los numeros reales

LOS NUMEROS REALES
Conjunto no vacío designado como ℜ y denominado conjunto de los números reales. En
él se define una relación de igualdad “ = ” y dos operaciones algebraicas “ + ” y “ . ”
Relación de igualdad
Definición:
R = ⎨(a,b) en que a ∧ b ∈ ℜ ∧ a R b ⎬
Propiedades de la relación “ = ” :
A1
Reflexividad :
∀a∈ℜ ⇒ a = a
A2
Simetría :
∀ a, b ∈ ℜ, si a = b ⇒ b = a
A3 Transitividad :
∀ a, b, c ∈ ℜ, si a = b ∧ b = c ⇒ a = c
Operaciones en ℜ
Definición:
Adición o Suma (+) : (a,b) ∈ ℜ → a + b ∈ ℜ
Multiplicación o producto ( . ) : (a,b) ∈ ℜ → a . b ∈ ℜ
Propiedades de las operaciones ( + ) y ( . ) :
B1 Conmutatividad :
B2 Asociatividad :
B3
Existe un elemento identidad para la suma :
B4
Existencia de elementos inversos para la suma :
B5 Conmutatividad :
B6 Asociatividad :
a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+a
a+0 = 0+a=a
a + (-a) = (-a) + a = 0
a.b = b.a
a.(b.c) = (a.b).c
B7
Existe un elemento identidad para la multiplicación:
a.1 = 1.a = a
B8
Existencia de inversos para la multiplicación, si a ≠ 0 :
a . a-1 = a-1 . a = 1
B9
Ley distributiva:
a.(b+c) = a.b+a.c
1
La compatibilidad entre estas dos operaciones y la relación de igualdad, se establece
mediante las leyes:
Si a = b
⇒ a+c = b+c
Si a = b ⇒ a . c = b . c
;
En ℜ, los elementos identidad para la suma y para la multiplicación
Teorema 1.
(neutro aditivo y multiplicativo respec.) son únicos.
Demostración:
Se emplea el Método de Reducción al Absurdo.
Supongamos la
existencia de otro elemento neutro para la suma, designado como 0* ≠ 0.
Entonces aplicando B2 se tiene:
0* + 0 = 0
y
0 + 0* = 0*
Por conmutatividad (B1) y aplicando transitividad (A3),
se concluye
que 0 = 0* ⇒⇐ la suposición de la Hipót., luego es falso que 0* ≠ 0 y
entonces el neutro para la suma es único.
TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del neutro multiplicativo.
En ℜ, los elementos inversos para la suma y para la multiplicación son
Teorema 2.
únicos.
Demostración:
Dado a ∈ ℜ, supongamos ∃ (-a) y a´ elementos inversos de a para la
suma en que (-a) ≠ a´. Entonces se cumple:
a + (-a) = 0
y
a + a´ = 0
[ a + (-a) ] + (-a) = [ a + a´ ] + (-a)
(-a) = a´
⇒
a + (-a) = a + a´
⇔
⇒ 0 + (-a) = [ a + (-a) ] + a´ luego
⇒⇐ la Hipótesis ⇒ Es falso (-a) ≠ a´ y el inverso aditivo es único.
TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del inverso multiplicativo.
2
Teorema 3:
i) El cero es el inverso aditivo de sí mismo: (-0) = 0
ii) El uno es inverso multiplicativo de sí mismo: 1-1 = 1
Demostración:
i)
a + (-a) = 0 y el inverso aditivo es único, luego si a = 0 entonces:
0 + (-0) = 0 por lo tanto: (-0) = 0
ii)
COROLARIO:
Demostrar de manera análoga.
i) Por unicidad del inverso aditivo, si a + b = 0 ⇒ a = -b y
b = -a
ii)
Por unicidad del inverso multiplicativo si a . b = 1 ⇒ a = b-1 y
b = a-1
Teorema 4:
∀ a ∈ ℜ; a . 0 = 0
Demostración:
Por axioma B3 se tiene que: 0 + 0 = 0, por lo tanto:
0 . a = (0 + 0).a
0 . a = 0.a + 0.a
Distributividad.
(-0 . a) + 0 . a = (-0 . a) + 0 . a + 0 . a
0 = a . 0 + [ (-0 . a) + 0 . a ]
0 = a.0 = 0.a
En particular, por este teorema:
Teorema 5:
i)
0 . 0 = 0
1 . 0 = 0
∀ a , b ∈ ℜ, se cumplen las siguientes propiedades:
- (-a) = a
ii)
(-a) . b = - (ab)
iii)
a . (-b) = - (ab)
Demostración:
y
TAREA
3
∀ a, b ∈ ℜ en que a ≠ 0 y b ≠ 0 se tiene que:
Teorema 6:
i) (a-1)-1 = a
ii) a-1 b = (a . b-1)-1
iii) a . b-1 = (a-1 . b)-1
iv) a-1 . b-1 = (a . b)-1
Demostración: i) (a-1)-1 = (a-1)-1 . 1 = (a-1)-1 . ( a . a-1) = [(a-1)-1 . (a-1)] . a
= 1.a = a
Tarea:
⇒
(a-1)-1 = a
Demostrar i), ii), iii) e iv).
