matemática de las operaciones financieras ii

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS II
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Junio – Primera Semana
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
21 de Mayo de 2008
Duración: 2 horas
Préstamos:
a)
Teoría. Préstamos con períodos de carencia: (1,5 puntos)
• Características generales y modalidades de estos préstamos.
• Explicar razonadamente cómo se resuelve el caso de un préstamo a amortizar por el método
francés y que tiene carencia total durante los s primeros años.
b)
Práctica. La empresa K ha obtenido un préstamo del banco H a amortizar en 10 años, mediante
anualidades constantes (método francés), a un tipo de interés anual constante del 6% anual. Se
sabe que los intereses correspondientes al 4º año importan 20.478,6027 euros. Obtener
razonadamente:
1) Anualidad constante que lo amortiza y cuantía del capital prestado por el banco. (1,5 puntos).
2) Cuota de amortización correspondiente al 6º año. (0,5 puntos).
3) Tanto efectivo al que resulta el préstamo sabiendo que ha pagado una comisión de apertura
del 1% y una comisión de estudio del 3‰ de la cuantía prestada (solo planteamiento numérico
si no se dispone de calculadora financiera). (0,5 puntos).
2.
Empréstitos:
a)
Teoría. Empréstitos no amortizables: Características, denominación cuando lo emiten los
estados, cuantía del término amortizativo y valor de mercado de una de estas obligaciones si paga
cupones al tanto i y el tipo de interés de mercado en este momento es i´. (1,5 puntos)
b)
Práctica: La empresa XYZ ha emitido un empréstito formado por 10.000 obligaciones de 1.000
euros nominales cada uno a amortizar en 10 años por sorteo mediante anualidades constantes. El
pago de cupones se realiza anualmente al 6%, se ofrece una prima de emisión del 1% del nominal
de cada título y una prima de amortización del 2%. Los gastos de administración a lo largo de la
vida del título representan el 3‰ de las cantidades pagadas cada año. Los gastos iniciales por la
colocación del empréstito en el mercado representan el 4% del nominal emitido.
Obtener razonadamente:
1) Anualidad constante que lo amortiza. (1 punto).
2) Número de títulos que se amortizan en el sexto sorteo y número de títulos vivos después de
cuatro sorteos. (0,5 puntos).
3) Tanto efectivo para el emisor y tanto de rentabilidad de un título que se amortiza en el quinto
sorteo. (1 punto).
3.
Arrendamiento financiero (leasing):
Una empresa especializada en operaciones de arrendamiento financiero ha de calcular las cuantías a
percibir por alquilar unos equipos industriales. El precio de mercado de estos activos importa dos
millones de euros, el horizonte temporal que se plantea para esta operación se fija en 8 años y el valor
residual se estima en el 10% del precio de mercado. Los alquileres se percibirán mensualmente con
carácter prepagable y para la valoración financiera se fija un tanto nominal para frecuencia mensual j12 =
12%. Obtener razonadamente la cuantía mensual que se ha ofertar a la empresa arrendataria de
acuerdo con las condiciones establecidas. (2 puntos).
Soluciones Junio 08 – Primera Semana
1.
a)
Teoría
b.1)
20.478,6027 = C3 ·0,06
⇒
341.310,045 = a·a7 ¬0,06
C3 =
341.310,045
⇒
a = 61.140,58
C0 = 61.140,58·a10 ¬0,06 = 450.000 €
b.2)
61.140,58 = I4 + A 4
A 6 = A 4 ⋅ (1+ i)
2
2.
