41 dVt = Pt dQt + Qt dPt + dpit) qit dqit (Pit

FUNDAMENTOS MATEMATICOS SOBRE LOS NUMEROS INDICES
Efraín A. López
Facultad de Economía
Universidad de los Andes
Se expondrá en este artículo un ingenioso método matemático
para obtener las fórmulas sobre los números índices. El mismo fue
ideado por F. Divisia en 1925-1926, y en este trabajo se hace una
extensión a otros índices más comunes en la literatura de la Esta
dística Económica. Está basado en la utilización de una ecuación
diferencial general, cuya solución particular bajo determinadas
condiciones iniciales da origen a los números índices: Laspeyres,
Paashe, Fisher, Marshall y Keynes.
Supongamos que el valor de un conjunto de artículos, en un pe
ríodo “t”, puede ser expresado como:
i=n
Vt =
∑
pit * qit = Pt * Qt
i =1
Donde Pt representa el nivel general de precios en el período “t”
y Qt el volumen total físico en el mencionado período. Si estamos
interesados en la medida del nivel de precios Pt, entonces cualquier cambio en el valor de Vt, puede ser el resultado de un cambio en los precios o un cambio en las cantidades consumidas. Por
lo tanto, diferenciando se tiene:
dVt = Pt dQt + Qt dPt
i=n
=
∑ (Pit dqit + qit dpit)
i =1
==========>
dVt
Pt dQt + Qt dPt
=
Pt Qt
Pt Qt
i=n
∑ P dQ + Q dP
t
=
t
i =1
Pt Qt
41
t
t
i=n
==========>
dQt dPt
+
=
Qt
Pt
∑ (p
dqit + qit dpit)
it
i =1
Pt Qt
i=n
∑ (p
it
=
i =1
dqit + qit dpit)
i=n
∑p
qit
dqit
∑q
it
i =1
i=n
i=n
∑p
it
=
∑p
it
it
+
i =1
i=n
qit
i =1
dpit
i =1
i =n
∑p
it
qit
i =1
Separando esta última ecuación en dos ecuaciones diferenciales, se
tiene:
i=n
⎧
⎪ dQt ∑ pit dqit
⎪
= ii==1n
Q
t
⎪
pit qit
∑
⎪⎪
i =1
⎨
i=n
⎪
qit dpit
∑
⎪ dPt i =1
⎪ Pt = i = n
⎪
pit qit
∑
i =1
⎩⎪
Consideremos la segunda ecuación diferencial, y supongamos que las
cantidades consumidas qit en el período comparado, son proporcionales a aquellas consumidas en el período base “o”, es decir:
==========>
42
qit
=k
qio
qit = k qio
Por lo tanto:
i=n
dPt
=
Pt
∑q
it
dpit
i =1
i=n
∑p
qit
it
i =1
i=n
∑k q
dpit
io
=
i =1
i=n
∑k q
pit
io
i =1
i=n
=
d ( ∑ pit qio )
i =1
i=n
∑p
it
qio
i =1
Donde Pt y pit son variables y qit = k qio es constante.
grando ambos miembros de esta última ecuación:
Inte-
i=n
dPt
=
Pt
d ( ∑ pit qio )
i =1
i=n
∑p
it
qio
i =1
i=n
==========>
log Pt = log ( ( ∑ pit qio ) + C1
i =1
Donde C1 es una constante arbitraria y cuyo valor puede ser obtenido mediante ciertas condiciones iniciales.
Impongamos como condición inicial que:
Qo = exp(-C1)
Donde exp = 2.7281 y QO es el volumen total físico en el período
“0”.
Puesto que:
i=n
Vo = Po Qo = ∑ pio qio
i =1
43
Po
==========>
=
i=n
∑p
io
qio
1
= exp(C1)
Qo
i =1
==========>
Po
exp(C1) =
i=n
∑p
io
qio
i =1
==========>
C1 = log (
Po
)
i=n
∑p
io
qio
i =1
Reemplazando este valor en la relación anterior, tenemos:
i=n
log Pt = log ( ∑ pit qio ) + log (
i =1
Po
)
i=n
∑p
io
qio
i =1
i=n
i=n
==========> log Pt = log ( ∑ pit qio ) + log Po - log ( ∑ pio qio )
i =1
i=n
i =1
i=n
i =1
i =1
==========> log Pt - log Po = log ( ∑ pit qio ) – log ( ∑ pio qio )
==========>
⎤
⎡ i=n
pit qio ⎥
∑
⎢
Pt
⎥
log( ) = log ⎢ ii==n1
Po
⎢ pio qio ⎥
⎥⎦
⎢⎣ ∑
i =1
Tomando antilogaritmo en ambos miembros, se tiene:
i=n
Pt
=
Po
∑p
it
qio
∑p
io
qio
i =1
i=n
i =1
44
Esta última expresión corresponde, como ya bien sabemos, a la de
finición del Indice de Precios de Laspeyres.
