Práctico 1

Representaciones de grupos finitos (2c-2014)
Práctico 1
(1) Sean G un grupo nito, V un espacio vectorial (no necesariamente de dimensión nita) y sea
ρ : G → GL(V ) un morsmo de grupos. Probar que existe un subespacio vectorial de V que es
G-invariante y de dimensión nita.
De ahora en adelante representación querrá decir representación de grado nito.
(2) Sean G grupo nito munido de una acción sobre un conjunto nito X y k un cuerpo. Mostrar
que:
a)
la acción induce una representación (ρ, V ) de G en V := kX por ρ(g)x := g · x;
b)
(ρ, V ) se descompone en suma de irreducibles como la representación trivial más otra repre-
sentación de grado |X| − 1.
(3) Usar el ejercicio anterior para mostrar que la representación permutación de Sn se descompone
como suma de la representación trivial más la representación estándar st.
(4) Sea ρ : R → GL(R2 ) dada por ρ(a)(1, 0) = (1, 0) y ρ(a)(0, 1) = (a, 1), para todo a ∈ R. Mostrar
que (ρ, R2 ) es representación de (R, +) y que el subespacio generado por (1, 0) es un subespacio
R-invariante que no tiene un complemento R-invariante.
(5) Mostrar que si |G| > 1, entonces la representación regular no es irreducible.
(6) Dar un ejemplo de grupo nito y un cuerpo k, con car k||G|, tales que el Teorema de Maschke no
se cumpla.

(7) Sean p primo, G = Z/pZ = k, g un generador de G, ρ(g) = 
1 1
0 1

 Mostrar que ρ determina
una representación de grado dos de G sobre k que es indescomponible y no irreducible.
(8) Sea (ρ, V ) una representación de un grupo nito G sobre C.
(i) Para cada g ∈ G, ρ(g) es un operador diagonalizable.
(ii) Para cada g ∈ G, ρ(g) es un operador unitario.
(iii) Si |G| > 1 y (ρ, V ) es irreducible y de grado > 1, entonces no existe una base de V en la que
los operadores {ρ(g) | g ∈ G} diagonalizan simultáneamente.
(9) Todo grupo tiene una represenacion el.
2
(10) ¾Cuáles de los siguientes grupos tienen al menos una representación irreducible y el?
(a) Z/nZ. (b) Dn . (c) An . (d) Sn . (e) Z/3Z × D4 .
(11) Sea (ρ, V ) una representación de un grupo nito G. Probar que:
(i) deg(ρ, V ) = deg(ρ∗ , V ∗ );
(ii) (ρ, V ) es irreducible si y sólo si (ρ∗ , V ∗ )es irreducible.
(12) Sean (ρ, V ), (σ, W ) representaciones de un grupo nito G y B1 = {v1 , . . . , vn }, B2 = {w1 , . . . , wm }
bases de V y W , respectivamente. Mostrar que
[(ρ ⊗ σ)(g)]B3 = [([ρ(g)]B1 )i,j · [σ(g)]B2 ] ,
para cada g ∈ G, donde B3 = {vi ⊗ wj | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}.
(13) Sean m ∈ N, G = Z/mZ (el grupo cíclico de m elementos) y g un generador de G. Sea k un
cuerpo con car k 6 | m y que contiene m raíces distintas de la unidad ξj , 1 ≤ j ≤ m. Denamos
ρ : G → GL(m, k) por ρ(g) = diag(ξ1 , . . . , ξm ). Probar que ρ dene una representación de G
equivalente a la representación regular (a izquierda).
(Ayuda: `(g)S = Sρ(g), con S la matriz de Vandermonde asociada a los ξj 's.)
(14) Sea ρ : R → GL(R2 ) dada por ρ(a)(1, 0) = (1, 0) y ρ(a)(0, 1) = (a, 1), para todo a ∈ R. Mostrar
que (ρ, R2 ) es representación de (R, +) y que el subespacio generado por (1, 0) es un subespacio
R-invariante que no tiene un complemento R-invariante.

(15) Mostrar que la representación de grado dos de G := Z/4Z = hgi dada por g 7→ 
0 −1
1
0

 es
irreducible sobre R, pero no sobre C. Dar un ejemplo de una situación análoga con el grupo
G := Z/3Z.