Economía política Jorge M. Streb Clase 4 6.7.2011 Temas I

Economía política
Jorge M. Streb
Clase 4
6.7.2011
Temas
I. Discusión de trabajo práctico 1
II. Equilibrio de Nash perfecto en subjuegos
III. Información imperfecta e incompleta
IV. Equilibrio de Nash bayesiano perfecto
V. Modelos de voto probabilista
Desarrollo
I. Discusión de trabajo práctico 1
II. Equilibrio de Nash perfecto en subjuegos
A. Forma normal y forma extensiva
Para los juegos de dos jugadores, la forma normal se puede ver como una generalización
de una matriz de decisión bajo incertidumbre donde los cursos de acción determinan las
filas, los estados de naturaleza las columnas y las celdas representan los pagos del decisor.
La forma normal es una matriz de juegos donde las filas son los cursos de acción del primer
jugador, las columnas son los cursos de acción del otro jugador y las celdas son pares
ordenados que representan los pagos de los jugadores fila y columna (en ese orden). La
incertidumbre del jugador fila sobre los pagos pasa a ser endógena, ya que depende de la
respuesta del otro jugador a sus acciones, y no exógena como en el caso donde las
columnas son los diversos estados de la naturaleza.
De forma similar, la forma extensiva se puede ver como una generalización de árbol de
decisión para contemplar la interacción de dos (o más) jugadores. Mientras que para
decisiones simultáneas es más simple mirar forma normal, para decisiones secuenciales la
forma extensiva es más conveniente.
1
B. Conjuntos de información, estrategias, subjuegos y equilibrio de Nash perfecto en
subjuegos
Las definiciones siguen a Gibbons (1992), capítulo 2.
Definición: Un “conjunto de información” es un conjunto de nodos de decisión donde
(i) un mismo jugador decide y (ii) no puede distinguir entre los nodos decisión
pertenecientes a ese conjunto.
Definición: Una “estrategia” es un plan completo de acción que especifica una acción para
cada conjunto de información en la cuál pueda actuar jugador.
Definición: Un “subjuego” (i) empieza en un conjunto de información con nodo de
decisión unitario (que no sea el inicial, sino el juego primitivo es trivialmente un subjuego),
(ii) incluye todos los nodos decisión y terminales que siguen, (iii) no corta conjuntos de
información, es decir, todos los jugadores que participan saben que el juego pasó por el
nodo en punto (i).
Definición: un “equilibrio de Nash perfecto en subjuegos” es un equilibrio donde las
estrategias de los jugadores son un equilibrio de Nash tanto en el juego como también en
cada subjuego.
Esta idea proviene de Selten. Si se restringen las estrategias a un subjuego, la idea es que
debe seguir siendo un equilibrio de Nash. Se puede decir que el equilibrio de Nash perfecto
en subjuegos es Nash Nash, ya que es la doble aplicación del criterio de Nash: es equilibrio
de Nash en juegos y equilibrio de Nash en subjuegos.
C. Ejemplo donde equilibrios de Nash y de Nash perfecto en subjuegos no coinciden
Si se resuelve por inducción hacia atrás el gráfico 1, el jugador 2 juega la estrategia D en
los dos subjuegos, y el jugador 1 juega I: esto lleva al equilibrio Nash perfecto en subjuegos
[I, (D,D)]. El resultado del juego es (I,D) que lleva a pagos de (10,0).
2
Gráfico 1. Juego con amenazas no creíbles
Jugador 1
D
I
Jugador 2
I
Jugador 2
D
I
2,
-2
10,
0
D
2,
-2
3,
4
Si representamos a este juego en forma normal, el jugador 1 puede elegir a1∈A1={I,D},
y dado a1, el jugador 2 puede elegir a2∈A2={I,D}. Los pagos (u1(a1, a2), u2(a1, a2)) son (2,2) para (I,(I,.), (10,0) para (I,(D,.), (2,-2) para (D,(.,I )y (3,4) para (D,(.,D ).
