Tema 8.- Dominios eucl´ıdeos. Enteros de Gauss.

Tema 8.8.1
Dominios euclı́deos. Enteros de Gauss.
Dominios euclı́deos.
Recordamos la definición de dominio euclı́deo que ya hemos visto.
Definición 8.1.1.– Sea A un dominio de integridad. Diremos que A es un
dominio euclı́deo si existe una aplicación δ : A \ {0} → N tal que:
1. Si a, b ∈ A \ {0} y a|b, entonces δ(a) ≤ δ(b).
2. (División entera con resto respecto de δ) Dados D, d ∈ A, d = 0, existen
c, r ∈ A tales que D = dc + r y r = 0 o bien δ(r) < δ(d).
Proposición 8.1.2.– Sea (A, δ) un dominio euclı́deo.
1. Si u es una unidad de A, δ(u) es el valor mı́nimo de δ.
2. Si a, b ∈ A \ {0} son asociados, entonces δ(a) = δ(b).
3. Si a, b ∈ A \ {0}, a|b y δ(a) = δ(b), entonces a y b son asociados.
4. Un elemento a ∈ A \ {0} es una unidad, si y sólo si δ(a) = δ(1).
Prueba: La primera afirmación es consecuencia inmediata de que una
unidad divide a todo elemento, y de la primera condición de dominio euclı́deo.
La segunda afirmación es trivial. Para la tercera afirmación, dividimos a por
b: a = cb + r. Si r = 0, entonces δ(r) < δ(b). Como a|b, existe a ∈ A tal
que b = a a. Por tanto r = a − cb = (1 − ca )a, por lo que δ(a) ≤ δ(r),
que contradice la hipótesis. Por ello r = 0, y b|a como querı́amos. La última
afirmación es consecuencia fácil de las anteriores.
✷
√
Un ejemplo de dominio es A = Z[ m] ⊂ C, con m entero libre de cuadrados.
En ellos podemos definir una aplicación “norma”, que verifica siempre la primera
condición de dominio euclı́deo, y en algunos casos también la segunda:
√
√
√
N : A → N, con N (a + b m) = |(a + b m)(a − b m)| = |a2 − mb2 |.
Proposición 8.1.3.– N verifica las siguientes propiedades:
√
1. N (xy) = N (x)N (y) para todo x, y ∈ Z[ m].
√
2. Si u ∈ Z[ m], N (u) = 1 si y sólo si u es una unidad.
√
3. Si x, y ∈ Z[ m], x|y y N (x) = N (y), si y sólo si x e y son asociados.
√
4. Si x ∈ Z[ m] y N (x) es un número primo, entonces x es irreducible.
La demostración es un fácil ejercicio.
Nota 8.1.4.–
1
√
1. Con las propiedades anteriores, es un ejercicio elemental probar que Z[ −3]
no es DFU, puesto que
elemento irreducible, pero no primo, ya
√ 2 es un √
que divide a 4 = (1 + −3)(1 − −3), pero no divide a ningún factor.
2. El caso m = −1 es el del anillo de los enteros de Gauss, Z[i], que es
dominio euclı́deo, cuando definimos una división entera en él.
Sean x, y ∈ Z[i], b = 0. Entonces el cociente complejo de x y y es u +
vi ∈ C, con u, v ∈ Q. Sean m, n ∈ Z unas aproximaciones enteras que
redondean u, v, es decir tales que
1
1
y
|n − v| ≤ .
2
2
Entonces r = x − (m + ni)y ∈ Z[i]. Por la elección anterior, se tiene que
r = y[(u − m) + i(v − n)], por lo que N (r) ≤ 12 N (y) < N (y). Se tiene ası́
que
x = (m + ni)y + r, con N (r) < N (y),
|m − u| ≤
por lo que Z[i] queda dotado de estructura de dominio euclı́deo, con la
norma N como aplicación δ.
√
3. De un modo análogo se podrı́a dotar a Z[ 2] de una estructura de dominio
euclı́deo.
