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Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE
Título original: On the metaphysics of mathematics
© De la traducción: Emilio Méndez Pinto
Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o
eléctrico sin la autorización por escrito de los coeditores.
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1. Las matemáticas tienen por objeto todas las cantidades extensivas (aquellas cuyas
partes puedan pensarse) y las cantidades intensivas (todas las cantidades no-extensivas)
sólo en la medida en que dependan de las extensivas. Al primer tipo de cantidades
pertenecen el espacio o las cantidades geométricas (que incluyen las superficies, los
cuerpos, y los ángulos), el tiempo, y el número, mientras que al segundo tipo pertenecen
la velocidad, la densidad, la dureza, la altura y profundidad de los tonos, la fuerza de los
tonos y de la luz, la probabilidad, etcétera.
2. Una cantidad, por sí misma, no puede ser objeto de la investigación
matemática, porque las matemáticas consideran cantidades únicamente a partir de su
relación entre sí. A la relación de cantidades entre sí (sólo en la medida en que sean
cantidades) se le llama relación aritmética. Para las cantidades geométricas también
existe una relación respectiva a la locación, y se le llama relación geométrica. Es claro
que las cantidades geométricas también pueden tener relaciones aritméticas entre sí.
3. Ahora bien, las matemáticas realmente enseñan verdades generales acerca de
las relaciones entre cantidades, y su objetivo es representar cantidades que tienen
relaciones conocidas con cantidades conocidas o con cantidades conocidas que tienen
relaciones conocidas, esto es, posibilitar una idea de esto. Podemos tener la idea de una
cantidad de dos formas distintas: a partir de una intuición inmediata o de una
comparación con otras cantidades dada una intuición inmediata. La tarea de los
matemáticos es, de acuerdo con esto, o bien representar realmente la cantidad buscada
(representación o construcción geométrica), o bien indicar la forma por la cual, a partir
de la idea de una cantidad dada inmediatamente, uno puede alcanzar la idea de la
cantidad buscada (representación aritmética). Esto tiene lugar por medio de los
números, que muestran cuántas veces debe uno imaginar, reiteradamente,1 la cantidad
dada de manera inmediata si uno ha de obtener una idea de la cantidad buscada.
4. Estas distintas relaciones entre las cantidades y los distintos medios para
representarlas constituyen el fundamento de las dos principales disciplinas matemáticas.
La aritmética considera cantidades en relaciones aritméticas, y las representa
aritméticamente; la geometría considera cantidades en relaciones geométricas, y las
representa geométricamente. Representar geométricamente cantidades que tienen
relaciones aritméticas - práctica muy común entre los antiguos - es muy poco frecuente
hoy en día. Si no fuese así, uno tendría que considerar esto como una parte de la
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Ocasionalmente sucede que debemos imaginar reiteradamente una parte de la cantidad, lo que da lugar
al concepto de fracción.
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geometría. Por el contrario, uno aplica constantemente el modo de representación
aritmético a las cantidades en relación geométrica (por ejemplo en la trigonometría), y
también en la teoría de las líneas dobladas, que uno considera como una disciplina
geométrica. El que los modernos prefieran los modos de representación aritméticos por
encima de los geométricos obedece a una razón, sobre todo si consideramos que nuestro
método para contar (por decenas) es mucho más sencillo que el de los antiguos.
5. Debido a que puede haber una gran diferencia entre las relaciones aritméticas
de las cantidades, las partes de la ciencia matemática poseen una naturaleza muy
diversa. La circunstancia más importante es si estas relaciones presuponen o no el
concepto del infinito. Si sí lo presuponen, entonces pertenecen al campo de las
matemáticas superiores; si no, pertenecen al campo de las matemáticas comunes o
inferiores. Paso por alto las subdivisiones más remotas que pueden derivarse de los
conceptos anteriores.
6. En la aritmética uno determina todas las cantidades al indicar cuántas veces
debe repetirse o ponerse junta una cantidad conocida (la unidad) o una parte alícuota de
la unidad para así obtener una cantidad igual a ella. Esto es, uno expresa la cantidad por
un número, y es así que el objeto propio de la aritmética es el número. Pero como es
posible abstraer del significado de la unidad, debe haber un medio para reducir
cantidades dadas por unidades distintas a una unidad común (este problema será
resuelto en lo que sigue).
