1 Relación 6.- Derivación de funciones reales de variable real (2a parte) I.T.T. SISTEMAS (Grupo de mañana) 6.1.- Estudiar si se puede aplicar el teorema de Rolle a las funciones. a) f(x) = tg x b) f (x) = jx j en en [0 ;¼] [¡1 ;1 ] 6.2.- Demostrar que la ecuación x3 + 3x = 2x2 + 5 tiene una única sólución real. 6.3.- Separar en intervalos las raíces de las siguientes ecuaciones: a) 2x3 + 3x2 ¡ 72x + 12 = 0 b) xlnx = 1 c) ex + x = 0 d) x ¡ x2 ¡ ln (x + 1) = 0 6.4.- Determinar la imagen de la función f : [0; 2] ¡!IR dada por: f(x) = 3x4 ¡ 8x3 ¡ 6x2 + 24x + 1 6.5.- Determinar la imagen de las siguientes funciones en el conjunto de números reales indicado: x2 i) f (x) = 2 en IR x +3 2 ii) f (x) = en IR 1 + ejxj 6.6.- Establecer las desigualdades a b b 1 ¡ · log · ¡1 b a a 2 donde los números a; b veri…can 0 < a · b: Aplicar este resultado para 1 1 probar que el log 1; 2 está comprendidio entre y : 5 6 Indicación: Utilizar el teorema del valor medio de Lagrange a la función f (x) = log x en el intervalo cerrado [a; b] : 6.7 Aplicar el teorema del valor medio de Cauchy a las funciones f (x) =senx; y g (x) = cos x · ¸ ¼ 3¼ en el intervalo ; : Además hallar el valor o valores del ”punto in4 4 termedio”. 6.8.- Calcular los siguientes límites: p tagx x i) lim viii) lim ( x) x!0 x + senx x!0 1 ii) lim (x ¢ ln x) ix) lim (1 ¡ e2x) ln 2x x!0 x!0µ ¶ x2 x + 3 5x+2 iii) lim x) lim x!0 1 ¡ cos 3x x!0 µ x + 4 ¶x x ¢ sen4x x+1 iv) lim xi) x!1 lim x!0 1 ¡ cos 3x x³¡ 1 ´ ln x 1 v) lim xii) x!1 lim x a x ¡ 1 2 x!1 1 ¡ x Ãs ! x +1 ln vi) lim x2 ¢ ln x 1¡x x!0 x ¢ arcsenx xiii) lim x!0 vii) lim x x!0 1 ¡ cos 2x 6.9.- Calcular: µ 1 1 ¶ i) lim ¡ (Utiliza, cuando veas conveniente, la fórnula del x!0 x2 sen2x seno del ángulo doble, para simpli…car el cálculo antes de derivar) µ ¼ ii) lim (e ¡ 1) ¢ tg +x x!0 2 x 0 ¶ 1n µ 1 1¶ a n + bn A x iii) n!1 lim @ (Utiliza la equivalencia ln a x +b » 2 2 x ! 1 cuando lo veas oportuno) 1 1 6.10.- Calcular los siguientes límites: 1 1 a x +b x 2 ¡ 1 con 3 tg 2x a) lim (tg x) x!0 b) lim+ x!0 µ ¶ tg x 1 x 6.11.- Utilizar equivalencias para calcular los siguientes límites: à a) x!1 lim x ln c) x!1 lim à s x+a x¡a 1 sen2 b) x!1 lim p p x x ( 2 ¡ 1)( x2 + 1 ¡ x) ! 2x2 ¡ 3 x2 ¡ 3x + 5 x + 1 1 + ln x2 ¡ 9 ! 1¶ (3x + 1) 1 ¡ cos x¶ d) x!1 lim µ 1 (x2 ¡ 2) ln 1 + 2 x 2 µ 6.12.- Ordenar, según potencias de (x ¡ 2) ; el polinomio f (x) = x3 + 4x2 ¡ 5x + 8, mediante la fórmula de Taylor. 6.13.- Escribir la fórmula de Taylor de segundo orden de f (x) =sen2 x en el punto x0 = 0: 6.14.- Hallar, mediante el polinomio de Taylor de orden 3 en el punto x0 = 1, el valor de e1;01 y calcular el error máximo cometido. 6.15.- Calcular el valor de ln 1; 25 con error inferior a 10¡6. 6.16.- Estudiar y representar las siguientes funciones: x3 ¡ x2 ¡ x + 1 (a) y = x4 ¡ 18x2 + 32 (e) y = x2 + 1 2 x ¡ 4x + 5 (b)y = (f) f (x) = (x ¡ 1) ex x¡2 s x2 ¡ 5x + 4 x2 (x ¡ 3) (c) y = 2 (g) y = 2 x + 5x + 4 x 1 à ¡ ! 3 x x2 (x ¡ 3) (d) y = (h) y = Ln x¡3 x2 ¡ 1 1 6.17.- Representar (sin estudiar la curvatura) la función: f(x) = x e + e¡x