X - Uned

UNED
FACULTAD DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS II
CURSO 03/04
JUNIO - Primera Semana
MATERIAL AUXILIAR: Calculadora financiera
Día 26/05/04 a las 16 horas
DURACIÓN: 2 horas
1. Préstamos:
a) Teoría: Estudiar razonadamente los préstamos que se amortizan por el método francés y pagan los intereses
fraccionadamente con una frecuencia de m veces en el año a un tanto nominal Jm. Datos: Capital préstado: C0;
duración total: n años; tanto nominal anual constante: Jm durante toda la operación. Nota: Se ha de obtener la cuantía
de cada cuota de amortización, el capital vivo y el capital amortizado cuando han transcurrido s años desde el inicio de la amortización
(s<n) así como las cuotas de intereses y los términos amortizativos que se han de pagar en cada emésimo de año).
b) Práctica: La empresa ZYX necesita financiación para llevar a cabo su plan de inversiones y una parte de esta
financiación la obtiene del banco CBA. El capital prestado asciende a veinte millones de euros, la duración
total del préstamo se establece en 12 años y el tipo de interés se fija en el 6% anual. Para adecuarse a la
previsión de flujos que producirá la inversión, se acuerda que la amortización se produzca de la siguiente
manera:
9 Durante los dos primeros años no se pagará nada (carencia total).
9 Durante los dos siguientes se pagarán anualmente los intereses que correspondan (carencia de cuotas de
amortización).
9 Durante los cuatro siguientes se pagarán cuotas de amortización anuales constantes de cuantía A.
9 Durante los cuatro últimos se pagarán cuotas de amortización anuales constantes de cuantía 1,5·A.
Obtener razonadamente:
1.- La deuda pendiente cuando han transcurrido los dos primeros años; las cuotas de intereses de los años 3º y
4º y las cuotas de amortización que se pagarán en los años 5º al 12º.
2.- El capital vivo y el capital amortizado después de transcurridos 8 años desde el inicio del préstamo.
3.- El valor del préstamo y sus componentes (valores del usufructo y de la nuda propiedad) cuando han
transcurrido 8 años desde el inicio del préstamo sabiendo que el tanto de mercado es el 5% anual.
2. Empréstitos:
a) Teoría: Explicar como se obtienen la vida media, la vida mediana y la vida financiera de las obligaciones de un
empréstito que se amortiza por sorteo.
b) Práctica: Una empresa acaba de emitir un empréstito formado por 50.000 obligaciones de 1.000 euros cada
una. La amortización se va a efectuar por sorteo en ocho años y los cupones anuales se pagan a un tanto del
6,5%. Se ofrece un lote anual de cien mil euros a repartir entre las 200 primeras obligaciones que resulten
amortizadas en cada sorteo. A las entidades financieras encargadas de efectuar los pagos se les abona una
comisión por gastos de administración del empréstito del 0,5% de las cantidades pagadas cada año. Obtener
razonadamente:
1.- Anualidad comercial constante que lo amortiza.
2.- Número de títulos que se amortizan en el 5º sorteo y número de los que están vivos después de 4 sorteos.
3.- Tanto efectivo para el emisor sabiendo que los gastos iniciales ascienden a 250.000 euros y se ofrece una
prima de emisión del 2% del valor nominal de cada obligación.
3. a) Pignoración de valores mobiliarios.
b) Una empresa decide llevar a cabo una ampliación de capital doble simultanea, una en la proporción de 2
nuevas por cada 5 viejas y la otra de 1 x 10 gratis con cargo a reservas. El precio teórico de las acciones después
de la ampliación es 20 euros. Sabiendo que las acciones de esta empresa tienen un precio de 25 euros antes de
iniciarse la ampliación, obtener razonadamente:
1.- Precio al que se emiten las acciones de la primera ampliación.
2.- Valor teórico del derecho de suscripción total así como los valores de cada derecho por separado.
Puntuación: Pregunta 1 = 4 puntos (a, b1,b2 y b3 = 1 punto cada una); Pregunta 2 = 4 puntos (a, b1, b2, y b3 = 1 punto cada una);
Pregunta 3 = 2 puntos (1 punto cada apartado). Nota: Las calificaciones se pueden consultar en el servicio telefónico o a través de Internet
a partir del 30 de junio.
UNED
FACULTAD DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Solución Junio – Primera Semana
1.
a)
Teoría
b1)
C 2 = C0 ⋅ (1 + i ) 2 = 20.000.000 ⋅ (1 + 0,06) 2 = 22.472.000 €
I 3 = I 4 = C 2 ⋅ i = 22.472.000 ⋅ 0,06 = 1.348.320 €
12
C 4 = C 2 = ∑ Ar ⇒ 22.472.000 = 4 A + 4 ⋅1,5 A = 10 A ⇒ A =
r =5
22.472.000
= 2.247.200 €
10
b2)
8
C 8 = C 4 − ∑ Ar = C 4 − 4 A = 22.472.000 − 4 ⋅ 2.247.200 = 13.483.200 €
r =5
M8 =
b3)
8
∑ Ar
= 4 A = 4 ⋅ 2.247.200 = 8.988.800 €
r =5
N 8 = 1,5 A ⋅ a 4 ¬0,05 = 1,5 ⋅ 2.247.200 ⋅ a 4 ¬0,05 = 11.952.689,96 €
0,06
i
⋅ (C8 − N 8 ) =
⋅ (13.483.200 − 11.952.689,96) = 1.836.612,04 €
0,05
i´
V8 = U 8 + N 8 = 1.836.612,04 + 11.952.689,96 = 13.789.302 €
U8 =
2.
a)
Teoría
b1)
a c = (CN r −1i + CM r + L) ⋅ (1 + g ) . Al tratarse de un empréstito con características comerciales procede la
normalización.

