Funciones 2

Funciones 2
FUNCIÓN LINEAL
INTRODUCCIÓN
Observamos que:
 La longitud que se alarga un resorte es proporcional a la fuerza
que se hace para alargarlo.
 El dinero que se debe pagar por un crédito en un banco es
proporcional a la cantidad de dinero que el banco ha prestado, y
también es proporcional al tiempo durante el cual lo ha prestado.
 Las dosis de muchas medicinas son proporcionales al peso del
enfermo.
El valor de b recibe el nombre de ordenada en el origen, b es la
ordenada del punto en el que la recta y = mx + b corta al eje OY, es
decir, aquel que tiene por abscisa x = 0.
Es conveniente mostrar a los estudiantes las variantes de esta función.
Veamos:
- Si m = 0 y b ≠ 0 entonces se dirá que es una función
constante:
f :R →R / f (x) = b
- Si m ≠ 0 y b = 0 entonces se dirá que es una función
afín:
f : R →R / f (x) = mx
En la naturaleza y en la vida diaria hay gran cantidad de fenómenos que
se comportan de esta misma manera. Esto explica el interés por el
estudio matemático de la función de proporcionalidad, caso particular
de la función lineal, y por su representación gráfica, la recta.
- Si m = 1 y b = 0 entonces se dirá que es la función
identidad:
f : R →R / f (x) = x
FUNCIÓN LINEAL
- Si m > 0 entonces se dirá que es una función lineal
creciente.
La función lineal está definida por:
f:R
R / f(x)  mx  b
El valor de m (es decir, del coeficiente de x) recibe el nombre de
pendiente. La pendiente mide la inclinación de la recta con respecto al
eje de abscisas. Así, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada está la
recta.
Profesor: Javier Trigoso
- Si m < 0 entonces se dirá que es una función lineal
decreciente.
Veamos algunos ejemplos:
Página 1
Funciones 2
Función
Gráfica
Pendiente
Ordenada
en el
origen
m = 2
b = -2
Por el contrario, en el último ejemplo, la recta es decreciente. En este
caso, a medida que aumentan los valores de x disminuyen los valores de
y, es decir, a medida que se avanza en la horizontal se produce una
disminución de la vertical, siendo entonces la pendiente negativa.
f(x) = 2x – 2
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
-6
-4
-2
0
2
01. La gráfica de la función lineal f(x) = 3x + 5 no pasa por el:
A. III cuadrante
B. IV cuadrante
C. II cuadrante
D. I cuadrante
02. Si f(x) = mx + b es una función lineal tal que f(0) = 7 y f(1) = 11,
halla m – b.
A.-3
B. -2
C. 0
D. 3
f(x) = -3x + 1
x
f(x)
-2
-1
0
1
2
7
4
1
-2
-5
m = -3
b = 1
En el primer ejemplo, la recta es creciente. Observa que a medida que
aumentan los valores de x aumentan también los valores de y, es decir, a
medida que se avanza en la horizontal se produce un aumento de la
vertical, siendo entonces la pendiente positiva.
Profesor: Javier Trigoso
… PARA LA CLASE
03. Sea la función lineal f(x) = mx + b cuyos pares ordenados son:
(5; 12) y (2; 3). Halla f(-1)
A. -9
B. -6
C. -3
D. 0
04. Si f es una función lineal tal que f(2) = 2f(1) + 2 si además
f(5) = 3f(-1) + 5, halla f(8)
A. -4
B.-1
C. 3
D. 5
Página 2
Funciones 2
05. Si f es una función lineal de pendiente 8 e intercepto con el eje Y,
5. Halla el valor de f(-1) + f(0) + f(1)
A.0
B. 10
C.15
D. 18
C. I y II
06. Si f es una función lineal que pasa por los puntos (1; -2), (-1; 8) y
(3; a). Señala el valor de “a”
A.-12
B. -9
C. 9
D. 12
01.
La gráfica de la función de lineal f(x) = -x + 5 no pasa por el:
A. I cuadrante
B. II cuadrante
C. III cuadrante
D. IV cuadrante
07. Halla el área de la región limitada por la recta 2x - y = 12 y los ejes
de coordenadas cartesianas.
A. 12 u2
B. 18 u2
2
C. 24 u
D.36 u2
08. Si 3x + 2y – 8 = 0, representa una función lineal. Halla la pendiente
y la ordenada en el origen.
