Valores y vectores característicos

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
TEMA: VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
Problema 1: Sea M 2 el espacio vectorial real de las matrices de 2x2 con elementos
reales y el operador lineal S : M 2 → M 2 definido por:
S ( A ) = AT
Determinar:
(a) Los valores característicos de S.
(b) Los espacios característicos correspondientes a cada uno de los valores característicos
de S, sus dimensiones y una de sus bases.
SOLUCIÓN:
(a) • Se determina primero la matriz asociada M(S) = A, calculando las imágenes de los
⎧⎪ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎫
vectores de la base Bcanonica de M 2 = ⎨ ⎢
⎥ , ⎢ 0 0 ⎥ , ⎢ 1 0 ⎥ , ⎢ 0 1 ⎥ ⎬ del dominio
0
0
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦⎭
⎩⎪ ⎣
⎧⎪ ⎡ a b ⎤
⎪⎫
M 2 = ⎨⎢
a,b,c,d
∈
R
⎬:
⎥
⎪⎭
⎪⎩ ⎣c d ⎦
⎡1
S⎢
⎣0
⎡0
S⎢
⎣1
⎡
S⎢
⎣
⎡
S⎢
⎣
0⎤ ⎡ 1 0⎤
=
0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦
0⎤ ⎡ 0 1⎤
=
0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦
0 1⎤ ⎡ 0
=
0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0 0⎤ ⎡ 0
=
0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
M (S )
0⎤
1 ⎥⎦
⎡
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0 ⎤
0 0 1 0 ⎥⎥
= A
0 1 0 0 ⎥
⎥
0 0 0 1⎦
0⎤
1 ⎥⎦
• Se determina la matriz A − λI :
⎡
⎢
A − λI = ⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0 ⎤
⎡
⎥
⎢
0 0 1 0 ⎥
−λ⎢
⎢
0 1 0 0 ⎥
⎥
⎢
0 0 0 1⎦
⎣
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
1 0 0 0 ⎤
0 0 1 0 ⎥⎥
=
0 1 0 0 ⎥
⎥
0 0 0 1⎦
1 de 4
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1-λ 0 0 0 ⎤
0 -λ 1 0 ⎥⎥
0
1 -λ 0 ⎥
⎥
0
0
0 1-λ ⎦
COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
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ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
• Se calcula det ( A − λI ) = 0 :
0 ⎤
⎡ -λ 1
⎢
det ( A − λI ) = (1-λ ) ⎢ 1 -λ 0 ⎥⎥ = (1-λ ) ⎡⎣ (λ 2 )(1-λ ) − (1-λ ) ⎤⎦ = (1-λ )(1-λ )(λ 2 − 1) = 0
⎢⎣ 0 0 1-λ ⎥⎦
• Resolviendo la ecuación anterior, se obtienen los valores característicos del
operador lineal S: λ = 1 y λ = -1
(b) • Los espacios característicos se determinan con la expresión ( A − λI ) v = 0 , para
cada valor característico obtenido anteriormente.
⎡0 0 0
⎢0 −1 1
para
λ
=
1
se tiene la matriz A − λI = ⎢
• Es decir,
⎢0 1 −1
⎢
⎣0 0 0
0⎤
0 ⎥⎥
.
0⎥
⎥
0⎦
• Resolviendo matricialmente el sistema de ecuaciones ( A − λI ) v = 0 , donde
⎡a b⎤
v=⎢
⎥ ∈M2 :
c
d
⎣
⎦
a
b
c
d
64
4
744
8
⎡0 0 0 0 ⎤
⎡0 0 0 0 ⎤
⎡ 0 1 -1 0⎤
⎢0 -1 1 0 ⎥
⎢0 1 -1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ≈ ⎢
⎥ ≈ ⎢0 0 0 0⎥
⎢0 1 -1 0 ⎥
⎢0 0 0 0⎥
⎢0 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣0 0 0 0 ⎦
⎣0 0 0 0 ⎦
⎣0 0 0 0⎦
• Del sistema de ecuaciones equivalente final, se obtiene:
b −c = 0;
0a = 0 ;
0d = 0
• De donde: b = c ; a = a ; d = d .
⎤
⎤
original se transforma en v = ⎡⎢
• Por lo que, el vector v = ⎡⎢
⎥
⎥.
⎣c d ⎦
⎣b d ⎦
a b
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a b
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• Finalmente se obtiene que:
⎧⎪ ⎡ a b ⎤
⎫⎪
E ( λ = 1) = ⎨ ⎢
a
,
b
,
d
∈
R
⎬ → Espacio característico para λ = 1
⎥
⎪⎩ ⎣ b d ⎦
⎪⎭
⎧ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎫
Bcanonica de E ( λ = 1) = ⎨ ⎢
⎥,⎢
⎥,⎢
⎥ ⎬ → Base canónica
⎩ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎭
dim E ( λ = 1) = 3 → Dimensión
• Ahora bien, para el otro valor característico λ = -1 se tiene la matriz:
⎡2
⎢0
A − λI = ⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
1
1
0
0
1
1
0
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
2⎦
• Resolviendo matricialmente el sistema de ecuaciones ( A − λI ) v = 0 , donde
⎡a b⎤
v=⎢
⎥ ∈M2 :
c
d
⎣
⎦
⎡2
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
1
1
0
0
1
1
0
0⎤
⎡1
⎥
⎢0
0⎥
≈ ⎢
⎢0
0⎥
⎥
⎢
2⎦
⎣0
0
1
0
0
a
b
c
d
64
4
744
8
0 0⎤
⎡1 0 0 0 ⎤
⎥
⎢0 1 1 0⎥
1 0⎥
⎥
≈ ⎢
⎢0 0 0 1⎥
0 0⎥
⎥
⎢
⎥
0 1⎦
⎣0 0 0 0⎦
• Del sistema de ecuaciones equivalente final, se obtiene: a = 0 ; b + c = 0 ;
d =0
b = −c
0 −c
⎤
⎤
• Por lo que, el vector v = ⎡⎢
original se transforma en v = ⎡⎢
⎥
⎥.
⎣c d ⎦
⎣c 0 ⎦
a b
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• Finalmente se obtiene que:
⎧⎪ ⎡0 −c ⎤
⎫⎪
E ( λ = −1) = ⎨ ⎢
c ∈ R ⎬ → Espacio característico para λ = −1
⎥
⎩⎪ ⎣ c 0 ⎦
⎭⎪
⎧ ⎡0 −1⎤ ⎫
Bcanonica de E ( λ = −1) = ⎨ ⎢
⎥ ⎬ → Base canónica
⎩ ⎣1 0 ⎦ ⎭
dim E ( λ = −1) = 1 → Dimensión
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