Definición 8.1.5.– Un dominio A se dice de ideales principales, (DIP), cuando
todos sus ideales lo son.
El resultado siguiente nos da una gran cantidad de ejemplos.
Proposición 8.1.6.– Todo dominio euclı́deo es un dominio de ideales principales.
Prueba: Sea (A, δ) un dominio euclı́deo, e I un ideal no nulo de A. Sea
a ∈ I \ {0} un elemento con δ(a) mı́nimo. Vamos a probar que I = (a). Una
inclusión es clara. Recı́procamente, sea b ∈ I, que dividimos por a, obteniendo
b = ca+r. Si r no es cero, como está en I y δ(r) < δ(a), llegamos a contradicción
con la elección de a. Por tanto r = 0, y se tiene lo deseado.
✷
No es cierto el recı́proco.
Hay dominios de ideales principales que no son
√
1+ −19
euclı́deos, como Z[ 2 ], pero esta comprobación es bastante difı́cil.
Z[X], con X una variable, es un ejemplo de un dominio que no es DIP. Para
ello verifı́quese que (2, X) no es un ideal principal en Z[X].
8.2
Factorización.
El resultado fundamental de esta sección es el siguiente:
Teorema 8.2.1.– Todo DIP es un DFU.
Definición 8.2.2.– Se dice que un anillo A verifica la condición de cadena
ascendente para ideales (o, brevemente, la CCA) si toda cadena estrictamente
creciente de ideales de A
I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ . . .
2
es finita. Equivalentemente, toda cadena ascendente infinita de ideales
I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ . . .
es estacionaria, es decir, existe un entero n > 0 tal que Ij = In , para todo j ≥ n.
Proposición 8.2.3.– Sea A un DIP; entonces verifica la CCA.
Prueba: Sea
I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ . . .
una cadena ascendente de ideales, y sea
Ij
I=
j≥1
la unión de todos ellos; entonces I es un ideal. En efecto, sean a, b ∈ I, digamos
a ∈ Ij y b ∈ Ik . Si, por ejemplo, k ≥ j, entonces a, b ∈ Ik , luego a − b ∈ Ik ⊆ I.
Si a ∈ I, digamos a ∈ Ij , y x ∈ A, entonces ax ∈ Ij ⊆ I. Ahora bien, el ideal
I es principal; escribamos I = Ad. Entonces d ∈ In para un cierto n, luego
In = I. Ası́, para todo j ≥ n es Ij = I = In . Esto prueba la proposición.
✷
Proposición 8.2.4.– Sea A un DIP; entonces A verifica la condición (DFU1).
Prueba: Sea a una no unidad distinta de cero. Tenemos que probar que a
se descompone en producto finito de elementos irreducibles. Si a es irreducible,
no hay nada que probar. Si a no es irreducible, se puede escribir a = bc donde b
y c no son asociados de a, ni unidades. Ası́ Aa ⊂ Ab y Aa ⊂ Ac. Repitiendo el
razonamiento con b, por ejemplo, y ası́ sucesivamente, la CCA implica que este
proceso es finito, lo que nos lleva a que a debe tener un divisor irreducible p1 .
Entonces
a
Aa ⊂ A .
p1
Si a1 = a/p1 es irreducible, entonces a = a1 p1 es una descomposición factorial
de a, y nuestra demostración habrá concluido. Supongamos que a1 no es irreducible. Aplicando a a1 = a/p1 el mismo razonamiento, llegamos a la existencia
de un divisor irreducible p2 de a1 , y a una terna
Aa ⊂ Aa1 ⊂ Aa2 ,
con a1 = p2 a2 . Por CCA, este proceso debe tener un fin, es decir, debe existir
un entero positivo n tal que a/(p1 · · · pn−1 ) = pn sea irreducible. Ası́ a =
✷
p1 · · · pn−1 pn , lo que prueba la proposición.
Proposición 8.2.5.– (Identidad de Bezout) Sea A un DIP, y sean a, b ∈ A dos
elementos no nulos. Entonces existe un elemento d = αa + βb con α, β ∈ A, tal
que d = mcd(a, b).