⇒ 61.140,58 = 20.478,6027 + A 4
⇒ A 6 = 40.661,97 ⋅ (1+ 0,06) = 45.687,8 €
b.3)
450.000 ⋅ (1- 0,01- 0,003) = 61.140,58 ⋅ a10 ¬i
a)
Teoría
b.1)
⇒ A 4 = 40.661,97 €
2
⇒ i = 0,062771
Anualidad comercial : ac = ( C ⋅ i ⋅ Ns-1 + (C +P) ⋅ Ms ) ⋅ (1+ g)
Normalización :
ac
C
C ⋅i
⋅
= C ⋅ Ns-1 ⋅
+ C ⋅ Ms
1+ g C +P
C +P
⇒ α = C ⋅ Ns-1 ⋅ i´+C ⋅ Ms
ac
C
⋅
1+ g C +P
C ⋅ N = α ⋅ an ¬i´ con :
⇒ 1.000 ⋅ 10.000 = α ⋅ an ¬i´ ⇒ α = 1.351.119,7
C ⋅ i 1.000 ⋅ 0,06
i´=
=
= 0,058824
C +P 1.000 + 20
ac
C
C +P
1.000 + 20
α=
⋅
⇒ ac = α ⋅
⋅ (1+ g) = 1.351.119,7 ⋅
⋅ (1+ 0,003) = 1.382.276,5
1+ g C +P
C
1.000
α=
b.2)
α - C ⋅ N ⋅ i´
1.351.119.7 -1.000 ⋅ 10.000 ⋅ 0,058824
= 762,88
C
1.000
M6 = 762,88 ⋅ (1+ 0,058824)5 =
1.015,25 títulos
M6 = M1 ⋅ (1+ i´)5
con M1 =
C ⋅ N4 = a ⋅ a6 ¬i´
⇒ N4 =
=
1.351.119,7 ⋅ a6 ¬i´
= 6.668,51 títulos
1.000
b.3)
(C - Pe ) ⋅ N - G0 = ac ⋅ an ¬ie
⇒ (1.000 -10) ⋅ 10.000 - 400.000 = 1.382.276,52 ⋅ a10 ¬ie
(C - Pe ) = C ⋅ i ⋅ as ¬ir + (C +P) ⋅ (1+ ir )
-s
3.
⇒ ie = 0,0747
⇒ (1.000 -10) = 60 ⋅ a5 ¬ir + (1.000 + 20) ⋅ (1+ ir ) ⇒ ir = 0,0659
2.000.000 = l ⋅ a96 ¬0,01 + 200.000 ⋅ (1+ 0,01)-96
-5
⇒ l = 30.945,6 €
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS II
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Junio – Segunda Semana
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
4 de Junio de 2008
Duración: 2 horas
Préstamos
a)
Teoría. Préstamos sindicados: Características generales, modalidades de sindicación y tipos de
interés que suelen utilizarse. (1,5 puntos).
b)
Práctica. La empresa E obtuvo hace 4 años un préstamo a amortizar en 12 años mediante
anualidades constantes siendo el tanto de valoración el 6% anual. La cuota de amortización
correspondiente a este año (cuarto año de vida del préstamo: A4) importa 8.824,9863 euros. Los
gastos iniciales a cargo del prestatario han sido el 1,5% de comisión de apertura de crédito, el 4‰
de comisión de estudio y el 3‰ de corretaje que percibe el fedatario público mercantil. En el
contrato se establece una cláusula de cancelación anticipada por la que se aplica un recargo del
2% sobre el capital vivo en el momento de la cancelación. Obtener razonadamente:
1) Capital prestado (Co) y anualidad constante que la amortiza (a). (1 punto).
2) Capital a devolver en el caso de que se solicite la cancelación anticipada cuando han
transcurrido 8 años completos desde el inicio de la operación. (se acaba de pagar la 8ª
anualidad). (0,5 puntos).
3) El tanto efectivo que resulta para el prestatario en el caso de que la operación finalice después
de transcurridos esos 8 años completos tal como se indica en el apartado b). (0,5 puntos).
2.
3.
Empréstitos
a)
Teoría. Tanto efectivo para el emisor del empréstito: Explicar razonadamente cómo se obtiene si
se conoce: C = nominal de cada título. N = número de títulos emitidos. a= anualidad comercial
constante que lo amortiza y n = duración total del empréstito, Go = gastos iniciales a cargo del
emisor, Gn = gastos finales a cargo del emisor. Pe = Prima de emisión. (1,5 puntos).
b)
Práctica. Un empréstito cupón cero, normal del tipo I (anualidades constantes), se amortiza
mediante sorteos anuales en 15 años. El nominal de cada obligación es 1.000 euros y a los títulos
se les pagan los intereses acumulados al 6% anual en la fecha de amortización. Se sabe que el
número de títulos vivos después de transcurridos 10 años es 36.327,764 títulos. Obtener
razonadamente:
1) Anualidad constante que amortiza el empréstito. (1 punto).