Teorema 7:
Leyes de Cancelación:
i) a + b = a + c ⇔ b = c
Demostración:
ii) a . b = a . c ⇔ b = c a ≠ 0
ii) Si a ≠ 0 ⇒ ∃ a-1 entonces si: a . b = a . c
por la
compatibilidad de la igualdad con la multiplicación:
a-1 . (a . b) = a-1 . (a . c)
(a-1 . a) . b = (a-1 . a) . c ⇒ b = c. El recíproco corresponde
a la compatibilidad igualdad-multiplicación.
Tarea:
Demostrar i)
Teorema 8:
∀ a, b ∈ ℜ si a . b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
Demostración: Si a ≠ 0 entonces ∃ a-1 por lo tanto:
(a-1 . a) . b = 0 ⇒ b = 0.
Teorema 9:
a-1 . (a . b) = 0 . a-1
Demostrar para a = 0.
i) La ecuación a + x = b tiene única solución: x = b + (-a)
ii) La ecuación a . x = b tiene única solución: x = a-1 b ( a ≠ 0 )
Tarea:
Demostrar
4
Definición 9:
Se define a + (-b) como la diferencia entre a y b ; a – b
Teorema 10: ∀ a, b ∈ ℜ se cumple:
i)
a – (-b) = a + b
a–b=0 ⇔ a=b
ii)
iii) a – (b + a) = a – b - a
Demostración:
i) a – (-b) = a + [- (-b)] = a + b
por T5 i)
ii) a – b = 0 ⇒ a + (-b) = 0 ⇒ a + b + (-b) = 0 + b
⇒ a+0 = b ⇒
iii) a = a
a=b
⇒ a+0 = a+0
⇒
a + (a + b) + [-(a + b)] = a + a + (-a)
⇒
a + a + (-a) + b + (-b) + [-(a + b)] = a + a + (-a) +
(-a) + (-b)
⇒
a + 0 + 0 + [-(a + b)] = a + 0 + (-a) + (-b)
⇒
a + [-(a + b)] = a + (-b) + (-a)
⇒
a – (a + b) = a – b – a
Por def. 9
Definición 10: Dados a, b ∈ ℜ ∧ b ≠ 0 se define a a . b-1 como
a
o bien
b
a : b expresándose cuociente entre a y b o bien a dividido
por b.
Teorema 11: Dados a, a1 , a2 , b, b1, b2 ∈ ℜ entonces se cumplen:
i)
a
=a
1
ii) Si a ≠ 0 ⇒
iv) Si a2 ≠ 0 ∧ b2 ≠ 0 ⇒
1
= a-1
a
a1
b
= 1
a 2 b2
iii) Si a ≠ 0 ⇒
a
=1
a
⇔ a 1 . b2 = b 1 . a2
5
LOS REALES COMO CUERPO ORDENADO
Sea ℜ+ ⊂ ℜ, este subconjunto satisface los siguientes axiomas:
1. ℜ+ es cerrado para la suma. Si a, b ∈ ℜ+ ⇒ a + b ∈ ℜ+.
2. ℜ+ es cerrado para la multiplicación. Si a, b ∈ ℜ+ ⇒ a . b ∈ ℜ+.
3. Axioma de Tricotomía. ∀ a ∈ ℜ se cumple una y solo una de las
siguientes afirmaciones:
i)
a = 0
ii)
a ∈ ℜ+
iii) -a ∈ ℜ+
Definición 1:
Teorema 1:
i)
a<b
⇔
b – a ∈ ℜ+
ii)
a>b
⇔
a – b ∈ ℜ+
Dados los reales a y b se cumple una y solo una afirmación:
i) a = b
ii) a < b
iii) a > b
Demostración: Aplicando el axioma de Tricotomía al número b – a, se tiene
una y solo una propiedad:
i)
ii)
iii)
i) Por T 10 ii):
b–a=0
b – a ∈ ℜ+
–(b – a ) ∈ ℜ+
si b – a = 0 ⇒ a = b
ii) Por definición 1 i): si
iii) Por definición 1 :
b – a ∈ ℜ+ ⇒ a < b
si - (b – a) ∈ ℜ+ ⇒ a – b ∈ ℜ+ ⇒ a > b
6
Teorema 2:
Dado un real a, se cumple una y solo una proposición:
i) a = 0
ii) a > 0
iii) a < 0
Demostración: Consecuencia del Teor. 1 haciendo b = 0
Teorema 3:
La relación “<” tiene las siguientes propiedades:
i) No reflexiva:
∀ a ∈ ℜ, no se cumple que a < a
ii) No simétrica (asimétrica): Si a < b no se cumple que a > b.