A. 3/2; -4
B.-3/2; 4
C. 2/3; -4
D. -2/3; 4
09. Halla el área de la región triangular limitada por las funciones:
f(x) = -x + 11; g(x) = x - 3 y el eje de ordenadas.
A. 28 u2
B. 32 u2
2
C. 40 u
D.49 u2
10. Dada la siguiente gráfica de una función
f, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I. La pendiente es negativa.
II. Si f(x) = mx + b, entonces b = 3
III. f(0) = 4
A. Solo I
B. Solo II
Profesor: Javier Trigoso
D. Todas
… PARA LA CASA
02.
A.
Graficar: f(x) = 5x + 1
B.
y
y
x
x
C.
D.
y
x
y
x
03.
Encuentra el área de la región triangular limitada por la función
f(x) = 2x – 8 y los ejes de coordenadas cartesianas.
A. 4 u2
B. 8 u2
C. 12 u2
D.16 u2
04.
Si f es una función lineal de pendiente 8 e intercepto con el eje
Y, 5. Halla el valor de f(-1) + f(0) + f(1).
A.0
B. 10
C. 15
D. 18
Página 3
Funciones 2
05.
Si f es una función lineal tal que f(1) = 17 y f(–1) = –5. Halla la
pendiente de dicha función.
A. 5
B. 6
C. 11
D. 12
06.
Encuentra la ecuación de la recta
que se muestra en la figura:
A. y 
x
2
2
C. y 
x
2
2
x
1
2
x
D. y   1
2
B. y 
07.
Encuentra la pendiente de la función lineal f(x), si se sabe que:
f(2) = 7 y f(-3) = -8
A.-3
B. -1
C. 1
D. 3
08.
Sea la función lineal f(x) cuyos pares ordenados son: (5; 12) y
(2; 3). Halla f(-1)
A. -9
B.-6
C. -3
D. 0
09.
Halla la función lineal f(x), tal que f(0) + f(1) = 0 y f(-1) = 3.
A.-2x + 1
B. -x + 1
C. x + 1
D. 2x + 1
10.
Halla la función lineal que pasa por los puntos (-1; 3) y (2; 0)
A. -2x + 2
B.-x + 2
C. x + 2
D. 2x + 2
Profesor: Javier Trigoso
11.
Sea f una función lineal afín de pendiente -3 que pasa por el
punto (4;-1). Determina f(-2).f(0)
A. 11
B. 17
C. 187
D. 178
12.
Si 3x + 2y – 8 = 0, representa una función lineal. Halla la
pendiente y la ordenada en el origen.
A. 3/2; -4
B.-3/2; 4
C. 2/3; -4
D. -2/3; 4
13.
Sean f y g dos funciones lineales afines, tales que f(x) = ax + 3 y
g(x) = bx + a. Si f(2) = 13 y g(1) = 8 Encuentra el punto de intersección
de ambas rectas.
A. (-1; 8)
B.(1; 8)
C. (1; -8)
D. (8; 1)
14.
Si f(x) es una función lineal que pasa por los puntos (4; 7) y (5;
g(4)), siendo g(x) = 2x + 2. Halla el punto de intersección de f(x) y g(x)
A. (3; 5)
B. (7; 16)
C. (8; 10)
D. (9; 15)
15.
Si f(x) = mx + b es una función para la cual se cumple:
I. f(3) – f(1) = 1
II. Su gráfica pasa por el punto (2; -1)
Halla m + b
A. -1
B.-1/2
C. -3/2
D. 2
16.
Halla el área de la región limitada por las rectas x + y = 11;
x – y = 3 y el eje de ordenadas.
A. 25 u2
B. 30 u2
2
C. 35 u
D.40 u2
Página 4
Funciones 2
17.
Encuentra una función lineal f(x) tal que f(1) = 0 y además
f(f(4)) = 4
4
4
4
4
A. f(x)  x 
B. f(x)  x 
3
3
3
3
4
4
C. f(x)  x  1
D. f(x)  x  1
3
3
EJEMPLO
18.
La función lineal f(x) = mx + b, corta a los ejes coordenados
formando en el segundo cuadrante un triángulo de área 3u2. Si f(3) = 4,
calcula el valor de m - b
A. -4/3
B. -3/2
C. 3/2
D. 4/3
EL MODELO MATEMÁTICO Y LAS FUNCIONES
Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto
de vista de la Matemática, de una situación del mundo real en la que se
involucren magnitudes, como por ejemplo: el crecimiento de la población
en función del tiempo, el costo de los arbitrios municipales en función
del costo real del inmueble, el costo del agua en función del volumen
consumido, la subida de peso en función de las calorías consumidas al
día, la talla de las personas en función de la edad. El objetivo del modelo
matemático es entender ampliamente la situación real y tal vez predecir
su comportamiento en el futuro.
