Teoremas sobre diferenciabilidad de funciones.

Teoremas sobre diferenciabilidad de funciones.
◦
Sea la función f : D → R, D ⊂ Rn . Sea ~a ∈D.
∂f
en
1) Condición suficiente de diferenciabilidad: Si f tiene derivadas parciales
∂xi
un entorno de ~a y son continuas en ~a, entonces f es diferenciable en ~a.
Nota 1a. Si una función tiene derivadas parciales continuas se dice que f ∈ C 1 .
Nota 1b. Basta que las n derivadas parciales existan en un entorno de ~a y n − 1
sean continuas en ~a, para que f sea diferenciable en ~a.
2) Condición necesaria de diferenciabilidad: Si f es diferenciable en ~a, sus derivadas direccionales en ~a existen y -como se demostró en clase- toman el valor
df
Dω~ f (~a) = ~g t · ω
~ siendo ~g t =
d~x ~x=~a
Nota 2a. Las derivadas direccionales dependen en general de la dirección (no
como los lı́mites direccionales de funciones continuas). Si una función diferenciable
alcanza un extremo en un punto interior al dominio, sus derivadas direccionales
en dicho punto son nulas.
Nota 2b. La existencia de derivadas direccionales no implica la diferenciabilidad.
3) Si f es diferenciable en un punto, es continua en dicho punto, pero no viceversa.
Tomando lı́mites en la condición de diferenciabilidad se obtiene lı́m f (~x) = f (~a).
~
x→~a
Nota 3. La existencia de derivadas direccionales, que no asegura la diferenciabilidad, tampoco asegura la continuidad. Si f admite derivada en una dirección, el
lı́mite de f en ~a coincidirá con f (~a) sólo en esa dirección.
4) Ejemplos. Sean las funciones de dos variables f1 , f2 y f3 :
 2
( xy
 xy
(x,
y)
=
6
(0,
0)
2
2
, f3 = x + y
f1 = x2 + y 2 , f2 = x2 + y 2
0
0
(x, y) = (0, 0)
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0).
Se pide comprobar que:
a) f1 cumple la condición suficiente de diferenciabilidad en P (1, 1), luego es diferenciable en dicho punto y cumple en él la condición necesaria de diferenciabilidad.
b) f2 tiene derivadas direccionales en el origen, pero no cumple en él la condición
necesaria de diferenciabilidad, por lo que no es diferenciable en el origen.
c) f3 tiene derivadas parciales en el origen, pero no es continua en dicho punto.