matemática de las operaciones financieras ii

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS II
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Junio – Primera Semana
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
Préstamos
a)
Teoría: Préstamos hipotecarios. Explicar razonadamente sus características, los tipos de
intereses que pueden aplicarse (entre otros, citar los tipos de referencia del mercado
hipotecario que publica el banco de España) y enumerar los gastos que ocasionan esta
clase de préstamos. (1,5 puntos).
b)
Práctica: La empresa K necesita un millón de euros para construir una nave industrial en
la que se va a fabricar material eléctrico. Para financiar esta inversión obtiene un
préstamo por esa cuantía y duración 12 años, de los que los dos primeros son de carencia
de amortización (sólo se abonan las cuotas de intereses). La amortización se realizará en
los 10 años restantes mediante anualidades constantes. Los tipos de interés son del 7%
para los dos primeros años y del 6% para el resto. Obtener razonadamente:
b1)
b2)
b3)
b4)
2.
Anualidades a pagar en los dos primeros años y en los diez restantes. (1 punto).
Cuotas de intereses del segundo y sexto año. (0,5 puntos).
Cuotas de amortización de esos mismos años. (0,5 puntos).
Préstamo vivo después de transcurridos 8 años completos desde el inicio de la
operación. (0,5 puntos).
Empréstitos
a)
Explicar razonadamente cómo se obtiene el tanto de rentabilidad de un título que paga
cupones vencidos y se amortizará dentro de r años. Los datos son: C = nominal de cada
obligación; i = tanto anual para el pago de cupones; V = valor de emisión; Cr = valor de
reembolso. (1 punto).
b)
Amortización por reducción de nominal. La empresa ZYX ha emitido un empréstito
formado por 10.000 obligaciones de 5.000 euros cada una con duración total de 10 años.
Durante los dos primeros años sólo se abonarán los intereses, amortizándose en los 8
restantes por reducción de nominal anual constante. Los intereses se pagan a un 6%
anual. Obtener razonadamente:
b1)
b2)
3.
27 de Mayo de 2009 – 16.00 horas
Duración: 2 horas
Cuantía en la que se reduce cada año el nominal de las obligaciones y nominal vivo
de cada obligación después de transcurridos 5 años. (1 punto).
Términos amortizativos correspondientes a los años 4º y 7º de la vida del
empréstito. (2 puntos).
Operaciones de arrendamiento financiero (leasing). Explicar razonadamente cómo se efectúa
la valoración financiera desde la perspectiva del arrendador con objeto de obtener la cuantía
mensual del alquiler. Los datos son: C0 = precio de mercado del activo; n = número de años que
dura la operación; m = 12 pagos en el año; j12 = tanto nominal para frecuencia mensual que
desea obtener como rentabilidad; Cn = valor residual al finalizar el periodo de alquiler. Se ha de
calcular la cuantía mensual que con carácter constante y prepagable ha de percibir el
arrendador. (2 puntos).
Solución Junio 09 - Primera Semana
1.
a)
Teoría
b1)
a1 = a2 = C0 ⋅ i = 1.000.000 ⋅ 0,07 = 70.000
C2 = C0 = a ⋅ an-2 ¬i´
⇒ 1.000.000 = a ⋅ a10 ¬0,06
⇒ a = 135.867,96 €
b2)
I2 = C1 ⋅ i = C0 ⋅ i = 1.000.000 ⋅ 0,07 = 70.000 €
I6 = C5 ⋅ i´= 135.867,96 ⋅ a5 ¬0,06 ⋅ 0,06 = 45.508,01 €
b3)
A 2 = A1 = 0
A 6 = a -I6 = 135.867,96 - 45.508,01= 90.359,95 €
2.
b4)
C8 = 135.867,96 ⋅ a4 ¬0,06 = 470.796,82 €
a)
Teoría
b1)
C 5.000
=
= 625 €/año
8
8
C5 = C - 3A = 5.000 - 3 ⋅ 625 = 3.125 €
A=
b2)
a 4 = (C3 ⋅ i + A) ⋅ N = [(C - A) ⋅ i + A ] ⋅ N = [(5.000 - 625) ⋅ 0,06 + 625 ] ⋅ 10.000 = 8.875.000 €
a7 = (C6 ⋅ i + A) ⋅ N = [(C - 4A) ⋅ i + A ] ⋅ N = [(5.000 - 4 ⋅ 625) ⋅ 0,06 + 625 ] ⋅10.000 = 7.750.000 €
3.
Teoría
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS II
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Junio – Segunda Semana
