encuentra acotada, por lo que existe K > 0 tal que
0 ≤ an ≤ K para todo n. Entonces se tiene que ann2 ≤ nK2 para todo n ≥ 1.
Ahora bien, se tiene que:
+∞
+∞
X
X
K
1
=
K
,
2
2
n
n
n=1
n=1
y esta última serie se sabe que es convergente (es de la familia de las series armónicas con α = 2); por
+∞
P an
tanto, el criterio de comparación nós dice que:
n2 es convergente.
n=1
Ahora se consideran las series
+∞
P
an en las que cada término an puede ser expresado como la diferencia
n=1
de dos términos sucesivos de una sucesión {bn }n∈N en la forma an = bn − bn+1 , estas series son conocidas
como series telescópicas cuya conducta está caracterizada por la siguiente proposición.
8
Proposición 16. (Series telescópicas) Sea {an }n∈N y {bn }n∈N dos sucesiones tales que an = bn −bn+1
+∞
P
para todo n ≥ 1. Entonces la serie
an es convergente si y sólo si la sucesión {bn }n∈N es convergente
n=0
y en tal caso se cumple que:
+∞
X
an = b0 − lı́m bn .
n→+∞
n=0
Demostración. Observar que
N
X
an = a0 + a1 + · · · + aN −1 + aN
n=0
= (b0 − b1 ) + (b1 − b2 ) + · · · + (bN −2 − bN −1 ) + (bN −1 − bN )
= b0 − bN .
Entonces
N
X
an = b0 − bN , y tomando lı́mite en N concluimos la proposición.
n=0
Análogamente se tiene:
Corolario 17. Sean {an }n∈N y {bn }n∈N dos sucesiones tales que an = bn+1 − bn para todo n ≥ 1.
+∞
P
Entonces la serie
an es convergente si y sólo si la sucesión {bn }n∈N es convergente y en tal caso se
n=0
cumple que:
+∞
X
an = lı́m bn − b0 .
n=0
n→+∞
La prueba queda de ejercicio.
Ejemplo 24. Consideremos la serie
+∞
P
1
n(n+1) .
n=1
1
n(n+1)
1
n
=
−
1
n+1
= bn − bn+1 , por lo cual observamos que la serie es una serie
+∞
P
1
telescópica. Utilizando la proposición se cumple que la serie
n(n+1) es convergente (por ser la sucesión
Se cumple, an =
n=1
bn =
1
n
convergente) y su suma es
+∞
X
1
1
1
= − lı́m
= 1.
n(n + 1)
1 n→+∞ n
n=1
Ejemplo 25. Consideremos la serie
Se cumple, an = log(1 + n1 ) =
serie telescópica.
+∞
P
log(1 + n1 ).
n=1
log( n+1
n )=
log(n + 1) − log(n) por lo cual observamos que la serie es una
Utilizando el corolario de la proposición se cumple que la serie
+∞
P
n=1
log(1 + n1 ) es divergente (por ser la
sucesión bn = log(n) divergente).
Proposición 18. (Criterio de Leibniz) Sea {an }n∈N una sucesión tal que an ≥ 0 para todo n y tal
+∞
X
que lı́m an = 0. Entonces la serie
(−1)n an converge.
n→+∞
n=0
Ejemplo 26. Consideremos la serie:
+∞
P
n=0
(−1)n
√
.
n
Eligiendo an =
se prueba que la serie converge.
9
√1
n
y utilizando el criterio de Leibniz,