Demostraciones - División de Ciencias Básicas

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DEMOSTRACIONES
Problema 1: Sea V un espacio vectorial real y sean u , v ∈ V . Demostrar que si
u+v = u−v
entonces u y v son ortogonales.
SOLUCIÓN:
Demostración:
(
u+v u+v
(
) (
1
2
= u−v u−v
)
1
2
) = (u − v u − v )
(u + v u + v ) = (u − v u − v )
(u u + v ) + (v u + v ) = (u u − v ) − (v u − v )
(u u ) + (u v ) + ( v u ) + ( v v ) = (u u ) − (u v ) − ( v u ) + ( v v )
(u u ) + 2 (u v ) + (v v ) = (u u ) − 2 (u v ) + (v v )
2 (u v ) + 2 (u v ) = 0
4 (u v ) = 0
⎡
⎢ u+v u+v
⎣
1
2
1
2
⎤
⎥
⎦
2
( )
∴ u v = 0 ← Por tanto u y v son ortogonales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
1 de 2
COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
Profra. Norma Patricia López Acosta
PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
Problema 2: Sea V un espacio vectorial real y sean u , v ∈ V . Demostrar que:
2
2
2
u+v + u−v = 2 u +2 v
2
SOLUCIÓN:
Demostración:
2
2
2
u+v + u−v = 2 u +2 v
(
( )
( )
(u + v u + v ) + (u − v u − v ) = 2 (u u ) + 2 (v v )
(u u + v ) + (v u + v ) + (u u − v ) − (v u − v ) = 2 (u u ) + 2 (v v )
(u u ) + (u v ) + (v u ) + (v v ) + (u u ) − (u v ) − (v u ) + (v v ) = 2 (u u ) + 2 (v v )
⎡
⎢ u+v u+v
⎣
)
1
2
2
(
2
⎤ ⎡
⎥ +⎢ u−v u−v
⎦ ⎣
)
1
2
2
⎤
⎡
⎥ = 2⎢ u u
⎦
⎣
1
2
2
⎤
⎡
⎥ + 2⎢ v v
⎦
⎣
1
2
⎤
⎥
⎦
2
( ) ( ) ( ) ( )
∴ 2 u u + 2 v v = 2 u u + 2 v v ← Queda demostrada la igualdad
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
Profra. Norma Patricia López Acosta