De la misma ecuación diferencial ( II ):
i=n
dPt
=
Pt
∑q
it
dpit
i =1
i=n
∑p
qit
it
i =1
Podemos obtener la correspondiente fórmula para el índice de precios de Paashe. Para ello cambiemos el subíndice “t” por el
subíndice “j”:
i=n
==========>
dPj
=
Pj
∑q
dpij
ij
i =1
i=n
∑q
ij
pij
i =1
Supongamos ahora que las cantidades consumidas en el período comparado son proporcionales a aquellas consumidas en un período, di
gamos “t”, es decir:
qij = k qit
i=n
==========>
dPj
=
Pj
∑k q
dpij
it
i =1
i=n
∑k q
it
pij
i =1
i=n
∑q
it
=
dpij
i =1
i=n
∑q
it
pij
i =1
Integrando ambos miembros, tenemos:
i=n
dPj
=
Pj
d (∑ qit pij )
i =1
i =n
∑q
it
i =1
45
pij
i=n
==========>
log Pj = log ( ∑ qit pij ) + C2
i =1
Donde, al igual que en el caso anterior, C2 es una constante arbitra
ria y cuyo valor puede ser obtenido mediante condiciones iniciales.
Qt = exp (-C2)
Supongamos que:
exp(C2) =
Pt
i=n
∑p
it
qit
i =1
⎡
⎤
⎢ Pt ⎥
⎥
C2 = log ⎢ i = n
⎢ pit qit ⎥
⎢⎣ ∑
⎥⎦
i =1
==========>
⎡
⎤
⎢ Pt ⎥
⎥
log Pj = log ( ∑ qit pij ) + log ⎢ i = n
⎢ pit qit ⎥
i =1
⎢⎣ ∑
⎥⎦
i =1
i=n
i=n
i=n
i =1
i =1
log Pj = log ( ∑ qit pij )- log ( ∑ pit qit ) + log Pt
i=n
i=n
i =1
i =1
==========> log Pj - log Pt = log ( ∑ qit pij ) - log ( ∑ pit qit )
==========>
⎡ i=n
⎤
qit pij ⎥
∑
⎢
Pj
⎥
log( ) = log ⎢ ii==n1
Pt
⎢ pit qit ⎥
⎢⎣ ∑
⎥⎦
i =1
Tomando antilogaritmo, tenemos:
i=n
======>
Pj
=
Pt
∑q
it
pij
∑p
it
qit
i =1
i =n
i =1
46
Invirtiendo esta última relación, se tiene:
i=n
Pt
=
Pj
∑p
it
qit
∑p
ij
qit
i =1
i=n
i =1
Si ahora hacemos j = 0, tendremos:
i=n
Pt
=
Po
∑p
it
qit
∑p
io
qit
i =1
i=n
i =1
Expresión que corresponde a la fórmula del Indice de Precio de
Paasche en el período “t” con base el período “0”.
