lcrtmb 2,0 1,1 4,2 3,4 1,2 2,3 1,3 0,2 3,0 lrtb 2,1 0,2 1,2 3,0

Hoja de ejercicios 2
Microeconomı́a: Organización Industrial I
Diciembre 2005
Prof. Fernando Garcı́a-Belenguer Campos
1. En el siguiente juego en forma normal establezca las estrategias que sobreviven a la eliminación iterada de estrategias estrictamente dominadas. Indique además si hay algún
conjunto de estrategias que formen un equilibrio de Nash tanto en estrategias puras como
en estrategias mixtas.
L C R
T 2,0 1,1 4,2
M 3,4 1,2 2,3
B 1,3 0,2 3,0
2. Los jugadores 1 y 2 negocian sobre como repartirse 1 euro. Ambos jugadores proponen
simultáneamente las proporciones que quieren tener, s1 y s2 , donde 0 < s1 , s2 < 1. Si
s1 + s2 ≤ 1, entonces cada jugador recibe la proporción que ha propuesto; si s1 + s2 > 1,
entonces ambos jugadores reciben cero. Establezca los posibles equilibrios de Nash en
estrategias puras de este juego
3. Encuentre los equilibrios de Nash del siguiente juego en forma normal.
L R
T 2,1 0,2
B 1,2 3,0
4. Considere la siguiente subasta (subasta de segundo precio). Se subasta un objeto a I
individuos. La valoración que tiene el individuo i del objeto es vi . El procedimiento de la
subasta es que cada individuo escribe el dinero que está dispuesto a pagar por el objeto y
lo entrega en un sobre. Una vez entregados todos los sobres el individuo que ha ofrecido la
mayor cantidad se lleva el objeto pagando la segunda oferta más alta y no la que él hizo.
Si hay más de una oferta con la cantidad máxima se sortea el objeto entre los individuos
que hicieron la oferta más alta.
a) Suponga que todos los jugadores conocen las ofertas de todos, clasifique las estrategias
de cada jugador como dominantes o no y busque el equilibrio del juego.
b) Suponga ahora que la oferta entregada en el sobre no es conocida por nadie más que el
jugador en cuestión. Demuestre que ofrecer vi es una estrategia débilmente dominante
para el individuo i. Discuta además que ésta es la única estrategia del individuo i
que es débilmente dominante. Nota: una estrategia s∗i es débilmente dominante para
el individuo i si ui (s∗i , s−i ) ≥ ui (si , s−i ) para toda si ∈ Si y s−i ∈ S−i .
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5. Modelo de negociación de Rubinstein. Es un juego de tres periodos en el que hay dos
jugadores que negocian sobre la parte de un euro que se lleva cada uno. Cada uno va
haciendo ofertas de forma alternativa. En el primer periodo el jugador 1 hace una propueta
al jugador 2 (s1 , 1 − s1 ), donde s1 es la proporción del euro que se lleva el jugador 1 y
1 − s1 la que se lleva 2. En este primer periodo el jugador 2 puede aceptar o rechazar
la propuesta. Si la acepta se acaba el juego y los pagos son (s1 , 1 − s1 ), si la rechaza se
pasa al segundo periodo. En el segundo periodo es el jugador 2 el que hace la propuesta
(s2 , 1 − s2 ) y 1 la acepta o rechaza. Si 1 acepta la propuesta los pagos son (s2 , 1 − s2 ), si
la rechaza se pasa al tercer periodo en el que un juez imparcial decide que los pagos sean
(s, 1 − s) donde 0 < s < 1. Resuelva este juego por inducción hacia atrás suponiendo que
el factor de descuento para los dos individuos es 0 < δ < 1.
6. Considere el siguiente juego en el que los juagadores 1 y 2 tienen las siguientes estrategias:
L C R
T 5,5 2,6 0,7
M 6,2 3,3 0,0
B 7,0 0,0 1,1
a) Describa los equilibrios de Nash en estrategias puras del juego de etapa.
b) Suponga que el juego se juega dos veces. Describa los posibles resultados perfectos en
subjuegos con estrategias puras.
c) Ahora el juego se juega un numero infinito de veces. Si el factor de descuento de los dos
jugadores es δ, dé las condidiciones bajo las que se puede establecer una estrategia
en la que jugar (T,L) es un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.
7. Suponga dos empresas que compiten a la Cournot obteniendo un beneficio cada una de 1
millón de euros. Si ambas cooperasen poniendo el precio del monopolista obtendrı́an cada
una 3 millones. Sin embargo, si una se desvı́a de la estrategia de cooperar obtiene en el
periodo que se desvı́a 4 millones , mientras que la otra obtiene cero.
a) Escriba el juego en forma normal y detalle todos los equilibrios de Nash.
b) Suponga ahora que el juego se repite un número infinito de veces. Establezca una
estrategia en la que las dos empresas cooperan suponiendo que el factor de descuento
es δ para las dos empresas. Compruebe que dicha estrategia es un equilibrio de Nash
perfecto en subjuegos.
c) Establezca si la estrategia propuesta en el apartado anterior es un equilibrio en el juego
repetido un número finito de veces.
8. En un juego con dos etapas el primer jugador puede elegir L o S. Una vez hecha la elección
por el jugador 1, el jugador 2 observa lo que ha escogido el 1 y elige también entre L
y S. Los pagos son (7,5) si eligieron (L,L), (5,4) si (L,S), (6,4) si (S,L) y (6,3) si (S,S).
Represente el juego tanto en su forma normal como extensiva, explicando las estrategias
de cada jugador. Halle el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.
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9. Examine el siguiente juego no cooperativo en forma normal entre dos empresas asimétricas
en donde las empresas pueden coludir o competir a la Cournot (no colusión) recibiendo en
cada caso los siguientes pagos:
c nc
c 9,6 2,1
nc 10,4 3,7
Las empresas reciben pagos distintos con las mismas estrategias debido a diferencias en
sus funciones objetivo (diferentes actitudes al riesgo).
a) Halle las estrategias dominantes, si existen, de ambos jugadores y el conjunto de estrategias de equilibrio de Nash
b) Considere la repetición infinita del juego. Describa la pareja de estrategias de gatillo
del juego repetido y diga cómo es posible obtenener la pareja de estrategias (c,c)
como equilibrio de Nash del juego repetido infinitas veces. Si repetimos el juego un
número finito de veces, comente porqué la colusión es/no es un equilibrio de Nash.
10. Un jugador va a apostar 100 euros a favor de que su caballo va a ganar la carrera. Si su
función de utilidad es logarı́tmica y su riqueza es de 1000 euros, establezca la probabilidad
mı́nima que asigna el jugador a que gane su caballo.
11. Un turista se piensa gastar en su viaje 10.000 euros. La utilidad de este viaje es función
de cuanto gaste durante el viaje u(y) = ln y.
a) Si hay una probabilidad de un cuarto de que pierda 1000 euros durante el viaje, establezca la utilidad esperada del viaje.
b) Suponga que el turista puede comprar un seguro contra la pérdida que le cuesta 250
euros. Demuestre que su utilidad esperada es mayor si compra el seguro.
c) Calcule la cantidad máxima que está dispuesto a pagar el turista por el seguro.
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