Integración sobre productos de espacios

Integración sobre productos de espacios
Problemas para examen
Álgebra y σ-álgebra generada por una semiálgebra
1. Escriba las definiciones de semianillo y semiálgebra de conjuntos.
2. Escriba las definiciones de anillo y álgebra de conjuntos.
3. Descripción del álgebra generada por una semiálgebra. Sea S ⊆ 2X una semiálgebra sobre X. Denotemos E al conjunto de todos los subconjuntos de X que se
pueden representar como uniones finitas disjuntas de conjuntos pertenecientes a S. Demuestre que E es un álgebra de conjuntos. (Por lo tanto, E es el álgebra mı́nima que
contiene a S.)
4. Escriba la definición de clase monótona.
5. Descripción de la σ-álgebra generada por una semiálgebra. Sea S ⊆ 2X una
semiálgebra sobre X, sea E el álgebra generada por S y sea M la clase monótona mı́nima
que contiene a E. Demuestre que M es una σ-álgebra. (De aquı́ sigue que M es la σ-álgebra
mı́nima que contiene a S.)
Producto de σ-álgebras
Notación (producto de σ-álgebras. Sean (X, F) y (Y, G) espacios medibles. Se denota
por F × G la σ-álgebra generada por A × B, donde A ∈ F y B ∈ G.
Notación (secciones). Sea C ⊆ X × Y . Para todo x ∈ X pongamos
Cx := {y ∈ Y : (x, y) ∈ C},
y para todo y ∈ Y pongamos
C y := {x ∈ X : (x, y) ∈ C}.
6. Secciones como preimágenes. Sean X, Y algunos conjuntos y sea x ∈ X. Sea
Jx : Y → X × Y la siguiente función:
∀y ∈ Y
Jx (y) := (x, y).
Muestre que para todo C ⊆ X × Y ,
Cx = Jx−1 [C].
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7. Secciones de un conjunto medible son medibles. Sean (X, F), (Y, G) espacios
medibles y sea C ∈ F × G. Demuestre que
∀x ∈ X
Cx ∈ G,
∀y ∈ Y
C y ∈ F.
8. Los rectángulos medibles forman una semiálgebra. Sean (X, F), (Y, G) espacios
medibles. Sea
S := A × B : A ∈ F, B ∈ G .
Demuestre que S es una semiálgebra sobre X × Y .
9. Secciones de una función medible son medibles. Sea f ∈ M(X × Y, F × G, C) y
sea y ∈ Y . Definamos f y : X → C mediante la fórmula
f y (x) := f (x, y).
Demuestre que f y ∈ M(X, F, C).
Producto de medidas
La siguiente afirmación se cumple para el caso de medidas σ-finitas, pero la demostramos
solamente para el caso de medidas finitas.
10. Teorema del producto de medidas. Sean (X, F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida,
donde µ y ν son medidas finitas. Para todo C ∈ F × G definamos las funciones ϕC : X →
R+ , ψC : Y → R+ mediante las siguientes reglas:
∀x ∈ X
∀y ∈ Y
ϕC (x) := ν(Cx ),
Demuestre que para todo C ∈ F × G
Z
Z
ϕC dµ =
X
ψC (y) := µ(C y ).
ψC dν.
Y
11. Definición del producto de medidas. Sean (X, F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida,
donde µ y ν son medidas finitas. Escriba la definición de la medida µ × ν.
12. Contraejemplo. Construya algunos espacios de medida (X, F, µ), (Y, G, ν) y algún
conjunto C ∈ F × G tales que
Z
Z
ϕC dµ 6= ψC dν.
X
Y
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Teoremas de Tonelli y Fubini
13. Teorema de Tonelli. Sean (X, F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida, donde µ y
ν son medidas σ-finitas. Para toda f ∈ M(X × Y, F × G, R+ ) definamos las funciones
ϕf : X → R+ y ψf : Y → R+ de la siguiente manera:
Z
Z
∀x ∈ X
ϕf (x) := fx dν = f (x, y) dν(y),
Y
Y
Z
∀y ∈ Y
ψf (y) :=
Z
y
f dν =
X
f (x, y) dµ(x).
X
Demuestre que para toda f ∈ M(X × Y, F × G, µ × ν)
Z
Z
Z
f d(µ × ν) = ψf dν.
ϕf dµ =
X
Y
X×Y
14. Teorema de Fubini. Sean (X, F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida, donde µ y ν son
medidas σ-finitas. Sea f ∈ L1 (X × Y, F × G, µ × ν, R). Demuestre que fx ∈ L1 (Y, G, ν, R)
para casi todos x ∈ X y se cumple la fórmula:


Z
Z Z
f d(µ × ν) =  f (x, y) dν(y) dµ(x).
X×Y
X
Y
15. Contraejemplos. Consideremos el intervalo X = Y = (0, 1) con la medida de
Lebesgue µ. Dé un ejemplo de una función f ∈ M(X × X, µ × µ, R) tal que




Z Z
Z Z
 f (x, y) dν(y) dµ(x) 6=  f (x, y) dµ(x) dν(y).
X
Y
Y
X
16. Muestre con ejemplos que las hipótesis del teorema de Fubini no se pueden omitir.
Ejemplos de aplicaciones del teorema de Fubini
17. Use el teorema de Fubini y la fórmula
1
=
x
Z+∞
e−xt dt
0
para demostrar que
ZA
lı́m
A→+∞
sen(x)
π
dx = .
x
2
0
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