2) Número de títulos que se amortizan en el sorteo del año 12. (0,5 puntos).
3) Tanto de rentabilidad que obtiene una obligación que se amortiza en el décimo sorteo
sabiendo que los títulos se emiten con una prima del 2% del nominal. (1 punto).
Operaciones de venta a plazos
a)
Teoría. Explicar en qué consiste esta operación y cómo se obtiene la cuantía P a pagar en cada
plazo. Datos: V = precio del bien, E = entrada, n = número de plazos, m= frecuencia de cada plazo
y r = recargo mensual que se aplica a la cuantía aplazada. (1,5 puntos).
b)
Aplicación: Una empresa especializada en la venta de ordenadores ofrece, entre otras, la
siguiente modalidad de venta a plazos; el comprador ha de dar una entrada del 15% del precio de
venta, que se establece en 800 €, y, el resto, se ha de pagar en 24 plazos mensuales. Sobre las
cuantías aplazadas, se aplica un recargo del 0,75% mensual. Obtener razonadamente la cuantía a
pagar en cada plazo y el tanto de capitalización-descuento compuesto al que resulta la operación.
(1 punto).
Soluciones Junio 08 – Segunda Semana
1.
a)
Teoría
b1)
A 4 = A1 ⋅ (1 + 0,06)3
⇒
A1 = A 4 ⋅ (1 + 0,06)−3 = 8.824,9863 ⋅ (1 + 0,06)−3 = 7.409,63 €
n
C0 = ∑ A s = A1 ⋅ S12 ¬0,06 = 7.409,63 ⋅ S12 ¬0,06 = 125.000 €
s =1
125.000 =a ⋅ a12 ¬0,06
b2)
2.
3.
⇒
a =14.909,63 €
=
C8 14.909,63 ⋅ a=
51.663,44 €
4 ¬0,06
⇒
A devolver
= 51.663,44=
⋅ 1,02 52.696,71 €
b3)
125.000 ⋅ (1 − 0,004 − 0,003 −=
0,015) 14.909,63 ⋅ a8 ¬i* + 52.696,71 ⋅ (1 + i* )−8
a)
Teoría
b1)
1.000 ⋅ 36.327,764 ⋅ (1 + 0,06)10 = a ⋅ a5 ¬0,06
b2)
Ms = M1 ⋅ (1 + i)−(s −1) =
b3)
C − Pe = C ⋅ (1 + i)r ·(1 + ir )−r
a)
Teoría
a
⋅ (1 + i)−(s −1)
C ⋅ (1 + i)
⇒
⇒
=
⇒ i* 0,0625
a = 15.444.414,53 €
M12 =
15.444.414,53
⋅ 1,06−11 = 7.675,4
1.000 ⋅ 1,06
⇒ 1.000 − 20 = 1.000 ⋅ (1 + 0,06)10 ·(1 + ir )−10
⇒
ir = 0,062143
b)
=
E 800 ⋅ (1 − 0,15)
= 680 ; =
α 0,0075 ⋅ 24
= 0,18
680 ⋅ (1 + 0,18)
=
P = 33,43
24
800(1 − 0,15) = 33,43 ⋅ a24 ¬i12 ⇒ i12 = 0,013679 ⇒
i = (1 + 0,013679)12 − 1 = 0,177084
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS II
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Septiembre – Principal
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
4 de Septiembre de 2008
Duración: 2 horas
Préstamos
a)
Teoría: Préstamos con el pago fraccionado de los intereses: Planteamiento
general. (1,5 puntos).
b)
Práctica: La empresa Y ha obtenido un préstamo de cien mil euros a amortizar
en 10 años por el método de cuotas de amortización constantes pero con
abono semestral de los intereses (la amortización se realiza anualmente), siendo el
tanto nominal para frecuencia semestral j2 = 6%. Obtener razonadamente:
1) Cuota de amortización constante y capital vivo después de transcurridos 4
años. (1 punto).