A través del modelo matemático de una situación real se pueden
obtener relaciones funcionales expresadas en forma algebraica, con la
posibilidad de generalizar lo observado en otras situaciones similares.
Profesor: Javier Trigoso
Página 5
Funciones 2
… PARA LA CLASE
01. Por el alquiler de un auto cobran 100 soles diarios más 0,30
centavos por kilómetro recorrido. Encuentra la ecuación de la recta que
relaciona el costo diario con el número de kilómetros y represéntala.
A. y = 0,3x - 100
B.y = 0,3x + 100
C. y = 100x + 0,3
D. y = 100x - 0,3
02. Tres kilos de peras nos han costado S/.4,5 y, por siete kilos,
habríamos pagado S/.10,5 . Encuentra la ecuación de la recta que nos da
el precio total, y, en función de los kilos que compremos, x.
A. y = 0,5x
B.y = 1,5x
C. y = x
D. y = 2,5x
03. En el ejercicio anterior, ¿cuánto costarían 5 kg de peras?
A. S/.5,5
B. S/.6,5
C.S/.7,5
D. S/.9,5
04. Un técnico de reparaciones de computadoras cobra S/.25 por la
visita, más S/.20 por cada hora de trabajo. ¿Cuánto tendríamos que
pagar por un trabajo que le ha tomado 3 horas?
A. S/.55
B. S/.65
C. S/.75
D. S/.85
06. Una pulsera de plata antigua comprada hoy en $2 000
aumenta su valor linealmente con el tiempo, de modo tal
que a los 15 años valdrá $2 300. Escribe la fórmula que
expresa el valor V de la pulsera en función del tiempo.
A. V(t) = 20t
B. V(t) = t + 2 000
C.V(t) = 20t + 2 000
D. V(t) = 20t + 2 300
07. Durante 48 días se realizó un experimento con
pollitos. Se determinó que durante ese lapso, el peso
promedio es una función lineal del número de días
transcurridos. Sabiendo que el peso promedio al inicio
del experimento fue de 45 gramos y que 26 días
después fue de 227 gramos. Determina la fórmula de dicha función
lineal.
A. P(t) = 7t – 45
B. P(t) = 7t + 45
C. P(t) = 45t + 7
D. P(t) = 45t – 7
08. En el problema anterior, ¿cuál es el peso promedio de los pollitos a
los 35 días?
A. 250 g
B. 270 g
C. 275 g
D.290 g
05.
El precio de un viaje en tren depende de los kilómetros
recorridos. Por un trayecto de 140 km pagamos 17
soles, y si recorre 360 km, cuesta 39 soles Escribe la
ecuación de la recta que relaciona los kilómetros
recorridos, x, con el precio del billete, y.
A.y = 0,1x + 3
B. y = 0,3x + 1
C. y = 0,1x – 3
D. y = 0,3x – 1
Profesor: Javier Trigoso
Página 6
Funciones 2
… PARA LA CASA
A. S/.100
C. S/.114
01.
Un auto comprado hoy en $8 000 disminuye
su valor lineal mente a lo largo del tiempo
transcurrido a partir de su compra. Si al cabo de 2
años de su uso su precio será de $6 500. ¿A cuánto
podrá venderlo luego de 5 años de uso?
A. $ 4 750
B.$ 4 250
C. $ 4 150
D. $ 4 050
05.
02. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm,
se ha observado que s u crecimiento es directamente
proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana
ha pasado a medir 2,5 cm. Establece una función lineal
que dé la altura de la planta en función del tiempo.
A.y = 0,5x + 2
B. y = 0,5x – 2
C. y = 2x + 0,5
D. y = 2x - 0,5
03.
El precio del pasaje en una empresa de
transporte depende linealmente de los kilómetros
recorridos. Por 57 km he pagado 32 soles, y por 168
km, 87,5 soles. Calcula el precio del pasaje para una
distancia de 100 km.
