)(f )f( y y y y ′ − = 0 1 Re *74.14.0 = − + − c c Ln

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL ROSARIO
Departamento de Ingeniería Química
Cátedra: Integración IV
Tema: Resolución de Ecuaciones No-Lineales
Alumnos: Damián Matich, Marcos Bossi y Juan M. Pignani
Profesores: Dr. Nicolás Scenna, Dr. Alejandro Santa Cruz y Dra. Sonia Benz
Año de cursado: 1999
Problema 1:
Para el flujo turbulento de un fluido a través de un tubo liso, es posible establecer la siguiente relación
entre el factor de fricción (cf) y el número de Reynolds (Re):
(
1
= −0.4 + 1.74 * Ln Re c f
cf
)
(1)
Calcular cf para Re = 104, 105 y 106.
Modelo de resolución:
Para resolver el problema planteado, se implementó el método de Newton-Raphson, de orden de
convergencia cuadrático (p = 2), en una planilla de cálculo. Siendo la expresión general del método:
y n +1 = y n −
f( y n )
f ′( y n )
Para esto es necesario reescribir la Ecuación (1) anterior de la forma:
(
)
− 0.4 + 1.74 * Ln Re c f −
1
= 0.
cf
El método se preparó en una planilla Excel como se muestra a continuación:
A
B
cf (n)
f(cf (n))
1 V. inicial
2
D2
3
D3
4
D4
5
D5
C
f ′(cf (n))
4
0.5
-0.5
4
0.5
-0.5
4
0.5
-0.5
0.4+1.74*Ln(10 A2 )-A2
0.4+1.74*Ln(10 A3 )-A3
0.4+1.74*Ln(10 A4 )-A4
4
0.5
-0.5
0.4+1.74*Ln(10 A5 )-A5
4
0.5
-0.5
0.4+1.74*Ln(10 A6 )-A6
D
E
cf (n+1)
Error
0.87/A2+0.5*A2
-1.5
A2-B2/C2 ABS(D2-A2) Preparación
0.87/A3+0.5*A3
-1.5
A3-B3/C3 ABS(D3-A3)
1º arrastre
-1.5
A4-B4/C4 ABS(D4-A4)
A5-B5/C5 ABS(D5-A5)
A6-B6/C6 ABS(D6-A6)
2º arrastre
0.87/A4+0.5*A4
-1.5
0.87/A5+0.5*A5
-1.5
0.87/A6+0.5*A6
Preparación: las fórmulas deben ingresarse manualmente; 1º arrastre: algunas de las fórmulas son arrastradas de la fila anterior; 2º
arrastre: las ecuaciones de la fila anterior son arrastradas hasta obtener el valor del error especificado, en el caso de que el método
converja.
1
Cálculos:
•
•
•
Para Re = 104:
cf (n)
f(cf (n))
f ′(cf (n))
cf (n+1)
Error
0.00600
0.00742
0.00770
0.00770
0.00770
-1.73487
-0.24825
-0.00643
-06
-4.50*10
-12
-2.21*10
1220.829
899.350
853.452
852.256
852.255
0.00742
0.00770
0.00770
0.00770
0.00770
0.00142
0.00028
-06
7.53*10
-09
5.28*10
-15
2.60*10
cf (n)
f(cf (n))
f ′(cf (n))
cf (n+1)
Error
0.00300
0.00410
0.00446
0.00449
0.00449
0.00449
-3.67888
-0.75902
-0.04492
-0.00017
-09
-2.63*10
-15
1.77*10
3332.903
2113.907
1872.003
1857.524
1857.468
1857.468
0.00410
0.00446
0.00449
0.00449
0.00449
0.00449
0.00110
0.00036
-05
2.39*10
-08
9.37*10
-12
1.41*10
-19
8.67*10
cf (n)
f(cf (n))
f ′(cf (n))
cf (n+1)
Error
0.00100
0.00184
0.00260
0.00288
0.00290
0.00290
-13.99354
-5.16057
-1.16657
-0.08531
-0.00052
-08
-1.91*10
16681.388
6813.902
4114.782
3537.604
3494.876
3494.617
0.00184
0.00260
0.00288
0.00290
0.00290
0.00290
0.00084
0.00076
0.00028
-05
2.41*10
-07
1.47*10
-12
5.48*10
Para Re = 105:
Para Re = 106:
Problema 2:
Para un flujo estacionario de un fluido incompresible a través de un tubo rugoso de longitud L y diámetro
interior D; la caída de presión viene expresado por la siguiente relación:
∆p =
2
fM ρ u m
L
;
2 D
donde: ρ es la densidad del fluido, um es la velocidad media del fluido y fM es el factor de fricción de
Moody (adimensional).
El factor de fricción de Moody es una función de la rugosidad (ε) y del número de Reynolds,
D ρ um
Re =
; siendo µ la viscosidad del fluido.
µ
64
, mientras que para Re
Re
 ε
1
2.51
= −2 * Log10 
+
 3.7 D Re f
fM
M