iii) Transitiva:
Si a > b ∧ b > c ⇒ a > c
Demostración:
i) Si a > a ⇒ a – a ∈ ℜ+ ⇒ 0 ∈ ℜ+ ⇒ ⇐ Ax. Tric.
ii) Si a > b ⇒ a – b ∈ ℜ+ por Ax. Tric. b – a ∉ ℜ+
iii) Si a > b ⇒ a – b ∈ ℜ+ ∧ si b > c ⇒ b – c ∈ ℜ+
por lo tanto dado que ℜ+ es cerrado para la suma:
(a – b ) + (b – c ) ∈ ℜ+ ⇒ a – c ∈ ℜ+ ⇒ a > c
Definición 2: Llamaremos conjunto de los números negativos al conjunto:
ℜ- = ⎨ x ∈ ℜ : - x ∈ ℜ+ ⎬
OBSERVACIÓN: El 0 ∉ ℜ- por lo tanto, no es positivo ni negativo, además
ℜ+ ∩ ℜ- = φ pero como todo real pertenece a uno y solo
uno de los conjuntos ℜ+, ℜ-, ⎨0⎬ entonces:
ℜ = ℜ+ ∪ ℜ- ∪ ⎨0⎬ en que 0 representa una frontera
entre positivos y negativos.
7
i)
a ≤ b ⇔ (a < b) ∨ (a = b)
ii)
a ≥ b ⇔ (a > b) ∨ (a = b)
Definición 3:
Teorema 4:
La relación “≤” tiene las siguientes propiedades:
Reflexiva:
a≤ a, ∀a ∈ℜ
Antisimétrica: Si a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b
Transitiva:
Si a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c
i)
ii)
iii)
Demostración:
a< b ∧ b< c
i)
Como a = a entonces a ≤ a
ii)
Si a ≤ b ⇒ (a < b) ∨ (a = b).
Si b ≤ a ⇒ (b < a) ∨ (a = b).
Por Teor. 1 solo es posible a = b
iii)
Se tienen aquí las siguientes posibilidades:
⇒ a < c por Teor. 3
a < b ∧ b = c ⇒ b – a ∈ ℜ+ y c – b = 0 ; por lo tanto: b – a + (c – b) =
c – a ∈ ℜ+ luego a < c
a=b ∧ b< c
⇒ Similar a la anterior.
a=b ∧ b =c
⇒ La igualdad es transitiva y de la definición de la relación
“ ≤ ”.
Teorema 5:
a≤ b ⇔ a+c ≤ b+ c
Demostración:
Si a ≤ b ⇒
a < b ∨ a = b.
Si a < b ⇒ b – a ∈
ℜ+
⇒ (b – a) + 0 ∈ ℜ+
⇒
(b + c) – (a + c) ∈ ℜ+ ⇒ a + c < b + c ⇒
a + c ≤ b + c.
⇒ (b – a) + (c – c) ∈ ℜ+
Si a = b ⇒ a + c = b + c
8
i) Si a ≤ b y c es positivo, entonces: a . c ≤ b . c
Teorema 6:
ii) Si a ≤ b y c es negativo, entonces: a . c ≥ b . c
i) Si a ≤ b
Demostración:
⇒
a < b ∨ a = b.
Si a < b ⇒ b – a ∈ ℜ+ como c ∈ ℜ+ ⇒ (b – a ) . c ∈ ℜ+ ⇒ a . c < b . c
Dado que a = b , por compatibilidad igualdad-multiplicación ⇒ a . c = b . c
a.c ≤ b.c
Por lo tanto:
ii)
Si a ≤ b
c ∈ ℜ-
⇒
⇒
a < b ∨ a = b.
- c ∈ ℜ+,
Si a < b ⇒ b – a ∈ ℜ+
como
luego: - c (b – a) ∈ ℜ+ ⇒ - bc + ac > 0 ⇒
Por compatibilidad igualdad-multiplicación ⇒ a . c = b . c
a . c > b . c.