A. S/.28,50
B. S/.34,50
C. S/.43, 50
D.S/.53,50
04. La factura de energía eléctrica de una familia ha
sido en el mes de noviembre S/.95 por 375 kW h de
consumo, y en enero S/.130,4 por 552 kW h. Si el pago
depende linealmente de la cantidad de energía consumida,
¿cuánto tendrá que pagar si consumen 420 kW h?
Profesor: Javier Trigoso
B.S/.104
D. S/.140
En una heladería, A, venden el helado a S/.5 el litro y cobran
S/. 1 por un envase, sea del tamaño que sea. En otra
heladería, B, cobran S/. 0,5 por un envase y S/. 6 por
cada litro de helado. Analiza cuál de las dos ofertas es
más ventajosa si compramos más de medio litro de
helado.
A. Heladería A
B. Heladería B
C. Cualquiera de las dos
D. Ninguna
06.
En el contrato de trabajo, a un vendedor de libros
se le ofrecen dos alternativas:
A: Sueldo fijo mensual de 1 000 soles.
B: Sueldo fijo mensual de 800 soles más el 20% de las
ventas que haga. ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas
para ganar lo mismo con las dos modalidades del contrato?
A. 500 soles
B. 750 soles
C.1 000 soles
D. 1 250 soles
07.
La dosis en miligramos (mg) de antibiótico que se suministra a
niños menores de 10 años, depende en forma lineal del
peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministran 40
mg y para uno de 4 kg se suministran 65 mg. Calcula la
función que da la dosis de medicamento dependiendo
del peso. ¿Cuánto debe recetarse a un niño de 7,5 kg?
A. 167,5 mg
B. 162,5 mg
C. 157,5 mg
D.152,5 mg
Página 7
Funciones 2
08.
A medida que el aire seco asciende, se expande y se enfría. Si la
temperatura del suelo es de 20°C y la temperatura a una altura de 1 km
es 10°C, expresa la temperatura T (en °C) en términos de la altura h (en
kilómetros). (suponga que la relación entre T y h es lineal)
A. T(h) = -10h
B. T(h) = 10h - 20
C.T(h) = -10h + 20
D. T(h) = -10h - 20
09.
En el ejercicio anterior, ¿cuál es la temperatura a una altura de
2,5 km?
A. -10°C
B. -5°C
C. 5°C
D. 10°C
10.
Esta tabla muestra lo que cuesta imprimir una hoja publicitaria
en una imprenta:
N° de ejemplares
50
100
200
500
Costo ($)
2,25
3
4,5
9
Halla la expresión analítica de la función número de ejemplares-costo.
A. y = 0,15x + 1,5
B.y = 0,015x + 1,5
C. y = 15x + 0,015
D. y = 1,5x + 0,15
11.
Algunos científicos opinan que la temperatura superficial
promedio del mundo está aumentando en forma
constante. La temperatura superficial promedio se
expresa mediante:
T  0, 02t  8,50
Donde T es la temperatura en °C y t es años desde 1
900. Utiliza la fórmula para predecir la temperatura promedio
superficial del mundo en 2 100.
A. 11,5
B.12
C.12,5
D.13
Profesor: Javier Trigoso
12.
Félix tiene una receta de brownies que dice “Hornear a 350° F
por 40 minutos”. ¿Qué temperatura de las cuatro que indica el
regulador de su horno, debe seleccionar para hornear los brownies?
A. 150° C
B. 175° C
C. 250° C
D. 300° C
13.
La relación que Félix empleó debe ser la correcta pues los
brownies le salieron buenísimos. La aplica de nuevo para encontrar la
temperatura en Fahrenheit a la que debe estar la leche fresca que dice
“Conservar a 4° C” en la refrigeradora. ¿A qué nivel debe ajustar Félix
el termostato de su refrigeradora?
A. (45-50)°F
B. (40-45)°F
C. (35-40)°F
D. (30-35)°F
14.
La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit (°F) y en
grados Celsius (°C) está dada por la función lineal T F = a.TC +
b. La temperatura de solidificación del agua es TF = 32° y TC
= 0°. Su temperatura de ebullición es TF = 212° y TC = 100°.
¿Cuántos grados Fahrenheit equivalen a 20°C?
A. 28°F
B. 48°F
C.68°F
D. 58°F
15.
El consumo de gas domiciliario tenía en el año
2 010 la siguiente tarifa bimestral: cargo fijo $7,30 y
$0,12 por metro cúbico consumido. En el año 2 011 hubo un
incremento del 30% en el cargo fijo y de un 25% en el costo
por metro cúbico. Determina cuanto debe abonar una
familia que en el tercer bimestre del 2 011 consumió 112
metros cúbicos.