Para Re ≤ 2000, f M =
> 2000, fM viene expresada por la Ecuación de
Colebrook:

.


2
Determinar la caída de presión ∆p en el tubo para los siguientes casos:
Caso 1 Caso 2
Q (gal/min)
170
4
D (pulg.)
3.068 0.622
L (pie)
10000
100
3
62.4
80.2
ρ (lbm/pie )
µ (lbm/pie seg) 0.0007 0.05
0.002 0.005
ε (pulg.)
Modelo de Resolución:
La lógica de cálculo ha emplear es la siguiente:
Calcular el Re
Re ≤ 2000
SI
fM = 64/Re
NO
Calcular fM a través de la
Ecuación de Colebrook
implementando el método
de Newton-Raphson.
Calcular ∆p
Para hallar el ∆p en el caso de que el Re sea mayor a 2000, se utilizó nuevamente el método de NewtonRaphson, implementándolo en una planilla de cálculo. Para construirlo se hace de la misma forma que se
muestra para el Problema 1, nada más que cambiando las ecuaciones en las columnas donde se iguala la
función a cero, f(xn), y la primer derivada, f ′(xn).
Un buen punto de arranque para inicializar el método iterativo se consigue a partir de la Ecuación de
Blasius: fM = 0.316*Re-0.25.
Cálculos para el Caso 1:
-
Q = 170 gal/min = 1.072*10-2 m3/s
D = 3.068 pulg = 7.792*10-2 m
L = 10000 pie = 3048 m
ρ = 62.4 lbm/pie3 = 999.552 Kg/m3
µ = 0.0007 lbm/(pie*s) = 1.041*10-3 Kg/(m*s)
ε = 0.002 pulg = 5.08*10-5 m
-
um = Q/Sección = 4*Q/(π*D2) = 2.2488 m/s
Re = 168194.049 ⇒ Régimen Turbulento
Punto de arranque para el fM según la Ecuación de Blasius = 0.015604
Cálculo del fM utilizando el Método de Newton-Raphson:
3
-
fM (n)
f(x)
f ’(x)
fM (n+1)
Error
0.015604
-0.94701
255.612
0.019309
0.00370
0.019309
0.019852
0.019842
0.019843
-0.10192
0.00175
-0.00007
0.00000
187.653
180.228
180.356
180.351
0.019852
0.019842
0.019843
0.019843
0.00054
0.00001
0.00000
0.00000
fM = 0.019843
∆p = 1961740.328 Nw/m2 = 20.017 Kg/cm2 = 284.652 psi
Cálculos para el Caso 2:
-
Q = 4 gal/min = 2.523*10-4 m3/s
D = 0.622 pulg = 1.579*10-2 m
L = 100 pie = 30.48 m
ρ = 80.2 lbm/pie3 = 1284.68 Kg/m3
µ = 0.05 lbm/(pie*s) = 7.44*10-2 Kg/(m*s)
ε = 0.005 pulg = 1.27*10-5 m
-
um = Q/Sección = 4*Q/(π*D2) = 1.2873 m/s
Re = 351.29 ⇒ Régimen Laminar
fM = 0.182185
∆p = 370109.68 Nw/m2 = 3.776 Kg/cm2 = 53.703 psi
4