1 Relación 6.- Derivación de funciones reales de variable real (2a

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Relación 6.- Derivación de funciones reales de variable real
(2a parte)
I.T.T. SISTEMAS (Grupo de mañana)
6.1.- Estudiar si se puede aplicar el teorema de Rolle a las funciones.
a) f(x) = tg x
b) f (x) = jx j
en
en
[0 ;¼]
[¡1 ;1 ]
6.2.- Demostrar que la ecuación x3 + 3x = 2x2 + 5 tiene una única
sólución real.
6.3.- Separar en intervalos las raíces de las siguientes ecuaciones:
a) 2x3 + 3x2 ¡ 72x + 12 = 0
b) xlnx = 1
c) ex + x = 0
d) x ¡ x2 ¡ ln (x + 1) = 0
6.4.- Determinar la imagen de la función f : [0; 2] ¡!IR dada por:
f(x) = 3x4 ¡ 8x3 ¡ 6x2 + 24x + 1
6.5.- Determinar la imagen de las siguientes funciones en el conjunto de
números reales indicado:
x2
i) f (x) = 2
en IR
x +3
2
ii) f (x) =
en IR
1 + ejxj
6.6.- Establecer las desigualdades
a
b b
1 ¡ · log · ¡1
b
a a
2
donde los números a; b veri…can 0 < a · b: Aplicar este resultado para
1 1
probar que el log 1; 2 está comprendidio entre y :
5 6
Indicación: Utilizar el teorema del valor medio de Lagrange a la función
f (x) = log x en el intervalo cerrado [a; b] :
6.7 Aplicar el teorema del valor medio de Cauchy a las funciones
f (x) =senx; y g (x) = cos x
·
¸
¼ 3¼
en el intervalo
;
: Además hallar el valor o valores del ”punto in4 4
termedio”.
6.8.- Calcular los siguientes límites:
p tagx
x
i) lim
viii) lim ( x)
x!0 x + senx
x!0
1
ii) lim (x ¢ ln x)
ix) lim (1 ¡ e2x) ln 2x
x!0
x!0µ
¶
x2
x + 3 5x+2
iii) lim
x) lim
x!0 1 ¡ cos 3x
x!0 µ
x + 4 ¶x
x ¢ sen4x
x+1
iv) lim
xi) x!1
lim
x!0 1 ¡ cos 3x
x³¡ 1 ´
ln x
1
v) lim
xii) x!1
lim x a x ¡ 1
2
x!1 1 ¡ x
Ãs
!
x +1
ln
vi) lim x2 ¢ ln x
1¡x
x!0
x ¢ arcsenx
xiii) lim
x!0
vii) lim
x
x!0 1 ¡ cos 2x
6.9.- Calcular:
µ
1
1 ¶
i) lim
¡
(Utiliza, cuando veas conveniente, la fórnula del
x!0
x2 sen2x
seno del ángulo doble, para simpli…car el cálculo antes de derivar)
µ
¼
ii) lim (e ¡ 1) ¢ tg
+x
x!0
2
x
0
¶
1n
µ 1 1¶
a n + bn A
x
iii) n!1
lim @
(Utiliza la equivalencia ln a x +b
»
2
2
x ! 1 cuando lo veas oportuno)
1
1
6.10.- Calcular los siguientes límites:
1
1
a x +b x
2
¡ 1 con
3
tg 2x
a) lim (tg x)
x!0
b) lim+
x!0
µ ¶ tg x
1
x
6.11.- Utilizar equivalencias para calcular los siguientes límites:
Ã
a) x!1
lim x ln
c) x!1
lim
Ã
s
x+a
x¡a
1
sen2
b) x!1
lim p
p x
x
( 2 ¡ 1)( x2 + 1 ¡ x)
!
2x2 ¡ 3
x2 ¡ 3x + 5 x + 1
1 + ln
x2 ¡ 9
!
1¶
(3x + 1) 1 ¡ cos
x¶
d) x!1
lim
µ
1
(x2 ¡ 2) ln 1 + 2
x
2
µ
6.12.- Ordenar, según potencias de (x ¡ 2) ; el polinomio
f (x) = x3 + 4x2 ¡ 5x + 8,
mediante la fórmula de Taylor.
6.13.- Escribir la fórmula de Taylor de segundo orden de f (x) =sen2 x
en el punto x0 = 0:
6.14.- Hallar, mediante el polinomio de Taylor de orden 3 en el punto
x0 = 1, el valor de e1;01 y calcular el error máximo cometido.
6.15.- Calcular el valor de ln 1; 25 con error inferior a 10¡6.
6.16.- Estudiar y representar las siguientes funciones:
x3 ¡ x2 ¡ x + 1
(a) y = x4 ¡ 18x2 + 32
(e) y =
x2 + 1
2
x ¡ 4x + 5
(b)y =
(f) f (x) = (x ¡ 1) ex
x¡2
s
x2 ¡ 5x + 4
x2 (x ¡ 3)
(c) y = 2
(g) y =
2
x + 5x + 4
x
1
à ¡
!
3
x
x2 (x ¡ 3)
(d) y =
(h) y = Ln
x¡3
x2 ¡ 1
1
6.17.- Representar (sin estudiar la curvatura) la función: f(x) = x
e + e¡x