Partiendo de nuestra ecuación inicial, es también fácil encontrar
el Indice de Precios de Marshall-Edgeworth. Para ello, supongamos que:
0 < j< t
qij = k1 (qio + qit)
pij = k2 pit
pj = k3 pt
⎧i)
⎪ii)
⎪
⎨
⎪iii)
⎪⎩iv)
Por lo tanto
i=n
dPj
=
Pj
∑q
ij
dpij
=
i =1
i=n
∑p
ij
qij
d (k3 Pt)
k3 Pt
i =1
i=n
dPt
=
Pt
∑k
1
( qio + qit )·k2 (dpit)
i =1
i=n
∑ k (q
io +
1
qit) · k2 pit
i =1
i=n
∑ (q
io
=
i =1
i=n
∑p
it
+ qit )dpit
( qio + qit )
i =1
47
i =n
=
d { ∑ ( qio + qit ) pit }
i =1
i=n
∑p
it
( qio + qit )
i =1
Integrando ambos miembros, se obtiene que:
i=n
log Pt = log [ ∑ (qio + qit) pit ] + C3
i =1
Considerando como condición inicial:
Tenemos:
⎡
⎢
PO
C3 = log ⎢ i = n
⎢ Pio (qio + qit)
⎢⎣ ∑
i =1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Po
⎤
⎡ i=n
log Pt = log ⎢∑ (qio + qit) pit ⎥ + log ( i = n
)
⎦
⎣ i =1
pio (qio + qit)
∑
i =1
======>
⎡ i=n
⎤
pit (qio + qit) ⎥
∑
⎢
Pt
⎥
log ( ) = log ⎢ ii==1n
Po
⎢ pio (qio + qit) ⎥
⎢⎣ ∑
⎥⎦
i =1
i=n
======>
Pt ∑
= i =1
Po i = n
pit (qio + qit)
∑p
io
(qio + qit)
i =1
Fórmula que corresponde al Indice de Precios de Marshall-Edgeworth.
Igual argumentación puede utilizarse para encontrar la fórmula del
Indice de Precios de Keynes.
Vamos a encontrar a continuación, la fórmula del Indice de Precios
de Fisher. Partiremos de la misma ecuación inicial:
i=n
qit dpit
dPt ∑
i =1
= i=n
Pt
∑ qit pit
i =1
48
Particionaremos la sumatoria del numerador en el segundo miembro
en dos partes de la siguiente manera:
i=n
⎡ i=n
it
it
+
q
dp
∑
∑ qit dpit
dPt ⎢ i =1
i = n1 + 1
=⎢
i=n
Pt ⎢
pit qit
∑
⎢⎣
i =1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
j= n2 *
*
⎡ i = n1
+
it
it
q
dp
q
dp
jt
jt
∑
⎢∑
dPt ⎢ i =1
j=1
=
i=n
Pt ⎢
pit qit
∑
⎢
i
1
=
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Donde:
⎧*
⎪qj, t = qn1 + i, t
⎪⎪
⎨*
⎪pj, t = qn1 + i, t
⎪
⎪⎩ j = i = 1,2,3.... ...n2
j= n2 *
i = n1
dPt
=
Pt
======>
∑ qit dpit
+
i =1
i=n
∑ pit qit
i =1
∑ qit dpit
i =1
i = n1
it
x
∑q
it
pit
j= n2 *
+
j=1
i = n2 *
∑q
*
jt
∑p
it
j= n2 *
*
∑ qjt dpjt
*
∑ qjt pjt
x
pjt
i =1
j=1
i =n
∑p
i =1
49
∑p
pit
i =1
i=n
i =1
i =1
it
qit
dpjt
i=n
i =1
∑q
*
jt
j=1
i = n1
i = n1
dPt
=
Pt
∑q
qit
it
qit
j= n2 *
i = n1
dPt
=
======> Pt
∑ qit dpit
i =1
i = n1
∑q
it
*
∑q
dpjt
jt
j=1
x a1 +
j= n2 *
∑q
pit
jt
i =1
*
pjt
j=1
En que:
i = n1
∑q
a1 =
it
pit
∑q
pit
i =1
i = n1
it
i =1
j= n2 *
*
∑q
dpjt
jt
j=1
a2 =
i=n
∑q
pit
it
i =1
k = n2
∑a
Y además:
k
=1
k =1
Sean:
i = n1
dP1
=
P1
∑q
dpit
it
i =1
i = n1
∑q
it
pit
i =1
j= n2 *
dP2
=
P2
∑q
*
dpjt
jt
j=1
j= n2 *
∑q
jt
*
pjt
j=1
======>
dPt
dP1
dP2
=
x a1 +
x a2
Pt
P1
P2
50
x a2
Si en la ecuación (1) hacemos qit = k qio, se tiene:
i = n1
dP1
=
P1
∑q
dpit
io
i =1
i = n1
∑q
io
pit
i =1
Integrando, se obtiene:
i = n1
log P1 = log ( ∑ qio + pit ) + C1
i =1
Donde C1 es una constante arbitraria.