 ac

 ac



L

α
=
−


 1+ g

 1 + g − L  = CN r −1i´+CM r ⇒ α = CN r −1i´+CM r ⇒ 


i´= i





CN = α ⋅ a n ¬i´ ⇒ 50.000 ⋅1.000 = α ⋅ a8 ¬0,065 ⇒ α = 8.211.864,85 €
 ac



α = 
− L  ⇒ a c = (α + L ) ⋅ (1 + g ) = (8.211.864,85 + 100.000 ) ⋅ (1 + 0,005) = 8.353.424,17 €
1+ g
b2)
M r = M 1 ⋅ (1 + i´)r −1 ⇒ M 5 = M 1 ⋅ (1 + i´)4 =
Ns = N ⋅
3.
N
S n ¬i´
an − s ¬i´ ⇒ N = 50.000 ⋅ a8−4 ¬0,065
4
an ¬i´
a8¬0,065
⋅ (1 + i´)4 =
50.000
S8¬0,065
⋅ (1 + 0,065) 4 = 6.383,27
= 28.132,19
b3)
(C − Pe ) ⋅ N − G0 = a c ⋅ a n ¬ie ⇒ (1.000 − 20) ⋅ 50.000 − 250.000 = 8.353.424,17 ⋅ a8 ¬ie ⇒ ie = 0,07595
a)
Teoría
b1)
b2)
2
1
⋅ P´+ ⋅ 0
5
10 ⇒ P´= 12,5 €
2 1
1+ +
5 10
n ⋅ ( Pd − P´) 2 ⋅ (20 − 12,5)
d ´=
=
=3€
v
5
d = P − Pd = 25 − 20 = 5 € ⇒
q ⋅ ( Pd − P´´) 1 ⋅ (20 − 0)
d ´´=
=
=2€
p
10
P + α ´⋅P´+α ´´⋅P´´
Pd =
⇒ 20 =
1 + α ´+α ´´
25 +
UNED
FACULTAD DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS II
CURSO 03/04
JUNIO - Segunda Semana
MATERIAL AUXILIAR: Calculadora financiera
Día 9/06/04 a las 16 horas
DURACIÓN: 2 horas
1. Préstamos:
a) Teoría: Estudiar razonadamente la amortización de préstamos que se amortizan con anualidades constantes y
se valoran con dos tipos de interés. Datos: Cuantía inicial del préstamo: C0, duración total: n años, tanto anual
i1 para los s primeros años e i2 durante los n-s restantes. Nota: Se han de obtener las anualidades constantes que se ha de
pagar, así como las cuotas de amortización, los capitales vivos y los capitales amortizados cuando han transcurrido r años desde el
inicio de la amortización, tanto en el caso en que es r < s como en el que r = s y r > s.
b) La empresa X necesita financiar la construcción de una nave industrial y negocia con su banco un préstamo a
amortizar en 10 años. La empresa propone pagar 25.000 euros al finalizar el primero y el segundo año; 50.000
euros en cada uno de los cuatro años siguientes (3º al 6º) y 75.000 euros en cada uno de los cuatro últimos. El
banco acepta esta forma de amortización y se acuerda aplicar un tipo de interés anual del 5% para los dos
primeros años y un 6% para los ocho restantes. El banco percibe una comisión de apertura de crédito del 1% y
una comisión de estudio del 0,4%. Obtener razonadamente:
1. Cuantía del capital que prestará el banco y capital pendiente de amortizar después de transcurridos 5 años.
2. Cuotas de amortización de los años 1º, 3º y 7º.
3. Tanto efectivo de coste de esta operación para el prestatario.
2.
Empréstitos
a) Teoría: Explicar razonadamente como se resuelve un empréstito que se amortiza por reducción de nominal
constante. Datos: N títulos emitidos de nominal C cada uno de ellos; amortización en n años; pago de cupones
anuales a tanto i.
b) Práctica: Una empresa acaba de emitir un empréstito formado por 50.000 obligaciones de 1.000 euros cada una.
