Algebra Computacional - Universidad de Antioquia

Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas
Programa de Maestría en Matemáticas
Programa de Curso
Nombre: ÁLGEBRA COMPUTACIONAL Y APLICACIONES
Código:
CNM- 645
Tipo de curso:
Electivo
Area:
Álgebra y Teoría de Números
Horas Teóricas:
4
Horas Prácticas:
0
Horas Teórico-Prácticas:
0
Modalidad:
Presencial
Prerrequisitos:
Ninguno
Correquisitos:
Ninguno
Jornada:
Diurna
Número de horas semanales con presencia del profesor: 4
Número de horas semanales de dedicación del estudiante, en trabajo independiente: 12
Créditos: 5
(Ultima Revisión: Octubre 1999, Profesor Mario Estrada )
CONTENIDO:
1. BASES DE GRÖBNER
1.1 Solución de sistemas de ecuaciones lineales. Algoritmo de eliminación de Gauss.
1.2 Algoritmo de Euclides en el anillo de polinomios de una variable sobre un campo.
1.3 Órdenes admisibles en el conjunto de términos del anillo de polinomios sobre un
campo.
1.4 El algoritmo de división.
1.5 Reducción de un polinomio respecto a un sistema finito de polinomios.
1.6 Bases de Gröbner de un ideal. Caracterizaciones de las bases de Gröbner.
1.7 S-polinomios y el algoritmo de Bucaberger.
1.8 Bases de Gröbner minimales y reducidas.
2. APLICACIONES DE LAS BASES DE GRÖBNER
2.1 Dado un polinomio y un ideal en el anillo de los polinomios, determinar su pertenencia
al ideal.
2.2 Determinar si dos ideales son iguales.
2.3 Hallar representantes de los cosetos módulo un ideal.
2.4 Hallar una base del espacio vectorial, sobre el campo de coeficientes, del anillo
cociente respecto a un ideal.
2.5 Calcular en el anillo cociente respecto a un ideal.
2.6 Encontrar inversos en el anillo cociente, si existen.
2.7 Teoría de la eliminación.
2.8 Aplicaciones polinomiales.
2.9 Algunas aplicaciones de la geometría algebraica.
2.10 Polinomios minimales de elementos en una extensión de campo.
2.11 Programación en enteros.
3. MÓDULOS Y BASES DE GRÖBNER
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Módulos. Recordatorio. Syzygias.
El algoritmo de Buchberger mejorado.
Cálculo de los módulos de Syzygias.
Bases de Gröbner para módulos.
Algoritmo de Buchberger para módulos.
Aplicaciones elementales de las bases de Gröbner para módulos.
Aplicaciones elementales de los Syzygias.
Resoluciones libres.
BIBLIOGRAFÍA:
1. D., Cox, J. Little y D. O’shea. Ideals, Varieties and Algorithms. Springer Verlag.
New York. 1992.
2. W. Adams y Ph. Lous Taunau. An Introduction to Gröbner Bases. A. M. S. Graduate
Texts in Mathematics. Vol 3. 1994.
3. D. Bisenbud. Commutative Algebra, with a View Toward Algebraic Geometry.
Springer Verlag. New York. 1994.
4. TN. Breker y V. Weispfenning. Gröbner Bases, a Computational Approach to
Commutative Algebra. Springer Verlag. New York. 1991.