Por lo tanto:
a.c ≥ b.c
Teorema 7:
i) Si a > 0 ⇒ - a < 0
ii) Si a < 0 ⇒ - a > 0
iii) Si a > 0 ⇒ a-1 > 0
iv) Si a < 0 ⇒ a-1 < 0
Demostración:
iii) Si a > 0
i)
Si a > 0
⇒
a ∈ ℜ+
⇒ -a ∈ ℜ- ⇒ -a < 0
ii)
Si a < 0
⇒
-a ∈ ℜ+ ⇒ -a > 0
Supongamos que a-1 < 0 por T.6 i)
ii) : a-1 ( a . a ) < 0 ⇒
(a-1 . a) . a < 0
a.a > 0
y por T.6
⇒ a < 0 ⇒⇐ Hip., por lo
tanto: a-1 > 0
iv)
Tarea
9
Teorema 8:
a . b > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)
Demostración:
(⇒)
a > 0 ⇒ a-1 > 0 ⇒ a-1 (a . b) > 0
Si a < 0 ⇒ a-1 < 0
⇒ a ≠ 0 y b ≠ 0 (T8., Nºs ℜ) . Si
Si a . b > 0
⇒
b>0
⇒ a-1 (a . b) < 0 ⇒ b < 0
(⇐) Tarea
Teorema 9:
a.b<0
⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)
Demostración: (⇒) Si a . b < 0 ⇒ Si a > 0 ⇒ a-1 > 0 ⇒ a-1 (a . b) < 0
⇒ b < 0
Si a < 0 ⇒ a-1 < 0 ⇒ a-1 (a . b) > 0 ⇒ b > 0
Sean a, b ∈ ℜ, si a < b ⇒
Teorema 10:
a<
a+b
<b
2
Demostración: Si a < b sumando entonces : a + a < b + a ⇒ 2a < b + a
Si repetimos pero sumando b se tiene: a + b < 2b
Por transitividad:
Se tiene:
a<
2a < b + a < 2b. Luego dividiendo por 2 > 0
a+b
<b
2
Este teorema permite afirmar que siempre entre dos números reales distintos
es posible intercalar un tercer número c,
10
VALOR ABSOLUTO EN LOS REALES
Permite determinar cuan cerca o lejos se encuentra un número del cero, por
ejemplo.
Definición 1: Llamaremos valor absoluto del número real a, denotado por
a , al número:
a
a
si a ≥ 0
-a
si a < 0
=
Podemos apreciar que el número a y su inverso aditivo -a están a igual
distancia del cero.
i)
Teorema 1:
a ≥ 0
ii) a = − a
iv)
a =0 ⇔ a=0
vi)
Si b > 0,
a ≤ b
⇔
vii)
Si b > 0,
a ≥ b
⇔
viii)
a+b ≤
a + b
iii) - a ≤ a ≤ a
v) a . b = a . b
-b ≤ a ≤ b
a ≥ b ∨ a ≤ -b
Demostración:
i) Por Tricotomía: a > 0 ; a = 0 ; a < 0. Analizando cada una:
Si a > 0 entonces
a = a > 0
Si a = 0 entonces
0 = 0
Si a < 0 entonces - a > 0 , luego: - a > a > 0
Por lo tanto:
a ≥ 0
11
ii)
a = −a
Aplicamos Tricotomía:
Si a > 0 ⇒ - a < 0, por lo tanto:
Luego se cumple
a = a y −a = - ( - a ) = a
Si a = 0 ⇒ entonces: 0 = − 0 = 0
Se cumple
Si a < 0 ⇒ entonces - a > 0, por lo tanto:
Se cumple
iii)
- a ≤ a ≤ a
a = -a y
− a = -a
Aplicamos Tricotomía:
Si a ≥ 0 ⇒ a = a , además - a ≤ 0. Puesto que : a > - a
a ≥ a>-a ≥ - a
Si a < 0 ⇒
a = -a
- a =a<-a = a
iv)
⇒
a ≥ a ≥ - a
⇒
y
- a > 0.
Por lo tanto a < - a. ⇒
a ≥ a ≥ - a
a =0 ⇔ a=0
⇐
Si a = 0 , por definición a = 0 = 0
⇒ a ∈ ℜ, por tricotomía a > 0 ∨ a < 0 ∨ a = 0. Descartando las
dos primeras posibilidades por contradicciones con la hipótesis por
ej:
Si a > 0 ⇒
a = a > 0 contradice la hipótesis.
resta la única posibilidad a = 0
12
a.b = a . b
v)
Por Tricotomía:
a.b>0
;
a.b=0
; a.b<0
¾ Si a . b > 0 ⇒ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0). Por definición
a . b = a . b y para la primera posibilidad:
de valor absoluto:
a > 0 ∧ b > 0 ⇒ a = a ∧ b = b. Por lo tanto a . b = a . b
Luego:
a.b = a . b
⇒ a = 0 ∨ b = 0 entonces:
¾ Si a . b = 0
a.b = 0 = 0 = a . b
¾ Si a . b < 0
vi)
Si b > 0,
⇒
Tarea
a ≤ b
Si a ≥ 0
⇔
⇒
como b ≥ 0
a =a
⇒
Si a < 0 ⇒
⇐
-b ≤ a ≤ b
-b < 0.
Aplicando Tricotomía
Por Hipót.,
Luego:
-b≤ a ≤ b
a = - a Por Hipót. – a ≤ b y como - a ≥ 0
y -b ≤ 0
⇒
-b ≤ a ≤ -a ≤ b
Si a ≥ 0
⇒
a = a , por Hipót.,
Si a < 0 ⇒
a ≤ b ⇒ a ≤ b
⇒ -b≤ a ≤ b
a
≤ b
a = - a . por Hipót., – a ≤ b luego a ≤ b
13
vii)
a ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ -b
Si b > 0,
⇒
Supongamos a ≥ b. Si a ≥ 0 entonces a = a y por lo tanto
a ≥ b.