La amortización se va a efectuar por sorteo en ocho años y los cupones anuales se pagan a un tanto del 6,5%. Se
ofrece un lote anual de cien mil euros a repartir entre las 200 primeras obligaciones que resulten amortizadas en
cada sorteo. A las entidades financieras encargadas de efectuar los pagos se les abona una comisión por gastos de
administración del empréstito del 0,5% de las cantidades pagadas cada año. Obtener razonadamente:
1. Anualidad comercial constante que lo amortiza.
2. Número de títulos que se amortizan en el 5º sorteo y número de los que están vivos después de 4 sorteos.
3. Tanto efectivo para el emisor sabiendo que los gastos iniciales ascienden a 250.000 euros y se ofrece una
prima de emisión del 2% del valor nominal de cada obligación.
3.
Operaciones de constitución de capital
Una persona que tiene 30 años ha empezado a efectuar aportaciones mensuales pospagables a un Plan de
Pensiones hasta que cumpla su edad de jubilación (65 años). Las aportaciones irán creciendo anualmente a un
ritmo del 3% acumulativo (progresión geométrica) siendo las del primer año de 200 euros mensuales. Para su
valoración se aplica un tipo de interés técnico del 5% efectivo anual. Obtener razonadamente:
a)
Importe del derecho consolidado (capital constituido) al alcanzar la edad de jubilación.
b) Si, cuando han transcurrido 15 años, y a la vista de la evolución de los tipos de interés, se revisa el tipo de
interés técnico y se aplica, a partir de ese momento, el 6% efectivo anual, cual será el nuevo derecho
consolidado.
Puntuación: Preguntas 1 y 2 = 4 puntos cada una (a = 1,5 puntos, b1,b2 = 1 punto cada una y b3 = 0,5 puntos); Pregunta 3 = 2 puntos (1
punto cada apartado). Nota: Las calificaciones se pueden consultar en el servicio telefónico o a través de Internet a partir del 30 de junio.
UNED
FACULTAD DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Solución Junio – Segunda Semana
1.
a)
Teoría
b1)
C 0 = 25.000 ⋅ a 2 ¬ 0,05 + 50.000 ⋅ a 4 ¬ 0,06 ⋅ (1 + 0,05) −2 + 75.000 ⋅ a 4 ¬ 0,06 ⋅ (1 + 0,05) −2 ⋅ (1 + 0,06) −4 = 390.346,69 €
C 5 = 50.000 ⋅ (1 + 0,06) −1 + 75.000 ⋅ a 4 ¬ 0,06 ⋅ (1 + 0,06) −1 = 292.342,38 €
b2)
A1 = C 0 − C1 = C 0 − [C 0 ⋅ (1 + i ) − a1 ] = 390.346,39 − [390.346,39 ⋅ (1 + 0,05) − 25.000] = 5.482,68 €
A3 = C 2 − C 3 = 27.253,58 € con
A7 = C 6 − C 7 = 59.407,02 €
b3)
2.
a)
con
C 2 = 50.000 ⋅ a 4 ¬ 0,06 + 75.000 ⋅ a 4 ¬ 0,06 ⋅ (1 + 0,06) − 4 = 379.106.89
C 3 = 50.000 ⋅ a 3 ¬ 0,06 + 75.000 ⋅ a 4 ¬ 0,06 ⋅ (1 + 0,06) −3 = 351.853,31
C 6 = 75.000 ⋅ a 4 ¬ 0,06 = 259.882,92
C 7 = 75.000 ⋅ a 3 ¬ 0,06 = 200.475,90
390.346,39 ⋅ (1 − 0,01 − 0,004) = 25.000 ⋅ a 2 ¬ i p + 50.000 ⋅ a 4 ¬ i p ⋅ (1 + i p ) −2 + 75.000 ⋅ a 4 ¬ i p ⋅ (1 + i p ) −6 ⇒ i p
Teoría
b1)
a c = (CN r −1i + CM r + L) ⋅ (1 + g ) . Al tratarse de un empréstito con características comerciales procede la
normalización.