3
Prueba: Sea (a, b) el ideal engendrado por a, b; entonces existe d ∈ A tal
que (a, b) = Ad. Como Aa ⊆ Ad y Ab ⊆ Ad, es d|a y d|b. El hecho de que
d = mcd(a, b) viene, ahora, de que d es de la forma d = αa + βb.
✷
La demostración del teorema 8.2.1 termina con la siguiente
Proposición 8.2.6.– Sea A un DIP; entonces A verifica (DFU3).
Prueba: Sea p ∈ A, irreducible, con p|ab, y supongamos que p no divide
a a. Entonces 1 = mcd(a, p) y, por la proposición anterior, 1 = αa + βp. Ası́,
b = αab + βbp, de donde se deduce que p|b. Esto prueba la proposición.
✷
Nota 8.2.7.– En el caso de un dominio euclı́deo A, se puede generalizar el
algoritmo de Euclides para Z, de cálculo del máximo común divisor de dos
elementos a, b ∈ A \ {0}:
Se construye la sucesión r0 , r1 , r2 , . . . , rn , poniendo r0 = a, r1 = b, y para
cada j ≥ 2, rj es el resto de dividir rj−2 por rj−1 . El proceso acaba alcanzando
el cero en cierto rn . Entonces rn−1 = mcd(a, b). La validez del algoritmo se
basa en dos cuestiones. Por una parte mcd(ri , ri+1 ) = mcd(ri+1 , ri+2 ), para
cada i = 0, . . . , n − 3, y por otra que el algoritmo debe acabar puesto que δ va
decreciendo en la sucesión creada.
8.3
Enteros de Gauss
En esta sección vamos a estudiar el primer ejemplo no inmediato de divisibilidad.
Definición 8.3.1.– El anillo de los enteros de Gauss es el subanillo Z[i] ⊂ C
definido por
Z[i] = {a + bi ∈ C | a, b ∈ Z}
Queremos describir los elementos irreducibles de Z[i]. Ya sabemos que los
enteros de Gauss de norma prima son irreducibles, pero queremos calcularlos
todos. Vamos a ver un resultado previo que es de interés por sı́ mismo.
Proposición 8.3.2.– Sea K un cuerpo. Todo subgrupo finito de K∗ es cı́clico.
Prueba: Sea G ⊂ K∗ subgrupo finito. Elegimos x ∈ G de orden maximal
a = o(x). Sea y ∈ G, de orden b. Entonces o(xy) = mcm(a, b) ≤ a. Entonces
b divide a a. Esto significa que g a = 1 para cualquier g ∈ G. Sea |G| = m.
Todo elemento de G es raı́z del polinomio X a − 1, por lo que m ≤ a. Por otro
lado, para cada g ∈ G, el orden de g divide a m. En particular, a divide a m, y
tenemos a = m.
✷
Proposición 8.3.3.– Sea p ∈ Z+ primo. Las condiciones siguientes son equivalentes:
1. p no es irreducible en Z[i].
2. p es suma de dos cuadrados.
4
3. p = 2 o p ≡ 1( mod 4).
Prueba:
1 ⇒ 2. Si p = (a + bi)(c + di), con ambos factores no unidades, se tiene que
N (a + bi) > 1 y N (c + di) > 1. Tomando normas al principio: p2 = N (p) =
(a2 + b2 )(c2 + d2 ). Como p es primo, se tiene que p = a2 + b2 .
2 ⇒ 3. Se deduce de observar que, si a ∈ Z, a2 ≡ 0, 1( mod 4).
3 ⇒ 1. Como 2 = (1 + i)(1 − i), basta considerar el caso p ≡ 1( mod 4).