7. Como el objeto propio de las matemáticas es la relación de cantidades,
debemos familiarizarnos con las más importantes de estas relaciones, y especialmente
con aquellas que, debido a su simplicidad, pueden considerarse como elementos de las
otras [aunque en realidad, incluso aquí, la primera de estas relaciones (adición y
sustracción) es la base de las otras (multiplicación y división)].2
8. La relación más simple entre las cantidades es indudablemente la que existe
entre los todos y las partes, que ya es una consecuencia inmediata del concepto de
cantidad extensiva. El principal teorema de esta relación, que uno puede considerar
como un axioma, es que las partes, si están unidas en cualquier orden, y si ninguna de
ellas es omitida, son iguales al todo. El primer modo (especie) de cálculo, la adición,
muestra cómo encontrar el todo desde las partes; el segundo, la sustracción, muestra
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Aunque las siguientes verdades son válidas tanto para las fracciones como para los enteros, aquí serán
más apropiadas sólo para los enteros, y las explicaciones en lo que sigue sólo requerirán una pequeña
alteración para ser aplicables para las fracciones.
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cómo, dado el todo y una parte, uno encuentra la otra. Con respecto a la adición, a las
partes se les llama cantidades sumadas y al todo suma o agregado; con respecto a la
sustracción, al todo se le llama mayor o minuendo, a la parte conocida menor, y a la
parte buscada diferencia o resta. Es claro que el menor y la diferencia deben ser
intercambiables entre sí.
9. En cuanto a la relación entre el todo y sus partes, uno tiene que reparar en la
relación de lo simple y lo múltiple, que también produce dos modos de cálculo. En esta
relación debemos considerar tres cantidades: la simple, la múltiple, y el número que
indica qué tipo de múltiple se trata. La multiplicación muestra cómo encontrar la
segunda a partir de la primera y la tercera; la división muestra cómo encontrar la tercera
a partir de las primeras dos. Con respecto a la multiplicación, a la [cantidad] simple se le
llama multiplicando, al número que determina el tipo de multiplicidad multiplicador
(ambos son los factores), y a la [cantidad] múltiple se le llama producto. Con respecto a
la división, a la [cantidad] simple se le llama divisor, cociente al número que determina
el tipo de multiplicidad, y dividendo a la [cantidad] múltiple.
10. Las principales verdades de la multiplicación son las siguientes:
(1) Multiplicar el multiplicador por el multiplicando da el mismo producto que
[se obtiene] al multiplicar el último por el primero, esto es, los factores pueden ser
intercambiados: a.b = b.a .
(2) Si el multiplicador es un producto, entonces, en lugar de multiplicar el
multiplicando por el multiplicador, uno puede multiplicar el multiplicando por un factor
del multiplicador y después multiplicar el producto resultante por el segundo factor:
(a.b).c = a.(b.c) .
(3) Un producto de varios factores se mantiene sin cambios independientemente
del orden en el que uno tome tales factores: a.b.c.d = a.d .c.b = c.b.a.d , etc.
(4) No importa si uno multiplica el multiplicando todo de una vez por el
multiplicador, o si multiplica sus partes individualmente por el multiplicador y añade
los productos resultantes: (a + b).c = ab + ac .
(5) No importa si uno multiplica el multiplicando todo de una vez por el
multiplicador, o si lo multiplica por las partes del multiplicador y une los productos:
a (b + c) = ab + ac .
11. La división nos muestra cómo encontrar, a partir de la [cantidad] múltiple y
de la [cantidad] simple, la cantidad que determina el tipo de multiplicidad. Así que aquí
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hay tres cantidades en exactamente la misma relación entre sí que en la multiplicación,
y lo que se probó para aquellas debe también ser válido aquí, con la excepción de que
uno utiliza los nombres acostumbrados para este modo de cálculo en lugar de los que
suelen emplearse para la multiplicación. Cuando allá se muestra que el multiplicador y
el multiplicando pueden ser intercambiados (esto es, que la [cantidad] simple puede ser
considerada como una cantidad determinante de la [cantidad] múltiple, y que la cantidad
determinante de la múltiple como una simple), aquí esto equivale a decir que el cociente
y el divisor pueden ser intercambiados. Consecuentemente, si el cociente y el dividendo
están dados, uno encuentra al divisor por exactamente la misma operación que resultaría
si el divisor y el dividendo estuviesen dados. Así es que uno ve que, aunque son
posibles tres combinaciones, únicamente surgen dos modos de cálculo.
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