A. $9,49
B. 16,8
C.$26,29
D. $35,78
Página 8
Funciones 2
Es conveniente mostrar a los estudiantes las variantes de esta función.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
INTRODUCCIÓN
Las relaciones entre las variables dependiente e independiente de una
función no siempre siguen una forma de crecimiento lineal. Una
modalidad común de estas relaciones es la familia de las llamadas
funciones cuadráticas, cuya representación gráfica es una parábola.
Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por
ejemplo, Física y Economía. Son útiles para describir movimientos con
aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos
de empresas, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la
experimentación.
Para dar un ejemplo, si un jugador de un
equipo de futbol patea una pelota, como se
ve en la figura, y si la resistencia del aire
y otras fuerzas externas son mínimas,
entonces la trayectoria de la pelota es una
parábola.
Si b ≠ 0 ˆ c ≠ 0  f(x) = ax2 + bx + c
Luego de completar cuadrados, se obtiene: f(x) = a(x - h)2 + k
El vértice queda definido por los
puntos: V = (h; k)
La gráfica queda determinada de la
siguiente manera:
b
b2
Siendo h  
y k  c 
2a
4a
Si una función cuadrática tiene vértice (h; k), entonces la función tiene
un valor mínimo en el vértice si la parábola se abre hacia arriba y un
valor máximo se abre hacia abajo.
La función cuadrática está definida por:
Profesor: Javier Trigoso
Si b = 0 ˆ c ≠ 0  f(x) = ax2 + c
En este caso, la gráfica quedará
determinada de la siguiente manera:
VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
f:R
Veamos:
Si b = 0 ˆ c = 0  f(x) = ax2
La gráfica quedará determinada de la
siguiente manera:
R / f(x)  ax  bx  c
2
2
Sea f una función cuadrática con forma estándar f(x)  a(x  h)  k
El valor máximo o mínimo ocurre en x = h.
Página 9
Funciones 2


Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k
Si a < 0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k
02. Halla el mayor de los coeficientes de la función cuadrática f(x), si
se sabe que f(1) = 5, f(-1) = 3y f(0) = 3
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
03. Obtén las coordenadas del vértice la parábola f(x)  2x2  12x  3
A. (3; 12)
C. (3;-15)
Veamos el siguiente ejemplo:
Función
Gráfica
Vértice
f(x) = x2 – 4x
x
0
1
2
3
4
f(x)
0
-3
-4
-3
0
B. (3; -12)
D. (3; 15)
04. Halla el valor que genera el mínimo valor de la función
f(x)  3x2  8x  3
A. -8/3
C.4/3
B. -4/3
D. 8/3
05. Si 1 es el mínimo valor de la función f(x)  x2  bx  5 , halla el
(2; -4)
valor de b
A.± 4
C. -4; 3
B. -3; 4
D. ± 3
06. Dada la función cuadrática f(x)  (x  a)2  6a . Halla el mínimo
valor de f(x), si 8a – 21 es la imagen de 2.
A. -30
B. -24
C. -18
D. -15
… PARA LA CLASE
01. La gráfica de la función f(x)  x2  3 no pasa por el:
A. I y II cuadrante
C. II y IV cuadrante
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B. I y III cuadrante
D. III y IV cuadrante
07. Una parábola corta el eje de abscisas en x = –1 y en x = 3. La
ordenada del vértice es y = –4. ¿Cuál es la ecuación de esa parábola?
A. f(x)  x2  2x  3
B. f(x)  x2  2x  3
C. f(x)  x2  2x  3
D. f(x)  x2  2x  3
Página 10
Funciones 2
08. Determina el valor de k para el cual el punto máximo de la gráfica
de f(x)  5x2  3x  2k tiene el mismo valor para las coordenadas X e
Y.
A. 3/20
C. -9/20
B. -3/10
D.-3/40
… PARA LA CASA
01.
Si el punto P (2; m) pertenece a la función cuadrática
f(x)  2x2  5x  1 . Encuentra el valor de m.
A. 11
C. 15
02.
B.13
D.17
La función f(x)  ax2  bx  a  b cumple f(0) = 12 y f(-1) = 14.
Calcula f(2)
A. 20
C. 40
03.
A. 2
D. 4
04.
