X - Uned

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS II
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Junio – Primera Semana
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
23 de Mayo de 2007
Duración: 2 horas
Préstamos:
a)
Teoría. En los préstamos hipotecarios, hay un conjunto de gastos que ha de pagar el prestatario o
deudor, tanto en el momento inicial, a la firma del contrato, como al finalizar la operación.
Describir razonadamente esos gastos y cómo se calcula el tanto efectivo para el prestatario. (1,5
puntos).
b)
Práctica. La empresa Z negocia con el banco A un préstamo de 200.000 euros a amortizar en 10
años mediante pagos semestrales constantes. Para la valoración se aplica un tanto nominal (para
frecuencia semestral): J2 = 5% . Obtener razonadamente:
1)
2)
3)
2.
Empréstitos:
a)
Teoría. Empréstitos que se amortizan por reducción de nominal. Explicar razonadamente cómo
se resuelven estos empréstitos, tanto en el caso general como en el caso particular en que la
reducción de nominal es constante. Datos: C (nominal de cada título), N (número de títulos
emitidos), i (tanto al que se pagan los intereses o cupones) y n (la duración o plazo hasta la
amortización). (1,5 puntos).
b)
Práctica: Un empréstito que se amortiza por reducción de nominal está compuesto por 20.000
obligaciones de 4.500 euros nominales cada una; la duración total es de 6 años y el tanto al que se
abonan los intereses es al 5% anual. La reducción de nominal va creciendo anualmente en
progresión aritmética con razón un 20% (A, 1,2·A, 1,4·A, ....). Obtener razonadamente:
1)
2)
3)
3.
Pagos semestrales constantes que lo amortizan. (0,5 puntos).
Capital pendiente de amortizar cuando han transcurrido cuatro años completos desde la
concesión del préstamo. (0,5 puntos).
Cuota de intereses y de amortización correspondientes al 2º semestre del 6º año. (1 punto).
Cuantía en la que se reduce el nominal el primer año y nominal vivo de cada título después
de transcurridos 3 años. (1 punto).
Anualidades que se ha de pagar el emisor en los años primero y cuarto. (1 punto).
Cómo se obtiene el tanto efectivo para el emisor teniendo en cuenta que hay una prima de
emisión del 1% y que los restantes gastos iniciales importan tres millones de euros. (En este
caso se ha de plantear numéricamente la ecuación e indicar como se resolvería). (1 punto).
Ampliaciones de capital:
La empresa Y efectúa una ampliación de capital en la proporción de 3 acciones nuevas por cada 7 que se
posean al precio de 16 euros. Las acciones viejas tienen un precio de 25 euros inmediatamente antes de
iniciarse la ampliación. Un accionista que posee un paquete de 50.000 acciones y no tiene liquidez en
este momento decide efectuar una operación blanca. Obtener razonadamente:
a)
b)
Precio teórico de las acciones después de la ampliación y valor teórico del derecho de suscripción
si las acciones nuevas gozan de los mismos derechos que las viejas al finalizar la ampliación. (1
punto).
Cuantas acciones puede suscribir el citado accionista que realiza la operación blanca. (1 punto).
Soluciones Junio 07 – Primera Semana
1.
a)
Teoría
b.1)
200.000
i2
a
0, 05
2
a20
12.829, 43 €
a
0,025
0, 025
b.2)
C8
12.829, 43
a12
A1
a C 0 i2
12.829, 43 200.000 0, 025
0,025
131.601, 27 €
b.3)
A1 1 0, 025
A12
I12
2.
a)
11
7.829, 43 €
10.272,89 €
12.829, 43 10.272,89
2.556, 54 €
Teoría
b.1)
4.500
A 1, 2 A 1, 4 A 1, 6 A 1,8 A 2 A
4.500
9 A
C3
4.500
A
9
4.500 (500 600 700)
500 €
2.700 €
b.2)
a1
C i N
a4
C3 i N
4.500 0, 05 20.000 500 20.000
A1 N
A4 N
14.500.000 €
2.700 0, 05 20.000 800 20.000
6
b.3)
(4.500 45) 20.000 3.000.000
as (1 ie )
s
s 1
3.