Si en cambio a < 0 entonces a = - a y en este caso
– a ≥ b luego: a ≤ - b
⇐
viii)
Tarea
Tarea
AXIOMA DEL SUPREMO
Definición 1:
Si ∀ x ∈ A ⊂ ℜ, ∃ y tal que y ≥ x entonces y es cota
superior de A.
Definición 2:
Si y ∈ ℜ ∧ A ⊂ ℜ, entonces y es el supremo de A si y solo
si:
i)
y es cota superior de A.
ii)
Si ∀ z, cota superior de A, se tiene y ≤ z.
El supremo es la menor de las cotas superiores.
Teorema 1:
Si A ⊆ ℜ, entonces y es el supremo de A ⇔ y es una cota
superior de A y ∀ ε ∈ ℜ+, ∃ x ∈ A tal que y - ε < x.
14
Demostración:
⇒
Si y es supremo de A ⇒ y es cota superior de A,
por definición de supremo. Sea ε ℜ+, supongamos, por
reducción al absurdo, que ∃ x ∈ A tal que y - ε < x, luego
se puede afirmar que x ≤ y - ε ∀ x ∈ A, por lo tanto y - ε
es una cota superior, pero y - ε < y ⇒⇐ la hipót., que y es
supremo de A (y es la menor de las cotas superiores). Por lo
tanto debe existir al menos un x ∈ A mayor que y - ε.
⇐
Por Hipót., y es una cota superior de A, será supremo si es la menor de
las cotas superiores. Supongamos, al absurdo, que existe una cota
superior de A, z < y luego x < z ∀ x ∈ A.
Como z < y
⇒
y – z > 0 aplicando la hipót., con ε = y – z, ∃ x ∈ A, x > y – (y – z).
Luego ∃ x ∈ A tal que x > z ⇒⇐ con hipót., que z es cota superior de A.
En consecuencia es falso suponer que existe una cota superior de A menor que
y, luego y es la menor cota superior de A y por tanto su supremo.
Teorema 2:
Un conjunto de números reales puede tener a lo más un
supremo.
Demostración:
Supongamos que en A ⊆ ℜ existen dos supremos y, z en que
y ≠ z , supongamos además que z < y, lo cual significa que
y – z > 0. Si tomamos este número positivo como ε
particular, por definición de supremo concluimos que ∃ x ∈
A tal que: x > y – (y – z), luego x > z
⇒⇐ que z sea
supremo de A. Por lo tanto existe a lo más un supremo en
un conjunto de números reales.
15
El conjunto vacío es acotado superiormente por cualquier número real, puede
demostrarse por reducción al absurdo. Luego, el supremo de vacío es - ∞
Axioma del Supremo.
Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota superior, entonces
tiene supremo en ℜ.
Definición 3:
Si ∀ x ∈ A ⊂ ℜ, ∃ y tal que y ≤ x entonces y es cota
inferior de A.
Definición 4:
Si y ∈ ℜ ∧ A ⊂ ℜ, entonces y es el ínfimo de A si y solo
si:
iii)
y es cota inferior de A.
iv)
Si ∀ z, cota inferior de A, se tiene y ≥ z.
El ínfimo es la mayor de las cotas inferiores.
Teorema 3:
Si A ⊂ ℜ, entonces y es el ínfimo de A ⇔ y es una cota
inferior de A y ∀ ε ∈ ℜ+, ∃ x ∈ A tal que x < y + ε
TAREA:
Demostrar en forma análoga a Teor 1.
Teorema 4:
Un conjunto de números reales puede tener a lo más un ínfimo.
16
TAREA:
Demostrar en forma análoga a Teor 2.
El conjunto vacío es acotado inferiormente por cualquier número real, el
ínfimo de vacío es +∞
Teorema 5:
Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota
inferior, entonces tiene ínfimo en ℜ
TAREA:
Demostrar
NUMEROS NATURALES E INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Definición 1:
Sea I ⊂ ℜ, diremos que I es inductivo si se cumple:
i)
Teorema 1:
Demostración:
1∈ I
ii) Si k ∈ I
⇒ k+1 ∈I
Si A, B son conjuntos inductivos, entonces A ∩ B es inductivo.
Sean A y B dos conjunto inductivos de ℜ. Por propiedad i)
de la def., 1 ∈ A ∩ B. Si k∈ A ∩ B ⇒ k ∈ A ∧ k ∈ B
pero como A y B son inductivos, entonces k + 1 ∈ A y k
+ 1 ∈ B
⇒ k + 1 ∈ A ∩ B. Entonces A ∩ B es
inductivo.