 ac

 ac

α

=
− L 


 1+ g
− L  = CN r −1i´+CM r ⇒ α = CN r −1i´+CM r ⇒ 

1+ g


i´= i





CN = α ⋅ a n ¬i´ ⇒ 50.000 ⋅1.000 = α ⋅ a8 ¬0,065 ⇒ α = 8.211.864,85 €

 ac
α = 
− L  ⇒ a c = (α + L ) ⋅ (1 + g ) = (8.211.864,85 + 100.000 ) ⋅ (1 + 0,005) = 8.353.424,17 €

1
+
g


b2)
M r = M 1 ⋅ (1 + i´)r −1 ⇒ M 5 = M 1 ⋅ (1 + i´)4 =
Ns = N ⋅
3.
N
S n ¬i´
⋅ (1 + i´)4 =
an − s ¬i´ ⇒ N = 50.000 ⋅ a8−4 ¬0,065 = 28.132,19
4
an ¬i´
a8¬0,065
50.000
S8¬0,065
⋅ (1 + 0,065) 4 = 6.383,27
b3)
(C − Pe ) ⋅ N − G0 = a c ⋅ a n ¬ie ⇒ (1.000 − 20) ⋅ 50.000 − 250.000 = 8.353.424,17 ⋅ a8 ¬ie ⇒ ie = 0,07595
a)
(12)
V65 = S (200 ⋅12 ; 1,03) 35
¬ 0,05 = 200 ⋅12 ⋅
[
0,05
12 ⋅ 1,051 / 12
(1 + 0,05) 35 − 1,03 35
= 331.623,81 €
1,05 − 1,03
−1
]
⋅
b)
(12 )
12 )
V ´65 = S (200 ⋅12 ; 1,03)15
¬ 0,05 ⋅ (1 + 0,06) 20 + S (200 ⋅12 ⋅1,0315 ; 1,03) (20
¬ 0,06 =
200 ⋅12 ⋅
[
0,05
12 ⋅ 1,051 / 12
+ 200 ⋅12 ⋅1,0315
(1 + 0,05)15 − 1,0315
⋅ (1 + 0,06) 20 +
1,05 − 1,03
−1
]
[
⋅
0,06
12 ⋅ 1,061 / 12
(1 + 0,06) 20 − 1,03 20
= 384.420,76 €
1,06 − 1,03
−1
]
⋅
UNED
FACULTAD DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS II
CURSO 03-04
DÍA: 4 de Septiembre de 2004
CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE (Principal)
HORA: 16
MATERIAL AUXILIAR: Calculadora financiera
DURACIÓN: 2 horas
1. La empresa K ha obtenido del banco Z un préstamo de C0 pesetas, a amortizar en n años mediante
anualidades constantes, con la peculiaridad de que durante los s primeros años se abonarán únicamente
intereses (carencia de cuotas de amortización) efectuandose la amortización en los n-s restantes años. Los
tipos de interés anuales utilizados han sido el i1% para los s primeros años, y el i2% para los n-s restantes.
Obtener razonadamente:
a) Anualidades que lo amortizan y capital vivo después de transcurridos s+k años, (s+k<n).
b) Cuotas de amortización de los años s , s+1, y s+k.
c) Aplicación práctica para C0 =100.000 euros, n =12 años, i1 = 5%; i2= 7%, s=3 y k=4 años.
2.
Empréstitos:
La empresa CBC S.A. ha emitido un empréstito con las siguientes características:
9 5.000 títulos emitidos de 1.000 euros cada uno.
9 Pago de cupones anuales de 61,20 euros.
9 Duración: 8 años.
9 Amortización anual por sorteo mediante anualidades comerciales constantes.
9 Prima de emisión de 100 euros a cada título y Prima de amortización de 200 euros.
9 Los gastos iniciales, incluida la colocación de los títulos, importan el 5% del nominal emitido.
Obtener razonadamente:
a) Anualidad constante que lo amortiza y número de títulos vivos después de transcurridos 5 años.
b) Tanto efectivo para la empresa emisora y para el conjunto de los obligacionistas.