a)
Pd
d
v P
P
n P´
7 25 3 16
v n
7 3
Pd 25 22, 3 2, 7 €
22, 3 €
b)
K
K d n
n P´ v d
50.000 2, 7 3
3 16
7 2, 7
6.053,81 acciones
ie
18.700.000 €
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS II
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Junio – Segunda Semana
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
13 de Junio de 2007
Duración: 2 horas
Préstamos
a)
Teoría. Préstamos que se amortizan mediante anualidades crecientes en progresión geométrica:
Explicar razonadamente cómo se obtiene el término amortizativo que se ha de pagar el primer
año, el capital vivo cuando han transcurrido s años y la relación de recurrencia de las cuotas de
amortización (1,5 puntos).
b)
Práctica. La empresa KSA ha contratado un préstamo de 600.000 euros que ha de amortizar en 15
años mediante cuotas de amortización semestrales constantes de cuantía A y a un tipo de interés
nominal de frecuencia semestral (J2) del 6%. Transcurridos 5 años, aprovechando una bajada de
los tipos de interés, renegocia el préstamo y se acuerda que, a partir de ese momento, el capital
vivo o pendiente, se amortice mediante anualidades crecientes en progresión geométrica a razón
de un 3% anual durante los diez años de vida que le quedan y se acuerda aplicar un tanto anual
del 5%. Obtener razonadamente:
b1. Cuantía de las cuotas de amortización que se han de pagar cada semestre, capital vivo
después de transcurridos cinco años y término amortizativo correspondiente al cuarto año.
(1 punto).
b2. Anualidad que se ha de pagar al final del primer año de vigencia del préstamo renegociado.
(1 punto).
2.
3.
Empréstitos
a)
Teoría. En un empréstito que se amortiza por sorteo, que paga cupones (intereses) vencidos y es
normal del tipo I (anualidades constantes y tipo de interés constante), explicar razonadamente
cómo se obtiene la anualidad constante que lo amortiza, el número de títulos que se amortizan en
el sorteo s y la vida media de estos títulos. Datos: C (nominal de cada título), N (número de títulos
emitidos) i (tipo de interés anual) y n (duración total del empréstito). (1,5 puntos).
b)
Práctica. Se ha emitido un empréstito normal del tipo I formado por obligaciones de nominal
5.000 euros cada una a las que se pagan cupones anuales vencidos a un tanto del 5% anual. La
amortización se realiza por sorteo en 8 años mediante anualidades constantes de
19.340.226,7035 euros. Obtener razonadamente:
b1. Número de títulos que se han emitido. (1 punto).
b2. Número de títulos que se amortizan en el octavo sorteo. (1 punto).
b3. Prima de emisión que ofrece el emisor sabiendo que los títulos que se amortizan en el
primer sorteo obtienen una rentabilidad del 5,527638191%. (1 punto).
Operaciones de constitución de capital
Los Planes de Pensiones de aportación definida son operaciones de constitución de capital. En el caso de
una persona que acaba de cumplir 40 años y suscribe un Plan comprometiéndose a efectuar
aportaciones constantes mensuales y pospagables de 250 euros y que el tipo de interés técnico que se
utiliza para la valoración es el 5% efectivo anual, obtener razonadamente:
a)
Fondo de capitalización a la jubilación (montante) que percibirá el citado participe al cumplir la
edad de 65 años. (1,5 puntos).
b)
En el caso de que el objetivo que se hubiese planteado este participe fuera lograr un montante de
200.000 euros al jubilarse (a la edad de 65 años) efectuando aportaciones anuales constantes y
prepagables, calcular la cuantía anual que habría de aportar. (1 punto).
Soluciones Junio 07 – Segunda Semana
1.
a)
Teoría
b1)
600.000
A
30
(n s) A
Cs
20.000
(30 10) 20.000
400.000
0,06
a7
I7
A
C6 i
A
(30
6) 20.000
a8
I8
A
C7 i
A
(30
7) 20.000·
Cuarto año :
2
0,06
2
20.000
20.000
34.400
33.800
10
1,03
1,05
1,05 1,03
1
2.
b2)
400.000
a)
Teoría
b1)
b2)
C N
M1
N
Sn
a
A(a;1,03)10
an
i
S8
a
5.000 N
i
25.000
0,05
2.618,045
a
19.340.226,75
M8
M1 (1 i)7
a8
0,05
45.726,83
N
25.000
2.618,045 (1 0,05)7
3.683,85
0,05
b3)
C Pe
3.
(C i C)·(1 ir )
a)
F
b)
200.000
250 S 25 12
1
5.000 Pe
i12 1,05 /12 1 0,004074

X S
25
0,05
X
(250
146.430,40
3.990,94
5.000)·(1 0,05527638191)
1
Pe
25
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS II
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Septiembre - Principal
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
5 de Septiembre de 2007
Duración: 2 horas
Préstamos:
a)
Teoría: La amortización por el método americano con fondos. Explicar razonadamente cómo se
obtiene: La cuantía constante que hay que aportar al fondo, el capital constituido después de
transcurridos s años, el saldo neto de la operación conjunta y el desembolso total que ha de
realizar el prestatario en cada año. (2 puntos).
