Subespacios vectoriales - División de Ciencias Básicas

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
SUBTEMA. SUBESPACIOS VECTORIALES
Problema 1: Determinar si el subconjunto W es un subespacio vectorial bajo la
condición dada:
W = a, b,c 4a 2b c 0; a, b, c R
SOLUCIÓN:
Tomando en cuenta la condición dada c = 4a + 2b , el nuevo conjunto W es:
W=
a, b, 4a + 2b
a, b R
Verificando axiomas:
1.- Cerradura para la suma:
u v
a1 , b1 , 4a1 2b1
a2 , b2 , 4a2 2b2
a1 a2 , b1 b2 , 4a1 4a2 2b1 2b2
a1 a2 , b1 b2 , 4 a1 a2
2 b1 b2
Si a1 a2 a3 ; b1 b2 b3 , entonces:
u v
a3 , b3 , 4a3 2b3
W
cumple
2.- Cerradura para la multiplicación:
u
a, b, 4a 2b
a, b, 4 a 2 b
Si
u
a
a4 ;
b b4 , entonces:
a4 , b4 , 4a4 2b4
W
cumple
Por tanto, el subconjunto W sí es un subespacio vectorial de R3.
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
Profra. Norma Patricia López Acosta
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ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
Problema 2: Sea P n el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n
con coeficientes reales. Determinar cuál de los siguientes subconjuntos son subespacios
vectoriales de P n :
(a) A
p( x) | p(7)
(b) B
p( x) | p( 5)
0
2
p(3)
SOLUCIÓN:
(a)
Verificando axiomas para el subconjunto A:
1.- Cerradura para la suma:
u
p1 (7) 0
v
p2 (7) 0
u v
( p1
Si p1
u v
p2 )(7) 0
p2
p3 entonces:
p3 (7) 0
A
Cumple
2.- Cerradura para la multiplicación:
u
p(7)
p
Si
u
0
( p)(7)
0
p4 entonces:
p4 (7) 0
A
Cumple
Por tanto, el subconjunto A sí es un subespacio vectorial de P n .
(b)
Verificando axiomas para el subconjunto B:
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ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
1.- Cerradura para la suma:
u
p1 ( 5)
2
p1 (3)
v
p2 ( 5)
2
p2 (3)
u v
( p1
p2 )( 5) 4 ( p1
p2 )(3)
B
No cumple
2.- Cerradura para la multiplicación:
u
p( 5)
p
Si
u
2
p(3)
( p)( 5)
2
( p)(3)
p4 entonces:
p4 ( 5) 2
p4 (3)
B
1
No cumple
Por tanto, el subconjunto B no es un subespacio vectorial de P n .
Problema 3: Sean M y N dos subespacios del espacio vectorial real de las matrices de
m n, donde:
a b c
d 0 0
M
a b c
d 0 0
N
Demostrar que el conjunto M
b
a c; a, b, c, d
c
a 2b; a, b, c, d
R
R
N es un subespacio vectorial de las matrices de m n.
SOLUCIÓN:
La intersección es:
M
N
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a b c
d 0 0
b
a c; c
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a 2b; a, b, c, d R
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Tema 2. Espacios Vectoriales
Tomando en cuenta las condiciones del conjunto intersección anterior:
a b c 0
a 2b c 0
Se tiene, matricialmente que:
1 1 1
1 2 1
De donde: b
2
c
3
b
0
a
a b c 0
1 1 1
2
0 1
3
1 1 1
0 3 2
2
c
3
2
c c
3
a
1
c
3
Por tanto, la intersección se transforma en:
M
N
1 2
c c c
3 3
d 0 0
c, d R
Conjunto intersección
Verificando axiomas:
1.- Cerradura para la suma:
u v
1
2
c1 c1 c1
3
3
d1 0 0
Si c1 c2 c3 y d1 d 2
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1
2
c2 c2 c2
3
3
d2 0
0
1
2
(c1 c2 ) (c1 c2 ) (c1 c2 )
3
3
(d1 d 2 )
0
0
d 3 , entonces:
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Tema 2. Espacios Vectoriales
u v
1
2
c3
c3 c3
3
3
d3 0 0
M
N
Cumple
2.- Cerradura para la multiplicación:
1 2
c c c
3 3
d 0 0
u
Si
u
c
c4 y
d
1
2
c
c c
3
3
d 0
0
d 4 , entonces:
1
2
c4
c4 c4
3
3
d4 0 0
M
N
Cumple
Por tanto, queda demostrado que M
matrices de m n.
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N sí es un subespacio vectorial de las
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