17
Definición 2:
Llamaremos conjunto de los números naturales ℵ, al
menor conjunto inductivo de ℜ , es decir:
ℵ = ∩ { I : I ⊂ ℜ, I es inductivo }
Teorema 2:
Principio de Inducción
Sea k ∈ ℵ y P( k) una propiedad satisfecha por k. Si se
cumplen:
i)
ii)
P( 1 )
∀ k, si P( k ) entonces P( k + 1)
Entonces la propiedad P( k) se satisface para todo k ∈ ℵ.
Demostración:
Sea I =
{ k ∈ ℜ : P(k ) se satisface }.Veremos
que I es
inductivo
• 1 ∈ I, pues P(1) se satisface por i)
• Si k ∈ I entonces P(k) y por ii) se tiene P(k + 1), por
lo tanto k + 1 ∈ I
Como I es inductivo, por definición 2 ℵ ⊂ I, es decir,
P(k) se cumple ∀ k ∈ ℵ.
FUNCIONES DE VARIABLE CONTINUA
Definición 1:
Sea x perteneciente a un intervalo I. Si mediante una cierta
regla tal que a cada x ∈ I le corresponda un único y ∈ ℜ, decimos que y es
una función numérica de x denotada:
y = f(x) ; x se denomina variable
independiente e y variable dependiente.
18
Definición 2:
Se define dominio de la función f(x) al conjunto:
D( f ) = ⎨ x ∈ I : ∃ y ∈ ℜ tal que y = f(x) ⎬
Se define recorrido de la función f(x) al conjunto:
R( f ) = ⎨ y ∈ ℜ : ∃ x ∈ D( f ) : y = f(x) ⎬
Se define gráfico de f(x) al conjunto:
G( f ) = ⎨ (x, y) ∈ D( f ) × R( f ) : y = f(x) ⎬
Ejemplos de funciones:
Función constante: ∀ x ∈ I le corresponde un mismo elemento
•
c; f(x) = c
Función lineal: ∀ x ∈ I le corresponde el número ax + b con a,
•
b constantes y a ≠ 0
Función cuadrática: ∀ x ∈ I le corresponde el número ax2 + bx
•
+ c con a, b, c constantes y a ≠ 0.
Función polinomial: ∀ x ∈ I le corresponde el número anxn +
•
.....+ a1x + a0 en que los ai son constantes.
•
Función racional: Aquella que se obtiene mediante cuocientes
de polinomios:
Definición 3:
f ( x) =
p( x)
q( x)
en que
D( f ) = ℜ - ⎨ x : q(x) = 0 ⎬
Dadas dos funciones numéricas f
y
g, se definen las
siguientes funciones cuyo dominio es D( f ) ∩ D( g )
i)
( f ± g ) ( x ) = f( x ) ± g( x )
ii)
( fg )( x ) = f( x ) . g( x )
iii)
( f / g )( x ) = f( x ) / g( x )
19
Definición 4:
i)
ii)
Dadas dos funciones numéricas f y g, se dice que:
f = g si D( f ) = D( g ) y f( x ) = g( x ) ∀ x ∈ D( f ) ∩ D( g )
f < g si y f( x ) < g( x ) ∀ x ∈ D( f ) ∩ D( g )
Definición 5: Diremos que la función f es acotada, si su recorrido es un
conjunto acotado, es decir, si ∃, M > 0 : f (x) ≤ M, ∀ x ∈ D( f ).
Definición 6:
Sea f una función numérica no constante, I un intervalo
contenido en el dominio de f y x0 un punto de I. Se dice que f tiene:
i)
Un cero en x0 cuando f( x0 ) = 0.
ii)
Un máximo en x0, con valor f( x0 ), cuando ∀ x ∈ I, f( x ) ≤ f( x0 )
iii)
Un mínimo en x0, con valor f( x0 ), cuando ∀ x ∈ I, f( x ) ≥ f( x0 )
iv)
Un extremo en x0 cuando f tiene un máximo o un mínimo en x0.
Definición 7:
i) Una función se dice periódica, si existe un T ∈ ℜ, tal que: f(x + T) = f( x )
ii) Una función f se dice par si f(-x) = f(x), ∀ x ∈ D( f )
iv) Una función f se dice impar si f(-x) = - f(x), ∀ x ∈ D( f )
Definición 8:
Sean I y J intervalos. Sean f y g funciones numéricas tales
que D( f ) = I, D( g ) = J y R( f ) ⊂ J. Entonces la función compuesta de f
con g, denotada g D f está definida por:
i)
D(g D f) = I
ii) ( g D f )(x) = g( f(x)), ∀ x ∈ I
20
Definición 9:
Una función f : I → J se dice sobreyectiva si y solo si:
R( f ) = J
Definición 10:
Una función f se dice uno a uno o inyectiva sobre un
intervalo I, si ∀ x1, x2 ∈ I, con x1 ≠ x2 se tiene f( x1 ) ≠ f( x2 ).