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
Préstamos
a)
Teoría: Un préstamo se amortiza mediante términos amortizativos (anualidades) que varían en
progresión geométrica. Explicar razonadamente cómo se plantea la ecuación de equivalencia, el
capital vivo por el método prospectivo y las cuotas de amortización. (1,5 puntos).
b)
Aplicación: El banco H ha concedido un préstamo de cien mil euros que se ha de amortizar en 10
años mediante anualidades constantes (método francés). El tipo de interés que se aplica a la
operación es el 5% anual. Obtener razonadamente:
b1)
b2)
b3)
2.
10 de Junio de 2009 – 9.00 horas
Duración: 2 horas
Anualidad constante que se ha de apagar. (1 punto).
Capital vivo después de transcurridos 5 años. (0,5 puntos).
Cuota de intereses y cuota de amortización correspondiente al 6º año. (1 punto).
Empréstitos
a)
Teoría: Explicar razonadamente cómo se resuelve un empréstito que se amortiza por sorteo
mediante anualidades comerciales constantes, paga cupones vencidos y que ofrece una prima de
amortización constante a los títulos que se amortizan. (1,5 puntos).
b)
Aplicación: Un empréstito que se acaba de emitir presenta las siguientes características:
200.000 títulos emitidos de 1.000 euros nominales cada uno.
Cupón anual de 61,20 euros por título. Duración: 5 años.
Prima de amortización de 20 euros a cada título.
Los gastos de administración importan el 3‰ de las anualidades.
Amortización por sorteo mediante anualidades comerciales constantes.
Calcular razonadamente:
b1)
b2)
b3)
3.
La anualidad comercial constante que lo amortiza. (1 punto).
El número de títulos que se amortizan en cada sorteo. (1 punto).
Empréstito vivo después de transcurridos 3 años (principio del 4º año). (0,5 puntos).
Operaciones de Constitución
Una persona ha firmado una operación de constitución por la que se compromete a efectuar
imposiciones mensuales durante 10 años en una entidad bancaria que capitaliza al 4% anual. En el
momento de la firma del contrato con el banco efectúa una primera imposición de 20.000 euros y, a
partir de ese momento, realiza imposiciones pospagables de 200 euros mensuales durante 10 años.
Obtener razonadamente el montante que obtendrá esa persona en los siguientes casos:
a)
b)
Al finalizar los 10 años retira el montante constituido. (1 punto).
El montante se retira 5 años después de realizar la última aportación, pero en estos últimos 5
años se acuerda aplicar un tipo de interés anual del 4,5%. (1 punto).
Solución Junio 09 - Segunda Semana
1.
a)
Teoría
b1)
C0 = a ⋅ an ¬i
b2)
C5 = a ⋅ an-s ¬i
⇒ 100.000 = a ⋅ a5 ¬0,05
⇒ a = 12.950,46 €
⇒ C5 = 12.950,46 ⋅ a10-5 ¬0,05 = 56.068,71 €
b3)
I6 = C5 ⋅ i = 56.068,71⋅ 0,06 = 2.803,44 €
A 6 = A1 ⋅ (1+ i)5 =
2.
a)
b1)
C0
Sn ¬i
⋅ (1+ i)5 =
100.000
S10 ¬0,05
⋅ (1+ 0,05)5 = 10.147,03 €
Teoría
Anualidad comercial : ac = ( C ⋅ i ⋅ Ns-1 + (C +P) ⋅ Ms ) ⋅ (1+ g)
Normalización :
ac
C
C ⋅i
⋅
= C ⋅ Ns-1 ⋅
+ C ⋅ Ms
1+ g C +P
C +P
⇒ α = C ⋅ Ns-1 ⋅ i´+C ⋅ Ms
ac
C
⋅
1+ g C +P
C ⋅ N = α ⋅ an ¬i´ con :
⇒ 200.000 ⋅ 1.000 = α ⋅ a5 ¬0,06 ⇒ α = 47.479.280
C⋅i
61,2
i´=
=
= 0,06
C +P 1.000 + 20
ac
C
C +P
1.000 + 20
α=
⋅
⇒ ac = α ⋅
⋅ (1+ g) = 47.479.280 ⋅
⋅ (1+ 0,003) = 48.574.152,2
1+ g C +P
C
1.000
α=
b2)
M1 =
M2
M3
M4
M5
3.
N
=
200.000
= 35.479,28
M1 = 35.479
M2 = 37.608
5
= M1 ⋅ (1+ i´) = 35.479,28 ⋅ (1+ 0,06) = 37.608,04
0
⇒
⇒
M
=
199.998
M
∑
r
3 = 39.865
= M1 ⋅ (1+ i´)2 = 35.479,28 ⋅ (1+ 0,06)2 = 39.864,52
r=1
M4 = 42.256
= M1 ⋅ (1+ i´)3 = 35.479,28 ⋅ (1+ 0,06)3 = 42.256,39
M5 = 44.792
= M1 ⋅ (1+ i´)4 = 35.479,28 ⋅ (1+ 0,06)4 = 44.791,77
Sn ¬i´
S5 ¬0,06
b3)
C3 = α ⋅ an-s ¬i´
a)
C10 = 20.000 ⋅ (1+ 0,04)10 + 200 ⋅ S12⋅10 ¬i
b)
C15 = C10 ⋅ (1+ 0,045)5 = 58.944 ⋅ (1+ 0,045)5 = 73.454,94 €
⇒ C3 = 47.479.280 ⋅ a5-3 ¬0,06 = 87.048.163,76 €
1/12
-1=0,0032737
12 =(1+0,04)
= 58.944 €
