Método de Ruffini - Colegio Maravillas

Colegio Maravillas.
Profesor: Luis Carlos Romero Cuesta.
Método de Ruffini.
Paolo Ruffini, matemático italiano, describe en 1809 su famosa regla que facilita un cálculo
rápido de la división de cualquier Polinomio entre un Binomio del tipo (x – a).
Además su algoritmo es una sencilla y potente herramienta que nos permite determinar las
raíces de un polinomio y factorizarlo.
Conceptos previos:
-> Factorizar un polinomio consiste en descomponerlo u obtener sus raíces en forma de
binomios del tipo (x + a) ó (x + b).
Ejemplo: P(x) =
= ( x -1) · ( x +1) · (x + 1) · (x + 2)
-> El polinomio a factorizar tiene que estar ordenado por grados de mayor a menor y presentar
término independiente (si faltase algún grado se rellena ese grado con un 0 en su algoritmo o
caja) (Si no hay término independiente es necesario extraer factor común “x” o más, a todo el
polinomio).
Ejemplos: *Este polinomio está ordenado por grados y presenta término independiente:
P(x)=
* Este polinomio no presenta término Independiente pero sí está ordenado:
Q(x) = 3x3 – 2x2 + 4x ¿?
Observa que si extraemos factor común de “x” obtendremos que Q(x) = x ·(3x2 – 2x + 4)
Donde x es ya una de las raíces del polinomio y la otra raíz (3x2 – 2x + 4) se puede realizar ahora
por Ruffini pues presenta término independiente (+4)
----------------------------------------
Realizando Ruffini:
Ejemplo: Factoriza el polinomio
1er. Paso. Se coloca el polinomio ordenado sin letras, sólo los coeficientes (números) en una caja
(caja de Ruffini)
1
-6
+11
-6
1
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2º. Paso. Se comienza a probar por todos los divisores del último número (término independiente).
En nuestro caso es un -6 y sus divisores serían (+1,-1,+2,-2,+3,-3, y +6 ,-6)
Probaremos con +1 en este caso:
1
-6
+11
-6
1
+1
-5
-5
+6
+6
0
Sumar
+1
Multiplicar
Vamos multiplicando y sumando con la finalidad de obtener un cero en la última celda, que es el
resto. Si con el +1 no lo obtenemos probaríamos con otro divisor (-1,+2,-2,+3,-3, y +6 ,-6) hasta
obtenerlo. (Si en algún caso probamos todos y ninguno hace 0 es que el polinomio no se puede
descomponer o factorizar, siempre y cuando no existan errores en el cálculo realizado claro está)
3er. Paso. Es importante tener en cuenta que se trata de un algoritmo de divisibilidad y por ello
en cada paso que obtengamos cero de resto hemos bajado un grado al polinomio original.
En nuestro ejemplo, por ahora tendríamos que el polinomio original se ha factorizado o
descompuesto en: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)· ( x2 -5x +6)
Observa como hemos añadido una x y cambiado el signo para obtener un binomio en la parte
vertical, mientras que en la fila de abajo simplemente volvemos a colocar las “x” a los
coeficientes PERO con un grado menos que al principio.
Como el polinomio resultante es de grado 2 o superior podemos seguir descomponiendo por
Ruffini: Hemos probado ahora por +1 y -1 pero No nos ha dado cero en el resto y probamos por
+2, que sí da de resto 0.
1
-5
+6
+2
1
+2
-3
-6
0
Por tanto ya no podemos seguir descomponiendo pues el polinomio resultante (fila de abajo) ya
es de grado 1, y en consecuencia el resultado final de la descomposición sería:
Solución: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)· ( x2 -5x +6) = (x – 1)· (x -2)· (x -3)
Observa como hemos vuelto a colocar una x y cambiado el signo al +2 (vertical) y en la fila de
abajo (horizontal) simplemente hemos bajado otro grado y volvemos a colocar las “x”
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Ejercicios de Ruffini.
1º Factoriza estos polinomios
A)
B)
C)
D)
E)
F)
Soluciones: A) (x+1)· (x+1)·(x-5) B) (x-1)·(x-1)·(x-2)·(3x+3) C) (x+3)·(x+3)·(x+3)·(x+3) = (x+3)4
D) (x-1)· ( 4x2 -8x+3)
2º Simplifica:
x 2  5x  6
A)
x2  9
E) (x+3)·(x-1)·(x-1) F) x· (x+1)·(-x-1)
B)
x2  4
x3  7 x  6
C)
2 x 2  2 x  12
x2  2x
D)
x2  x  2
x2  2x  x
3º Usa la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la siguiente división de
polinomios:
A)
B)
Solución: A) Resto -2 y cociente x4 –x3 – x2 – x
B) Resto 22 y cociente -5x6 +5x5 -5x4+8x3-10x2+14x-19
3ª Factoriza estos polinomios
A)
B)
Soluciones: A) (x+1)·(x+3)·(x+3) B) (x+2)(x+1)(x+1)(x-1)
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