Equivalentemente: f( x1 ) = f( x2 ) entonces x1 = x2
Ejemplos:
1. Sea f(x) = (x – 2)(8 – x) para 2 ≤ x ≤ 8. Encontrar:
a) f(6) y f(-1)
b) El dominio de f(x).
c) f(1 – t) y su dominio
d) f [ f(3) ]
e) Su representación gráfica.
f)
Determinar si esta función es acotada superior e inferiormente y si
es así determine las cotas.
Solución:
a) f(6) = (6 – 2)(8 – 6) = 4 . 2 = 8 ; f(-1) = (-1 – 2)(8 - -1) = - 27
b) Df(x) = ⎨x ∈ ℜ : 2 ≤ x ≤ 8 ⎬
c) f(1 – t) = [(1 – t) - 2] [8 – (1 – t) ] = - t2 - 8 t – 7
d) f [ f(3) ] = f(5) = 9
e) y = (x – 2)(8 – x) para 2 ≤ x ≤ 8
y
9
0
2
5
8
x
21
f) La función es creciente para 2 < x < 5 pero es decreciente para 5 < x
< 8, por lo tanto su cota superior es 9 (para x = 5) y en los extremos
2 y 8, la función presenta su mínimo valor por lo tanto es acotada
inferiormente y su cota inferior es x = 0.
2. Determinar el dominio de las siguientes funciones:
a)
(3 − x)( 2 x + 4)
b)
x−2
x2 − 4
c)
sen 3 x
d) log10 (x3 – 3x2 – 4x + 12)
Solución:
a) Df(x) = ⎨ x ∈ ℜ : -2 ≤ x ≤ 3 ⎬
b) ∀ x ∈ ℜ : x ≠ ± 2
c) 2m π ≤ 3x ≤ (2m + 1) π
⇒ 2m π /3 ≤ x ≤ (2m + 1) π /3 con
m = 0, ±1, ±2,….
d) (x – 3)(x2 – 4) > 0
⇒
x > 3, -2 < x < 2
SUCESIONES
Definición 1:
Una sucesión es una función f: ℵ → ℜ tal que a cada n le
asigna f(n) = an. También se denota como ⎨ an ⎬ en que an
es el término general de la sucesión o término enésimo.
22
Ejemplo:
an = n2 ; ⎨ n2 ⎬ = 12, 22, 32,......, n2
an = 1/(2n – 1) para n = 1, 2, 3,...... los términos de la sucesión
son 1, 1/3, 1/5, 1/7,..........
Definición 2: Se dice que una sucesión es acotada si existe un número M tal
que a n < M, ∀ n ∈ ℵ
Definición 3: Una sucesión es:
i)
Estrictamente creciente si an < an+1 , ∀ n
ii)
Creciente si an ≤ an+1 , ∀ n
iii)
Estrictamente decreciente si an > an+1 , ∀ n
iv)
Decreciente si an ≥ an+1 , , ∀ n
v)
Monótona si satisface cualquiera de las condiciones anteriores.
Formas Indeterminadas
i)
∀ x ∈ ℜ, en que -∞ < x < ∞
ii)
(+∞) + a = +∞ , ∀ a ∈ ℜ
iii)
(-∞) + a = (-∞) , ∀ a ∈ ℜ
iv)
(+∞) . a = +∞ , si a > 0
v)
(-∞) . a = - ∞, si a > 0
vi)
(-∞) . a = + ∞, si a < 0
vii)
(+∞). a = - ∞, si a < 0
Las operaciones con estos símbolos que no están explícitamente definidas no
tienen sentido, nada se puede concluir, por tal razón se denominan formas
indeterminadas, por ejemplo: (+∞) + (- ∞) ; (+∞) . 0 ; (- ∞) . 0 ; etc.
23
Límite de una sucesión
El número L es el límite de la sucesión ⎨an⎬ si dado un
Definición 4:
número positivo ε, existe un número N ∈ ℵ tal que si n ≥ N, se cumple que:
a n − L < ε , es decir, L - ε < an < L + ε,
lim a n = L o que la sucesión converge hacia L.
En este caso se expresa:
Ejemplo:
∀ n ≥ N.
n→∞
Aplicando la definición de limite de una sucesión, verifique que el
limite de la sucesión u n =
3n −1
es ¾.
4n + 5
Solución:
Debemos mostrar que para cada ε > 0 (no importa cuan pequeño) existe un
número N (dependiente de ε) tal que u n −
Ahora:
n >
3n −1 3
−
4n + 5 4
⎞
1 ⎛ 19
⎜⎜
− 5 ⎟⎟
4 ⎝ 4ε
⎠
− 19
< ε
4(4n + 5)
=
3
< ε ∀ n > N.