Cuadro 1. Juego con amenazas no creíbles
Jugador 2
Jugador 1
I,I
I,D
D,I
D,D
I
2,-2
2,-2
10,0
10,0
D
2,-2
3,4
2,-2
3,4
En este juego, hay tres equilibrios Nash en estrategias puras: [I, (D,I)], [I, (D,D)], y [D,
(I,D)].
La idea de Selten de que en cada subjuego las estrategias sean un equilibrio Nash hace
que, fuera del sendero de equilibrio, se eliminen en otros subjuegos lo que podrían ser
amenazas no creíbles (es decir, acciones que no serían ejecutadas si llegara el momento de
efectivamente hacerlas). Precisamente, el equilibrio Nash [D, (I,D)] implica lo que Selten
llama amenazas no creíbles fuera del sendero de equilibrio, a saber, que 2 juegue D si 1 se
desvía a D. Además, el equilibrio Nash [I, (D,I)] tampoco es perfecto en subjuegos, aunque
en este caso la jugada fuera de equilibrio no afecta al resultado.
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III. Información imperfecta e incompleta
A. Definiciones
Definición: información “imperfecta” es no saber acciones del otro.
Esto está relacionado con riesgo moral. Por ejemplo, en el dilema del prisionero del
cuadro 1 y del gráfico 1, las decisiones son simultáneas, por lo que hay información
imperfecta. Si el equilibrio Nash es en estrategias puras, la información imperfecta
desaparece en equilibrio; si es en estrategias mixtas, permanece.
Definición: información “incompleta” es no saber las preferencias (el “tipo”) que tiene el
otro.
Esto está relacionado con selección adversa. Fue una idea de Harsanyi para incorporar
incertidumbre sobre quién es el otro de una manera acotada, especificando tipos posibles y
distribución probabilidad de diferentes tipos
B. Ejemplo de información imperfecta con juego de coordinación
Un ejemplo de información perfecta e imperfecta es con el juego de coordinación: si hay
información perfecta, el problema de coordinación desaparece. Por ejemplo, el problema de
coordinación se puede representar como sigue cuando hay información perfecta:
Gráfico 2. Coordinación con información perfecta
Jugador 1
D
I
Jugador 2
I
Jugador 2
D
I
1,
1
0,
0
D
0,
0
1,
1
4
En este caso, no hay problema de coordinación alguno: cuando se resuelve por
inducción hay atrás, hay dos resultados posibles, que ambos elijan I o D, pero no aparece el
equilibrio en estrategias mixtas. De hecho, el jugador 1 va a estar dispuesto a jugar una
estrategia mixta, por ejemplo elegir I o D con igual probabilidad, porque el otro jugador va
a seguir su ejemplo, imitando la estrategia pura que resulta elegida (esto se conoce como
equilibrio híbrido, porque un jugador juega estrategia mixta y el otro una estrategia pura).
Si representamos esto en forma normal:
Cuadro 2. Coordinación con información perfecta
I, I
I, D
D, I
D, D
I
1,1
1,1
0,0
0,0
D
0,0
1,1
0,0
1,1
Aparecen cuatro equilibrios de Nash en estrategias puras, aunque no todos son
igualmente razonables, es decir, no todos son equilibrios de Nash perfecto en subjuegos.
Si el jugador 1 juega cualquier estrategia mixta, en cambio, el jugador 2 sólo quiere
jugar la estrategia (I,D): es es equilibrio híbrido que se corresponde con discusión anterior.
C. Ejemplo de información imperfecta e incompleta con juego de coordinación
Se puede pensar otra variante más compleja del juego de coordinación, donde hay dos
tipos de jugador 1: uno de tipo 1 que tiene buenos resultados cuando juega I, otro de tipo 2
que tiene buenos resultados cuando juega D. Esto introduce el tema de información
incompleta. Se puede representar información perfecta y completa, imperfecta y completa,
perfecta e incompleta, e imperfecta e incompleta, como hacemos en los gráficos que siguen.