De la Ecuación (2), se obtiene:
j= n2 *
dP2
=
P2
*
∑ qjt dpjt
j=1
j= n2 *
*
∑ qjt pjt
j=1
j= n2 *
======>
*
log P2 = log ( ∑ qjt pjt ) + C2
j=1
Sumando las ecuaciones (3) y (4), se tiene:
i = n1
j= n2 *
i =1
j=1
*
log P1 + log P2 = log ( ∑ pit qio ) + log ( ∑ qjt Pjt ) + C3
En que
C3 = C1 + C2
======> log (P1 · P2) = log {(
i = n1
j= n2 *
i =1
j=1
∑ pit qio ) · ( ∑ Pjt qjt )} + C3
Pero sabemos que:
dPt
dP1
dP2
=
x a1 +
x a2
Pt
P1
P2
51
Y además:
k =2
∑a
=1
k
k =1
Tomemos a1 = a2 = 1/2
======>
dPt
1 dP1 dP2
= (
+
)
Pt
P2
2 P1
Integrando miembro a miembro obtenemos:
log Pt = 1/2 log (P1 · P2) + C4
Reemplazando (5) en (6):
i = n1
log Pt = 1/2 log {(
∑p
it
i =1
j= n2 *
*
qio ) · ( ∑ pjt qjt )} + C
j=1
Donde C = C3 + C4
j= n2 * *
⎡ i = n1
⎤ 1/ 2
log Pt = log ⎢( ∑ pit qio ) · ( ∑ pjt qjt )⎥ +C
j=1
⎢⎣ i =1
⎦
Si los precios en el período base “0” son pio y el nivel de precios es Po, entonces:
j= n2 * *
⎡ i = n1
⎤ 1/ 2
log Po = log ⎢( ∑ pio qio ) · ( ∑ pjo qjt )⎥ + C
j=1
⎦
⎣⎢ i =1
PO
======> C = log
j= n2 * *
⎡ i = n1
⎤ 1/2
⎢( ∑ pio qio ) · ( ∑ pjo qjt )⎥
j=1
⎦
⎣⎢ i =1
52
Reemplazando el valor de C en la ecuación (7):
j= n2 * *
⎡ i = n1
⎤ 1/ 2
log Pt = log ⎢( ∑ pit qio ) · ( ∑ pjt qjt )⎥
j=1
⎢⎣ i =1
⎦
+ log
log (
Pt
) = log
Po
PO
j= n2 * *
⎡ i = n1
⎤ 1/2
⎢( ∑ pio qio ) · ( ∑ pjo qjt )⎥
j=1
⎦
⎣⎢ i =1
j= n2 * *
⎤
⎡ i = n1
pjt qjt ⎥
it
io
p
q
∑
⎢ ∑
1/ 2
j=1
⎢( i =i =n11
) · ( j= n2 * * )⎥
⎥
⎢
io qio
p
jo qjt ⎥
p
∑
∑
⎢⎣ i =1
j=1
⎦
Al tomar antilogaritmo, se obtiene:
j= n2 * *
⎤
⎡ i = n1
pjt qjt ⎥
it
io
p
q
∑
∑
⎢
1/ 2
Pt
j=1
= ⎢( i =i =n11
) · ( j= n2 * * ) ⎥
⎥
Po ⎢
pio qio
pjo qjt ⎥
∑
⎢⎣ ∑
i =1
j=1
⎦
Fórmula que corresponde al Indice de Precios de Fisher en el período “t” con base el período “0”.
Si en cambio se utiliza la ecuación diferencial (I) de la pág. 42
y para los precios se consideran supuestos análogos a los estable
cidos para las cantidades, se puede obtener de manera semejante
los correspondientes índices de cantidades de Laspeyres, Paasche,
Fisher, Marshall, Edgeworth y Keynes.
53
B I B L I O G R A F I A
BANERJEE, Kali S. “Cost of Living Index Numbers”, 1975, Marcel
Dekker, Inc. New York.
DAVIS, H.T. “The Theory of Econometrics”, Bloomington, Indiana,
Principia Press, 1947.
DIVISIA, F. “Economique Rationnelle”, 367-433, Paris, 1927.
DIVISIA, F. “L´indice Monetaire et les Theories de la Monnaje”.
Rev. Econo. Politique, 39, 842-861, 980-1008, 1121-1151
(1925); 40, 49-87 (1926).
54