2) Términos amortizativos correspondientes al sexto año. (1 punto).
3) Valor del préstamo y valor de sus componentes, usufructo y nuda propiedad,
cuando han transcurrido 4 años y el tanto nominal de mercado es j´2 = 7%.
(1 punto).
2.
Empréstitos
a)
Teoría: Empréstitos normales con cupón cero (se amortizan con los intereses
acumulados) del tipo I: Explicar razonadamente como se obtiene la anualidad
constante que lo amortiza y el plan de amortización. (1,5 puntos).
b)
Práctica: Un empréstito está formado por 60.000 títulos de 5.000 euros cada
uno y tiene una duración de 12 años, efectuándose la amortización por sorteos
anuales. El empréstito es del tipo cupón cero, (los títulos no perciben cupones a lo
largo de su vida) y se amortiza con los intereses acumulados a un tanto del 5%
anual. Obtener razonadamente:
1) Anualidad constante que lo amortiza. (1 punto).
2) Número de títulos que se amortizan en el 5º sorteo y número de títulos vivos
después de siete sorteos. (1 punto).
3.
Operaciones de constitución de capital.
Una persona desea formar un capital realizando aportaciones anuales, constantes y
prepagables. Explicar razonadamente cómo se obtienen:
a)
b)
c)
d)
La cuantía (a ) que se ha de aportar cada año. (0,5 puntos).
El capital constituido después de transcurridos s años (C - s ). (0,5 puntos).
Las cuotas de constitución de cada año (Δ - 1 , ... Δ - n ). (0,5 puntos).
Aplicación al caso en que C n = 100.000 €, n = 8 años; s = 5 años i = 4%
anual. (1,5 puntos).
Solución Septiembre 08
1.
a)
Teoría
b1)
C
100.000
A =0 =
=
10.000 € / año
n
10
C4 = C0 − 4A = 100.000 − 4 ⋅ 10.000 = 60.000 €
C0 =⋅
n A
⇒
b2)
Sexto año :
Semestre 1: C5 ⋅ i2 = (C0 − 5A) ⋅ i2 = (100.000 − 5 ⋅ 10.000) ⋅
0,06
= 1.500 €
2
Semestre 2 : C5 ⋅ i2 +=
A 1.500 + 10.000
= 11.500 €
b3)
Ns = A ⋅ an − s ¬i´
⇒
N4 =10.000 ⋅ a10 − 4 ¬i= (1+ 0,07)1 2 −1= 0,071225 =47.485,67 €
Cs = (n − s) ⋅ A
⇒
C4 = (10 − 4) ⋅ 10.000 = 60.000 €
U(m)
=
s
Jm
⋅ (Cs − Ns )
J´m
Vs(m) = U(m)
+ Ns
s
2.
a)
Teoría
b1)
b2)
C ⋅ N = a ⋅ an ¬i
⇒
⇒
⇒
a = C ⋅ (1 + i)5 ⋅ M5
a)
 ¬
Cn =a ⋅ S
n i
b)
 ¬
Cs =a ⋅ S
s i
⇒
0,06
⋅ (60.000 − 47.485,67) =10.726,57 €
0,07
V4(2) = U(2)
58.212,24 €
4 + N4 = 10.726,57 + 47.485,67 =
5.000 ⋅ 60.000 = a ⋅ a12 ¬0,05
⇒
C ⋅ Ns ⋅ (1 + i)s = a ⋅ an − s ¬i
3.
U(2)
4 =
a=
M5 =
⇒
⇒
a = 33.847.623 €
a
33.847.623
=
= 5.304,1 títulos
C ⋅ (1 + i)5 5.000 ⋅ (1 + 0,05)5
5.000 ⋅ N7 ⋅ (1 + 0,05)7 = 33.847.623 ⋅ a12 −7 ¬0,05
Cn
 ¬
S
n i
c)
a
=
100.000
= 10.435,37 €
 ¬
S
8 0,04
 =
;=
C5 10.435,37 ⋅ S
58.782,18 €
5 ¬0,04
0,04)5 12.696,22 €
=
∆ 5 10.435,37 ⋅ (1 +=
⇒
N7 = 20.829