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS II
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Junio – Segunda Semana
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
4 de Septiembre de 2009 – 16.00 horas
Duración: 2 horas
a)
Préstamos a interés variable con un tanto de referencia: Explicar sus características e indicar que tipos de
interés de referencia suelen utilizarse. (1 punto).
b)
Una persona desea comprar un piso cuyo precio se acaba de tasar en 200.000 euros. Para ello, obtiene
un préstamo hipotecario del banco Z cuya cuantía es el 80% del precio de tasación del piso. La
amortización se efectuará mediante mensualidades constantes a lo largo de 30 años. El tipo de interés
nominal para frecuencia mensual es j12 = 4,5% anual. Los gastos iniciales del préstamo son:
 Comisión de apertura: 1,5% del capital prestado.
 Comisión de estudio: 3‰ del capital prestado.
 Gastos de notaría: 1000 euros y Gastos de registro: 650 euros.
 Impuesto de T. P. y Actos Jurídicos Documentados: 0,5% del capital prestado.
 Gastos de tasación, 300 euros y de gestoría, 200 euros.
Obtener razonadamente:
b1)
b2)
b3)
2.
3.
Mensualidad que ha de pagar para amortizar el préstamo. (1 punto).
Préstamo pendiente de amortizar cuando han transcurrido 10 años completos y cuantía que
habrá de entregar si cancela el préstamo en ese momento y el banco percibe una comisión por
cancelación anticipada del 2,5% del capital pendiente. (1 punto).
Tanto efectivo de coste para el prestatario en el caso de que el préstamo se cancele
anticipadamente, transcurridos esos 10 años. Se ha de tener en cuenta que en esa fecha ha de
cancelar también la hipoteca del piso lo que ocasiona los mismos gastos de notaría, registro,
impuesto de TP y AJD y gestoría, que se indicaban para el momento inicial. (Es suficiente con el
planteamiento numérico detallado). (1 punto).
a)
Empréstitos no amortizables (Deuda perpetua): Características de estas emisiones, como se obtienen los
términos amortizativos y cuál es el valor de mercado a un tanto i’. (1 punto).
b)
Se ha emitido un empréstito cupón cero formado por 50.000 obligaciones de 1000 euros cada una, a
amortizar por sorteo en diez años, abonándose los intereses acumulados (cupón cero) anualmente a un
tanto del 6% anual. Se ofrece un lote anual de 200.000 euros a repartir entre las 100 primeras
obligaciones que resulten amortizadas en cada sorteo. A las entidades financieras encargadas de
efectuar los pagos se les abona una comisión por gastos de administración del empréstito del 0,5% de
las cantidades pagadas cada año. Obtener razonadamente:
b1) Anualidad comercial constante que lo amortiza. (1 punto).
b2) Tanto efectivo para el emisor si los gastos iniciales ascienden a 3 millones de euros y se ofrece
una prima de emisión del 2% del valor nominal de cada obligación. (1 punto).
b3) Rentabilidad de un título que se amortiza en el 6º sorteo y resulta premiado con lote. (1 punto).
a)
Explicar razonadamente en qué consiste la pignoración de valores mobiliarios y la casuística que pude
presentarse.
b)
La empresa K tiene una cartera de acciones cuyo precio unitario es 17,45 euros. (1 punto).
b1) Calcular el número de acciones que habrá de depositar en su banco como garantía si pide un
crédito de 100.000 euros, sabiendo que se aplica un coeficiente de reducción del 75%. (0,5
puntos).
b2) Acciones que habrá de entregar adicionalmente si el precio de esas acciones baja un 10%. (0,5
puntos).
Solución Septiembre 09
1.
a)
Teoría
b1)
C0 = a ⋅ an ¬i
⇒ 200.000 ⋅ 0,8 = a ⋅ a360 ¬
i12 =
0,045
=0,00375
12
⇒ a = 810,6964 €
b2)
Cs = a ⋅ an-s ¬i
⇒ C120 = 810,6964 ⋅ a240 ¬0,00375 = 128.143,08 €
Cuantía a entregar : 128.143,08 ⋅ (1+ 0,025) = 131.346,65 €
b3)
160.000 = 5.830* + 810,6964 ⋅ a120 ¬ip +133.837,38 ** ⋅ (1+ ip )-120
con :
0,015 ⋅ 160.000 
128.143,08