Nota: Los datos son: Capital prestado: C0, duración: n años, tipo de interés del préstamo: i, tipo de
interés para la constitución del capital: i’.
b)
Práctica: Una entidad financiera oferta
préstamos a sus clientes para adquirir equipos
informáticos. En el caso del portátil que se
indica en la imagen adjunta, el precio al
contado es 1.599,00€ y se ha de devolver en 36
meses a un tanto nominal j12 = 7,90%.
Comprobar razonadamente:
a)
Que la mensualidad (50,03 €) que se ha
de pagar está correctamente calculada.
(1 punto).
b)
Que el TAE (8,19%) también está
correctamente calculado, teniendo en
cuenta que la entidad no cobra ningún
tipo de comisión a los clientes que
soliciten estos préstamos. (1 punto).
2.
La empresa ZSA emite un empréstito formado por 40.000 obligaciones de 1.000 euros cada una. La
amortización se realizará por sorteo en 10 años y se pagarán cupones anuales al 6% anual. Las
obligaciones se emiten a un precio por debajo de la par y se amortizarán con una prima del 3% sobre
el nominal. Los bancos que se encargan de la colocación perciben una comisión del 4% del nominal
emitido y el resto de los gastos iniciales representan el 0,5% del nominal emitido. Los gastos de
administración se fijan en el 3‰ de las anualidades pagadas. Obtener razonadamente:
a)
Anualidad comercial constante que lo amortiza. (1 punto).
b)
Número de obligaciones que se amortizan en el 7º año y número de obligaciones vivas
después de 4 años. (1 punto).
c)
Prima de emisión sabiendo que las obligaciones que se amortizan en el 8º sorteo obtienen
una rentabilidad del 6,4621%. (1 punto).
3.
Operaciones de constitución de capital
a)
Teoría.- Estudio del caso en que se realizan aportaciones anuales, constantes y pospagables.
Explicar razonadamente como se obtienen: La cuantía (a) que se ha de aportar cada año, el capital
constituido después de transcurridos s años (Cs) y las cuotas de constitución de cada año (Δ1, ...
Δn).
Datos: Cn = capital a constituir; n = duración total de la operación, i = tipo de interés anual que se
aplica a la operación. (2 puntos).
b)
Práctica.- Aplicación al caso en que Cn = 200.000€, n = 6 años e i = 5% anual. (1 punto).
Soluciones - Septiembre 07
1.
a)
b1)
b2)
2.
Teoría
1.599
TAE
a
1
a36
a
0,079
12
0,079
50,03 €
Es corrrecto
12
1
12
0,08192
(8,19 %)
Es corrrecto
a)
ac
Estructura anualidad comercial :
Normalización :
a
c
C
Ci
CNr
1 g C P
CN r 1i (C P) M r
1
(1 g)
CMr
C P
ac
Anualidad normalizada :
CNr 1i´ CMr
1 g C P
con :
i´
Ecuación de equivalencia :
an
CN
a
Anualidad comercial :
c
C
Ci
1.000 0,06
C P 1.000 30
40.000 1.000
a10 0,05825
i´
(1 g) (C P)
ac
1 g C P
C
0,05825
5.389.586,14
5.567.927,54
C
b)
M7
M1 (1 i´)6
N
M1
con :
Sn
an
CNs
s
i´
3.059,75
0,05825
3.059,75 (1 0,05825) 6
M7
Ns
40.000
S10
an
Ns
i´
s
i´
4.297,5
5.389.586,14
C
a10
4
0,05825
1.000
c)
(C Pe )
(1.000 Pe )
3.
a)
60
a8
Ci
as
(1.000
0,064621
(C
ir
Pe ) (1 ir )
30) (1 0,064621)
Teoría
b)
Cn
1
a
a
Sn
i
29.403,5
Cn
a
Sn
200.000
i
S6
s
29.403,5 €
0,05
2
1
(1 0,05)
30.873,67 €
3
2
(1 0,05)
32.417,36 €
4
3
(1 0,05)
34.038,23 €
5
4
(1 0,05)
35.740,14 €
6
5
(1 0,05)
37.527,14 €
8
Pe
10 €
26.648,69