Tenemos que (Z/Zp)∗ es cı́clico de orden 4k, por lo que contiene un subgrupo
de orden 4 igual a {1, α, α2 , α3 }. Como 0 = α4 − 1 = (α2 − 1)(α2 + 1), resulta
que la ecuación X 2 + 1 tiene solución en Z/Zp. Sea u un representante de una
solución. Entonces u2 + 1 = (u + i)(u − i) = kp para algún k ∈ Z. Si p fuese
primo en Z[i], entonces p divide a u+i o p divide a u−i. Si unificamos, llegamos
a que existe m, n ∈ Z tales que
u ± i = p(m + +ni)
y comparando las partes imaginarias nos queda pn = ±1, que contradice el
carácter primo de p en Z. Por tanto, p divide a un producto en Z[i] pero no
divide a ninguno de sus factores.
✷
Corolario 8.3.4.– Un número primo p ∈ Z+ es irreducible en Z[i] si y sólo
si p ≡ 3( mod 4).
Veamos finalmente que ya hemos descrito todos los numeros irreducibles de
Z[i].
Proposición 8.3.5.– Un entero de Gauss es irreducible si y sólo si es de una
de las dos formas siguientes:
1. Es asociado de un número primo p > 0, con p ≡ 3( mod 4), i.e. p, −p,ip,
−ip.
2. Tiene norma prima.
Prueba: Queda probar que si z = a + bi ∈ Z[i] es irreducible, entonces es
de una de las formas enunciadas. Si a = 0 o b = 0, entonces z es asociado con
p.
Si a = 0 y b = 0, entonces N (z) = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi) es una
descomposición en factores irreducibles. Por ser Z[i] un DFU, N (z) debe ser un
número primo, porque en otro caso una descomposición en Z serı́a distinta de
la anterior.
✷
8.4
Sumas de cuadrados.
Enunciamos un problema de Diofanto (250 d.C.): ¿cuándo un número entero
es suma de dos cuadrados? ¿de tres cuadrados? ¿de cuatro cuadrados?...
5
Nota 8.4.1.– Para cada a, b, c, d ∈ Z se tiene que
(a2 +b2 )(c2 +d2 ) = N (a+bi)N (c+di) = N ((a+bi)(c+di)) = (ac−bd)2 +(ad+bc)2 .
Teorema 8.4.2.– (Fermat-Euler 1749). Un entero positivo n es suma de dos
cuadrados, si y sólo si sus factores primos congruentes con 3 módulo 4, aparecen
en la factorización de n con exponentes pares.
Prueba: Sea n = m2 q, de modo que los factores primos de q son 2 o
congruentes con 1 módulo 4. Por la proposición 8.3.3 y la nota anterior, se tiene
que n es suma de dos cuadrados.
Recı́procamente, supongamos que n = a2 + b2 . La descomposición en Z[i]
en factores irreducibles de a + bi será, por la proposición 8.3.5,
a + bi = up1 · · · pr (c1 + d1 ) · · · (cs + ids ),
donde u es una unidad, p1 , . . . , pr ∈ Z son números primos, con pi ≡ 3( mod 4),
para i = 1, . . . , r, y cj + idj ∈ Z[i] son elementos de norma c2j + d2j , para
j = 1, . . . , s, que por la proposición 8.3.3 no puede ser congruente con 3 módulo
4. Conjugando la expresión anterior, se obtiene una descomposición de a − bi,
y multiplicándolas, queda:
n = (a + bi)(a − bi) = p21 · · · p2r (c21 + d21 ) · · · (c2s + d2s ),
✷
que verifica lo enunciado.
Enunciamos sin demostrar los siguientes teoremas. La demostración del
primero puede verse en el libro de Delgado-Fuertes-Xambó varias veces citado.
Teorema 8.4.3.– (Fermat-Lagrange 1770). Todo entero positivo es suma de
cuatro cuadrados.
Teorema 8.4.4.– (Waring-Hilbert 1909). Para cada número natural q existe
otro wq tal que todo entero positivo n es suma de wq potencias q-ésimas:
n = aq1 + · · · aqwq .
Se sabe, por ejemplo que w2 = 4, w3 = 9 o que w4 = 19 (1986).
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