Matriz Esencial Extracción de rotación y traslación

Matriz Esencial
Extracción de rotación y traslación
19 de junio de 2013
A partir de la Matriz Esencial, calculada a partir de dos imágenes obtenidas con una sola cámara que se trasladó y rotó, es posible obtener la matriz R de rotación y el vector T de traslación
correspondientes. En adelante, se resumen los pasos necesarios para calcular R y T a partir de dos
imágenes I e I’.
1.
Cálculo de Matriz Fundamental
Si bien es posible obtener la Matriz Esencial directamente a partir de un par de imágenes,
nosotros calcularemos primero la matriz F y, a partir de ella, la matriz E. Para obtener la matriz F
necesitaremos un conjunto de correspondencias { xi ↔ xi0 }, donde xi ∈I y xi0 ∈ I 0 .
Una vez obtenida la matriz F, se puede obtener fácilmente la matriz E como:
E = K T FK
donde K es la matriz de calibración de la cámara en cuestión.
2.
Cálculo de las Matrices de Cámara
Si asumimos que la imagen I está asociada a una cámara representada por la matriz P, mientras
que la imagen I 0 a una cámara P0 , lo que queremos obtener son justamente estas dos matrices. De
hecho, si tomamos a P como la cámara canónica,
P = K [ I |0]
P0 . Notar que, si bien tenemos dos matrices de cámara distintas, ambas
la incógnita es únicamente
comparten los mismos parámetros intrínsecos representados por K.
A partir de ciertos análisis teóricos es posible ver que, a partir de la información que se tiene, existen cuatro posibilidades para la matriz P0 dado que existen ciertas ambigüedades. Éstas,
surgen a partir del hecho de que hay dos posibles rotaciones y dos posibles traslaciones:
1
=
=
=
=
R1
R2
T1
T2
UW T V T
UWV T
T
−T
donde


−1 0
0 0 
0 1
0
W= 1
0
y las matrices U, V son las de la descomposición SVD de E
E = UDV T
. En la práctica, en caso de que det(V T ) < 0 o det(U ) < 0, será necesario tomar la descomposición SVD de − E en realidad. Finalmente, el vector T de traslación se puede obtener resolviendo el
sistema homogéneo:
ET = 0
Otra posibilidad para encontrar T es tomar la tercera columna de U:
T = u3
3.
Obteniendo la P0 correcta
A partir de las cuatro posibilidades para P0 , que surgen de hacer todas las combinaciones de
R1 , R2 y T1 , T2 posibles, habrá solo una de ellas que será la correcta. Esto se debe al hecho de que
tomaremos aquella en donde los puntos que observamos de la escena queden delante del plano
de la imagen. Tomando entonces algún par de correspondencias de las obtenidas previamente,
habrá que obtener la posición Q en el mundo del punto asociado a las mismas. Para obtener dicha
posición se hace un simple método de triangulación a partir de las cámaras P y la P0 considerada
en cada caso. De esta forma, entonces, obtendremos cuatro posibles valores para Q. Lo que resta, es
determinar entonces si dicho punto queda delante o no del plano de la imagen de ambas cámaras.
Se puede ver que si se cumple que:
Qz Qw > 0
y
( P0 Q)z Qw > 0
entonces el punto queda delante de ambos planos de imagen. Por ende, la P0 utilizada para obtener
el Q en cuestión es la cámara correcta
2
4.
Extracción de R y T
Finalmente, para obtener la rotación y traslación existente entre las cámara P y P0 , simplemente
se toman la rotación y traslación utilizadas para construir P0
3