B. 30
D. 50
Halla el máximo valor que puede tomar f(x)  x2  10x  21
C. 3
E. 5
Halla el menor valor entero del rango de f, f(x)  3x2  5x  2
A. -6
C.-4
Profesor: Javier Trigoso
B.-5
D. -3
05.
Halla el rango de la función definida por f(x)  4x2  16x  17
A.  1;1 
B. 1;  
C.  1;  
06.
Si 1 es el mínimo valor de la función f(x)  x2  bx  5 , halla el
valor de b
A.± 4
C. -4; 3
07.
D.  1; 

B. -3; 4
D. 4
Si el máximo valor de la función f(x)  x2  6x  m es 20. Halla
el valor de m.
A.-11
C. 10
B. -10
D. 11
08. Halla a + h, si (h; -5) es el vértice de la parábola representada por
la función f(x)  ax2  4ax  7
A. -2
C. 1
B.-1
D. 2
09.
Si la función ganancia de una empresa de ventas está dada por
G(x)  2x2  60x  1500 , “x” en soles. Encuentra la ganancia máxima.
A. 15
C. 1 650
10.
B. 1 500
E.1 950
La gráfica de la función f(x) 
2 2
x  bx  c intercepta al eje X
3
en los puntos (-2; 0) y (5; 0) y al eje Y en el punto (0; k). Entonces el
valor de b + c + k es:
A. 26/5
B. 27/2
C.-46/3
D. 9/4
Página 11
Funciones 2
11.
Si f es una función definida por f(x)  ax2  bx
cuya gráfica se muestra en la figura. Entonces el
valor de M = ab es:
A.-8
B. -6
C. 6
D. 8
12. Determina el mayor valor
entero de “n”. Si la gráfica de la función:
f(x)  x2  nx  1 , es
A. -1
C. 1
B. -2
D. 2
EL MODELO MATEMÁTICO Y LAS FUNCIONES
Hemos observado que el vértice de una parábola representa en el plano
cartesiano, un punto máximo o mínimo de la curva, dependiendo del tipo
de concavidad de la función cuadrática correspondiente. Tomando en
cuenta lo anterior y el fundamento teórico que caracteriza a las
funciones cuadráticas, veremos a continuación algunas aplicaciones de la
función cuadrática.
EJEMPLO
13.
Halla el valor de m (< 0), de
acuerdo a la gráfica de la función
f(x)  (4  m)x2  2mx  2
A. -6
C.-2
B. -4
D. 2
14.
¿Qué valores debe tomar a para que la
función f(x)  ax2  (a  3)x  1 presente la
siguiente gráfica?
A. a   0;1  9;  
C. a   ,1
Profesor: Javier Trigoso
B. a   0;9 
D. a   ;1  9;  
Página 12
Funciones 2
… PARA LA ClASE
01. Un rectángulo tiene 20 cm de perímetro. Escribe la función que da
el área de ese rectángulo en función de su base x.
A. A(x)  x2  10x
B. A(x)  10x  x2
C. A(x)  x2  10
D. A(x)  10  x2
02. En el problema anterior, ¿cuál es el dominio de esa función?
A. (10; 0)
B. (0; 8)
C. (0; 10)
D. (0; 8)
03. Si la función ganancia de una empresa de ventas está dada por
G(x)  2x2  60x  1500 , “x” en soles. Encuentra la ganancia máxima.
A. 15
C. 1 650
B. 1 500
E.1 950
06. Los alumnos del colegio quieren ir de excursión.
Una empresa de turismo les cobra S./70 por persona si
van 40 alumnos y les rebaja S/.1 por persona por cada
alumno adicional. Además, acepta que viajen 65 alumnos
como máximo y no la organiza si viajan menos de 40.
¿Cuántos alumnos deben ir de excursión para que la
empresa de turismo realice el mejor negocio?
A. 30
B. 45
C. 50
D. 55
07. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de
un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula
h(t)  80  64t  16t2 (t en segundos y h en metros). Halla la altura del
edificio.
A. 60 m
C. 90 m
B.80 m
D. 100 m
04. La utilidad que se obtiene al producir y vender maletas en
x2
determinada empresa está dada por: U(x)  
 40x ,
10
donde x representa el número de maletas y U(x) está
dada en soles. Halla la utilidad al vender 60 maletas.
A. S/.1 840
B. S/.1 960
C. S/.2 040
D. S/.2 060
08. En el problema anterior, ¿En qué instante alcanza su máxima
altura?