0,003 ⋅ 160.000 
0,025 ⋅ 128.143,08 




0,005 ⋅ 160.000 


0,005 ⋅ 128.143,08 
5.830 = 1.000

 y 133.837,38 = 
1.000

650

650





300

200



200

2.
a)
b1)
Teoría
Anualidad comercial : ac = ( C ⋅ (1+ i)s ⋅ Ms +L ) ⋅ (1+ g)
Normalización :
ac
- L = C ⋅ (1+ i)s ⋅ Ms
1+ g
ac
-L
C ⋅ N = α ⋅ an ¬i´ con :
1+ g ⇒ 50.000 ⋅ 1.000 = α ⋅ a10 ¬0,06 ⇒ α = 6.793.397,91
i´= i = 0,06
α=
α=
3.
ac
- L ⇒ ac = (α +L) ⋅ (1+ g) = (6.793.397,91+ 200.000) ⋅ (1+ 0,005) = 7.028.364,9
1+ g
b2)
(1.000 - 20) ⋅ 50.000 - 3.000.000 = 7.028.364,9 ⋅ a10 ¬ie
b3)
200.000 

(1.000 - 20) = 1.000 ⋅ (1+ 0,06)6 +
⋅ (1+ ip )-6
100 

a)
Teoría
b1)
C0 = r ⋅ N ⋅ P ⇒ 100.000 = 0,75 ⋅ N ⋅ 17,45 ⇒ N = 7.640,9 títulos = 7.641 títulos
⇒ ie = 0,08556
⇒ ip = 0,2315
b2)
C0 = r ⋅ N ⋅ P = r ⋅ (N+N´) ⋅ P´ ⇒ N´=
N ⋅ (P - P´) 7.641⋅ (17,45 - 0,9 ⋅ 17,45)
=
= 849 títulos adicionales
P´
0,9 ⋅ 17,45