4
cuando
19
<ε
4(4n + 5)
Escogiendo N = ¼ (19/4ε - 5) vemos que:
un =
para todo n > N, por lo tanto nlim
→∞
o bien
un −
3
< ε
4
3
4
Teorema 1:
an = A
Si nlim
→∞
y
lim bn = B entonces:
n→∞
(an + bn ) =
1. nlim
→∞
n→∞
(an − bn ) =
2. nlim
→∞
n→∞
(an .bn ) =
3. nlim
→∞
n→∞
lim an + lim bn = A + B
n→∞
lim an -
lim an
.
lim bn = A - B
n→∞
lim bn = A . B
n →∞
24
4.
lim a n
a
lim n
n→∞ b
n
n→∞
=
lim bn
A
B
=
n→∞
bn = B ≠ 0
en que nlim
→∞
Si B = 0 y A ≠ 0 entonces el límite no existe, pero si A = 0 y B = 0,
entonces el límite puede existir o no.
p
5. lim a n
n→∞
p
= ⎛⎜ lim a n ⎞⎟ = Ap
⎝ n→∞ ⎠
lim an
p an = p n → ∞
6. nlim
→∞
∀ p ∈ ℜ si Ap existe.
∀ p ∈ ℜ si pA existe.
= pA
Demostración:
a n = A y lim bn = B entonces:
1. Si nlim
→∞
n →∞
lim (an + bn ) =
n→∞
lim a n + lim bn = A + B
n→∞
n→∞
Debemos demostrar que ∀ ε > 0, podemos encontrar N > 0 tal que
(a n + bn ) − ( A + B) < ε
a+b ≤ a + b
resulta:
a n − A + bn − B .
∀ n > N.
De la desigualdad con módulo
(a n + bn ) − ( A + B ) = (a n − A) + (bn − B ) ≤
Por hipótesis, dado ε > 0 podemos encontrar N1 y
N2 tal que:
an − A <
1
ε
2
de la desigualdad:
∀ n > N1
y
bn − B <
(a n + bn ) − ( A + B) <
1
ε
2
∀ n > N2
1
1
ε + ε = ε
2
2
∀n>N
en que
se debe considerar a N como el mayor de N1 y N2
25
Teorema 2.
Toda sucesión convergente está acotada
a n = A, debemos demostrar que existe un número
Demostración: Dado nlim
→∞
positivo P tal que a n < P ∀ n > N.
an = an − A + A ≤ an − A + A
Por hipót., se sabe que podemos encontrar N tal que:
Por desigualdad con módulo:
a −b ≥ a − b ⇒
an − A < ε
∀n>N
an < ε + A
∀n>N
Por lo tanto se cumple a n < P ∀ n > N si escogemos P como el mayor de
los números: a1, a2, a3,......., an, ε + A .
TAREA: Demostrar los restantes.
Ejercicios:
1. Calcular los límites de las siguientes sucesiones aplicando los teoremas de
límites:
a)
d)
lim
n→∞
lim 3
n→∞
4 − 2n − 3n 2
2n 2 + n
(3 −
b)
n ) ( n + 2)
8n − 4
lim
3n 2 − 5n + 4
n→∞
e)
lim
n→∞
2n − 7
( n 2 + n − n)
c) nlim
→∞
4 .10 n − 3.10 2 n
3.10 n − 1 + 2 .10 2 n − 1
( 2 n + 3 n )1 / n
f) nlim
→∞
2. Aplicando la definición de límite de una sucesión, demuestre que:
lim
n→∞
4 − 2n
−2
=
3n + 2
3
26
LIMITE DE FUNCIONES.
Sea y = f(x) una función numérica. Decimos que L es el límite
Definición:
de esta función en x = a, con a ∈ ℜ, si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal
que, si 0 < x − a < δ entonces
f ( x) − L < ε , se expresa:
lim f ( x) = L
x→a
Y
L+ε
L
y = f(x)
L-ε
O
a-δ
a
a+δ
X
x2 − 1
Ejemplo: Si f(x) =
x +1
ε
>
0
f ( x) = − 2 . Significa que dado
entonces xlim
→ −1
queremos
que
f ( x) − L =
x 2 −1
− (−2) = x −1+ 2 = x − (−1) < ε
x +1
27
DERIVADA DE UNA FUNCION
Definición:
Sea y = f(x) una función definida en todo punto x0 del
intervalo abierto (a, b). Se define la derivada de la función en el
punto x = x0 al límite:
lim =
h→0
Si este límite existe.
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
d
dy
f ( x) =
⎜
dx
dx x = x0
Se denota como:
Interpretación Geométrica
Y
B
Q
P
θ
δ
S
f ( x0 + h ) – f ( x0 )
R
Δx = h
f(x0)
A
X
x0
x0 + h
Sea la curva APQB la representación de la función y = f(x) de la figura, el
cuociente
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 )
QR
= tg θ
=
PR
Δx
es la pendiente de la secante
que une los puntos P y Q de la curva. Cuando Δx → 0 la secante se aproxima
a la tangente a la curva en el punto P, es decir PS entonces:
lim =
x→0
f ( x0 + Δx ) SR
=
= tg δ
Δx
PR
28
29