A. 1 s
B. 2 s
C. 3 s
D. 4 s
05. En el problema anterior, si se quiere obtener la máxima utilidad
posible, ¿cuántas maletas hay que producir y vender?
A. 80
B. 100
C. 150
D. 200
01. Un fabricante de muebles puede producir sillas a un costo de S/.10
cada una y estima que, si son vendidas a S/.x cada una, los usuarios
comprarán aproximadamente 80 – x sillas cada mes. Expresa la utilidad
mensual U del fabricante en función del precio
A. U(x)  (x  10)(80  x)
B. U(x)  (x  10)(80  x)
… PARA LA CASA
C. U(x)  10x(x  80)
Profesor: Javier Trigoso
D. U(x)  (x  10)(x  80)
Página 13
Funciones 2
02.
De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en
las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos
lados iguales miden x. Halla el área del octógono que
resulta en función de x.
A. A(x)  2x2  16
B. A(x)  16  2x2
C. A(x)  2x  16
2
07.
En el problema anterior, ¿Qué subida produce ingresos
máximos?
A. $2
B. $3
C. $4
D. $5
08.
D. A(x)  16  2x
2
03. En el problema anterior, ¿cuál es el dominio de esa función? ¿y cuál
su recorrido?
A. (0;2) y (8;16)
B. (0;2) y (0; 16)
C. (0;2) y (4; 16)
D. (0;4) y (0; 16)
04.
En un triángulo cuya base mide 10u y su altura mide 6u se
encuentra inscrito un rectángulo cuya base está sobre la del triángulo.
Si el área A de la región rectangular se expresa como una función de su
base x, halla el máximo valor de dicha función.
A. 21
B. 18
C. 15
D. 14
05.
La diferencia de dos números es 22. Determina dichos números
de tal modo que su producto sea mínimo.
A. 11 y 11
B. -11 y 11
C. 0 y 22
D. -10 y 12
06.
Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a
400 dólares cada uno y sabe que por cada 10 dólares de subida venderá
2 menos. ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros?
A. $4 500
B. $4 050
C. $4 005
D. $40 500
Profesor: Javier Trigoso
Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de
x televisores son G(x) = 2000 + 25x, en euros, y los
ingresos mensuales son I(x) = 60x – 0,01x2, también en
euros. ¿Cuántos televisores deben fabricarse para que
el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo?
A. 62
B. 65
C. 620
D. 625
09.
Si el número de turistas que hace un
recorrido en autobús a una ciudad es exactamente
30, una empresa cobra 20$ por persona. Por cada
persona adicional a las 30, se reduce el cobro
personal en 0,5$. ¿Cuál es el número de turistas que
debe llevar un autobús para maximizar los ingresos
de la empresa?
A. 5
B. 35
C. 40
D.45
10.
Para un partido de futbol, se sabe que a S/.15 la entrada
asistirían 25 000 personas. Pero si cada entrada se
vende por un monto entre S/.15 y S/.40, por
experiencias anteriores, se sabe que la asistencia
disminuye en 500 personas por cada sol que se aumente
al valor de la entrada. Halla la función T que proporciona
el ingreso de la taquilla.
2
A. T(x)  400 000  15 000x  500x
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Funciones 2
B. T(x)  375 000  17 500x  500x2
C. T(x)  35 000  17 000x  100x2
D. T(x)  25 000  50 000x  100x2
11.
En el laboratorio productor de crías de trucha
se requiere colocar canales rectangulares de plástico
para el aporte de agua de río a los tanques
principales de producción de juveniles. Se tiene una
lámina larga, rectangular de PVC, de 12 pulgadas de
ancho. Se doblan dos orillas hacia arriba para que
queden perpendiculares al fondo. ¿Cuántas pulgadas
deben quedar hacia arriba para que el canalón tenga
capacidad máxima?
A. 2pulg
B. 2,5 pulg
C. 3 pulg
D. 3,5 pulg
12.
Se estudiaron los efectos nutricionales sobre
ratas que fueron alimentadas con una dieta que
contenía un 10% de proteína. La proteína consistía en
levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje P de
levadura en la mezcla de proteína, se estimó que el
peso promedio ganado (en gramos) de una rata en un período fue de f(p)
1 2
, donde: f(p) 
p  2p  20 ; 0 ≤ p ≤ 100. Encuentra el máximo peso
50
ganado.
A. 19 gr
B.20 gr
C.21 gr
D. 22 gr
Profesor: Javier Trigoso
Página 15