No es nuestro propósito aquí discutir los equilibrios, ya que en particular todavía no
discutimos nada de los equilibrios con información incompleta.
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Gráfico 3. Coordinación con información perfecta y completa
Naturaleza
r
1-r
Jugador 1 tipo 2
Jugador 1 tipo 1
D
I
D
1
1
0
0
Jugador 2
D
I
I
D
0
0
0
0
D
Jugador 2
Jugador 2
Jugador 2
I
I
0
0
0
0
I
D
0
0
1
1
Gráfico 4. Coordinación con información imperfecta y completa
Naturaleza
r
1-r
Jugador 1 tipo 2
Jugador 1 tipo 1
D
I
I
D
Jugador 2
Jugador 2
I
1
1
D
0
0
D
I
0
0
I
0
0
D
0
0
6
0
0
I
D
0
0
1
1
Gráfico 5. Coordinación con información perfecta e incompleta
Naturaleza
r
1-r
Jugador 1 tipo 2
Jugador 1 tipo 1
D
I
I
q
p
D
1-q
1-p
Jugador 2
Jugador 2
I
D
1
1
D
I
0
0
D
I
0
0
0
0
0
0
0
0
I
D
0
0
1
1
Gráfico 6. Coordinación con información imperfecta e incompleta
Naturaleza
r
1-r
Jugador 1 tipo 2
Jugador 1 tipo 1
D
I
I
D
Jugador 2
I
1
1
D
0
0
D
I
0
0
I
0
0
D
0
0
7
0
0
I
D
0
0
1
1
III. Equilibrio de Nash bayesiano perfecto
A. Juego continuación
Puede no haber un subjuego bien definido que empiece en un nodo unitario. Sin
embargo, puede haber un juego continuación que empiece en un conjunto de decisión no
unitario.
Como ejemplo está el gráfico 7 (que reproduce el gráfico 4.1.3 en Gibbons). Si uno
considera los equilibrios Nash, hay dos, (I,I) y (D,D), mientras que los equilibrios perfectos
en subjuegos también están dados por (I,I) y (D,D) ya que no hay subjuegos propiamente
dichos.
Gráfico 7. Juego 1 sin subjuegos
D
Jugador 1
1
3
M
I
Jugador 2
I
2
1
D
0
0
I
0
2
D
0
1
A veces la distinción entre subjuego y juego continuación es medio artificial, como en
este gráfico: si uno agrega en el gráfico que sigue la jugada no D, antes de las jugadas I y
M, entonces sí hay un subjuego propiamente dicho. Si bien eso no cambia la información
disponible al jugador 2 (que sabe, si le toca jugar, que 1 no eligió D, sino que eligió I o M),
8
sí tiene efectos sobre el equilibrio del juego: ahora se puede descartar el equilibrio Nash
(D,D), ya que D es una estrategia dominada para el jugador 2 en el nuevo subjuego.
Este ejemplo es muy específico. Por eso, ahora pasamos a ver otra manera de descartar
el equilibrio Nash donde el jugador uno mueve D. Esta idea tiene la virtud de generalizar la
idea de perfección de los subjuegos a los juegos continuación, algo que es típíco de los
juegos de señales.
Gráfico 8. Jugada que introduce subjuego sin cambiar información del juego 1
Jugador 1
D
~D
1
3
M
I
Jugador 2
I
2
1
D
0
0
I
0
2
D
0
1
B. Requisitos de equilibrio de Nash bayesiano perfecto
Los cuatro requisitos (R1 a R4) de equilibrio de Nash bayesiano perfecto, tomando la
caracterización de Gibbons en su capítulo 4, son que:
- R2: las estrategias deben ser óptimas dadas las expectativas;
- R1: los expectativas de los jugadores deben estar definidas en todos los conjuntos de
información (probabilidades subjetivas sobre cada nodo decisión en conjunto de
información), tanto sobre el sendero de equilibrio como fuera del sendero de equilibrio;
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- R3 y R4: sobre el sendero equilibrio, las expectativas están determinadas por la regla de
Bayes y las estrategias de equilibrio, y fuera del sendero equilibrio se aplica el mismo
requisito cuando es posible.