c) Tanto de rentabilidad de un título que se amortiza en el primer sorteo. Idem, si se amortiza en el 5º
sorteo.
3. Ampliaciones de capital:
Explicar en que consiste una operación blanca y obtener razonadamente el número de acciones que
puede suscribir un accionista que posee K acciones antes de la ampliación.
a) Teoría: Datos: P = precio de las acciones antes de la ampliación; n por v (n=nuevas;v=viejas) =
proporción de la ampliación; P'= precio al que se emiten las acciones nuevas.
b) Aplicación al caso en que K = 50.000 acciones; P = 25 euros; P’ = 10 euros; 2 nuevas por cada 5
viejas que se posean antes de la ampliación. Comprobar que el resultado obtenido es correcto.
Puntuación: Preguntas 1 y 2: 3,5 puntos cada una. Pregunta 3: 3 puntos.
UNED
FACULTAD DE CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Solución Septiembre 2004
1.
a) C s = C0 = a ⋅ a n − s ¬i2 ⇒ a =
b) As = 0 ;
C0 = C s
a n − s ¬i
; C s + k = a ⋅ a n − ( s + k ) ¬ i2
2
As +1 = a − I s +1 = a − C0 ⋅ i2
o´ As +1 =
C0 = C s
S n − s ¬i
;
As + k = As +1 ⋅ (1 + i2 ) ( s + k ) − ( s +1) = As +1 ⋅ (1 + i2 ) k −1
2
c)
a=
C0 = C s
100.000
=
= 15.348,65
a n − s ¬i2 a12−3¬0,07
C3+ 4 = 15.348,65 ⋅ a12 − (3+ 4) ¬0,07 = 62.932,49
A3 = 0 ; A4 = 15.348,65 − 100.000 ⋅ 0,07 = 8.348,65 ; A3+ 4 = A7 = A4 ⋅ (1 + i2 ) 7 − 4 = 8.348,65 ⋅ (1 + 0,07) 3 = 10.227,45
2.
a)
a c = [CN s −1i + (C + P ) M s ] ⇒
c
a ⋅C
Ci
= CN s −1
+ CM s ⇒ α = CN s −1i´+CM s
C+P
C+P
CN = α ⋅ a n ¬i´ ⇒ 1.000 ⋅ 5.000 = α ⋅ a8 ¬
α ⋅ (C + P)
61, 2
1.000 + 200
ac ⋅ C
C+P
con
Ci
i´=
C+P
α=
⇒ α = 776.739,30 €
776.739,30 ⋅ (1.000 + 200)
= 932.087,16 €
C
1.000
776.739,30 ⋅ a3¬0,051
C5T = CN 5 = α ⋅ a8−5 ¬ 61, 2 ⇒ N 5 =
= 2.111,29
1.000
1.000 + 200
ac =
=
b)
Emisor : (C − Pe ) ⋅ N − 0,05 ⋅ CN = a c ⋅ a n ¬ie ⇒ (1.000 − 100) ⋅ 5.000 − 0,05 ⋅1.000 ⋅ 5.000 = 932.087,16 ⋅ a8 ¬ie ⇒ ie = 0,14516
Obligacionistas : (C − Pe ) ⋅ N = a c ⋅ a n ¬io ⇒ (1.000 − 100) ⋅ 5.000 = 932.087,16 ⋅ a8 ¬io ⇒ io = 0,1284
c)
 Año 1 : 1.000 − 100 = 61,2 ⋅ a1¬i + (1.000 + 200) ⋅ (1 + ir ) −1 ⇒ ir = 0,40133 
r
C − Pe = Ci ⋅ a s ¬ir + (C + P ) ⋅ (1 + ir ) − s ⇒ 

−5
 Año 5 : 1.000 − 100 = 61,2 ⋅ a5 ¬ir + (1.000 + 200) ⋅ (1 + ir ) ⇒ ir = 0,12043
3.
a) Teoría
b)
 K = 50.000

n ⋅ ( P − P´) 2 ⋅ (25 − 10)


= 4,2857
d = n + v =
2+5
50.000 ⋅ 4,2857 ⋅ 2
K ⋅d ⋅n


=
= 10.338,16 ⇒ 10.344 acciones
Acciones a comprar : n = 2
⇒ X =
2 ⋅10 + 5 ⋅ 4,28
n ⋅ P´+v ⋅ d


v = 5

 P´= 10

 K = 50.000

n ⋅ ( P − P´) 2 ⋅ (25 − 10)


= 4,2857
d = n + v =
2+5
50.000 ⋅ 2 ⋅10
K ⋅ n ⋅ P´


=
= 24.154,59 ⇒ 24.137 derechos
Derechos a vender : n = 2
⇒Y =
n ⋅ P´+v ⋅ d 2 ⋅10 + 5 ⋅ 4,2857


v = 5

 P´= 10