Un ejemplo es con el juego del gráfico 7: por R1 se pide que expectativas estén
definidas también en los juegos continuación, no sólo en los subjuegos. Desaparece el
equilibrio (D,D) por esta razón, sin necesidad de introducir la jugada no D discutida en el
gráfico 10 que hacía que hubiera un subjuego propiamente dicho. Por tanto, el equilibrio de
Nash bayesiano perfecto es una generalización del equilibrio Nash perfecto en subjuegos,
ya que es perfecto en juegos continuación.
Gibbons resalta que en equilibrio (Nash) bayesiano perfecto las expectativas son
elevadas al mismo nivel que las estrategias en la definición de equilibrio. De hecho esto es
una característica del equilibrio Nash sobre el sendero de equilibrio, por la consistencia de
expectativas que se agrega a racionalidad de los jugadores, donde las expectativas de todos
los jugadores están dictadas por estrategias de equilibrio; lo nuevo son que estos requisitos
se piden también, en lo posible, fuera de sendero de equilibrio.
Gibbons resalta también la circularidad de la solución, ya que el juego no
necesariamente se puede resolver de abajo hacia arriba, como cuando se usa inducción
hacia atrás en los juegos de información perfecta: esto también es típico de equilibrio Nash,
en tanto las estrategias de equilibrio son respuestas óptimas mutuas.
Una manera sucinta de caracterizar al equilibrio Nash bayesiano perfecto es decir que es
Nash, Nash, Nash: Nash en juego, Nash en subjuegos, Nash en juegos continuación.
V. Modelos de voto probabilista
Se discutió el capítulo de Streb y Torrens (2011), sección 5.1, del modelo con voto
probabilista cuando políticos son oportunistas. Se produce convergencia, pero no
necesariamente al votante mediano. Se discutió en particular la derivación del Resultado
5.1 de que los grupos de votantes más independientes tienen más impacto en las políticas de
equilibrio y que en los electorados con menor varianza de los shocks ideológicos tienen
más peso en los resultados electorales las cuestiones valorativas comunes como la
honestidad o la idoneidad.
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El gráfico que sigue muestra cómo se determina la proporción de votantes s A que
apoyan al partido A, dado por [σ i , j − ( −1 /( 2φ j ))]φ j . El desarrollo completo está en la página
23 de Streb y Torrens (2011).
Gráfico 9. Porcentaje de votantes de grupo j con σ i , j menor que σ s , j dada por área rayada
φj
-1/(2φ j)
σ s,j
0
1/(2φ j)
El gráfico que sigue muestra como la probabilidad π A de ganar del partido A está dada


por [EXPRESION − (−1 /( 2ψ ))]ψ , donde EXPRESION = ∑ α jφ j (W ( p A , j ) − W ( p B , j ) + γ jν ) / ϕ . La

j
fórmula completa aparece en la ecuación (11) de Streb y Torrens (2011).
11

Gráfico 10. Probabilidad de que
δ
sea menor que EXPRESION dada por área rayada
ψ
-1/(2ψ )
0
EXPRESIÓN
1/(2ψ )
Referencias
Gibbons, Robert (1992), Game theory for applied economists, Princeton, NJ, Princeton
University Press (en castellano: Un primer curso de teoría de juegos, Barcelona,
Bosch).
Streb, Jorge M., y Gustavo Torrens (2011), “La economía política de la política fiscal”,
borrador de capítulo preparado para Progresos en economía del sector público, editado
por Fernando Navajas y Alberto Porto.
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