Sesión teórica 14

Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Diferenciabilidad
Regla de la cadena (vectorial)
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
1
Función diferenciable
2
Regla de la cadena (2 variables)
3
Regla de la cadena (vectorial)
Regla de la cadena (vectorial)
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
OBJETIVO
Generalizar el concepto de diferenciabilidad (conocido ya
para funciones de una variable) a funciones de varias
variables.
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Caso de una variable
Una función de una variable es diferenciable en un punto x0 si
existe un número real t tal que:
f (x0 + h) − f (x0 )
= t.
h
h→0
lı́m
Esto también puede expresarse como que
f (x0 + h) − f (x0 )
= t + E(h),
h
con E(h) continua en h = 0 y tal que E(0) = 0
o bien
f (x0 + h) = f (x0 ) + ht + hE(h)
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Caso de una variable
O si lo preferimos, para valores de x “próximos” a x0 existe un
número real t y una función E tales que lı́mx→x0 E(x − x0 ) = 0 y
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )t + (x − x0 )E(x − x0 )
OBSERVACIÓN: Nótese que esta igualdad obliga a que t sea
f 0 (x0 ).
Interpretación geométrica: f (x) es igual a la recta tangente (no
vertical) a la gráfica de f en el punto de abcisa x − x0 más un
error que tiende a cero de “grado” superior a 1
((x − x0 )E(x − x0 )) cuando x → x0 (tiende a 0 “más
rápidamente que” x − x0 ).
Informalmente: para puntos “cercanos” a (x0 , f (x0 )) la gráfica
de f “es muy parecida” a la de y = f 0 (x0 )(x − x0 ) (la recta
tangente).
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Generalización a funciones de 2 variables
Generalización de la idea geométrica (intuitiva): una función de
dos variables f (x, y ) será diferenciable en un punto (x0 , y0 )
interior de su dominio si la gráfica de f en (x0 , y0 , f (x0 , y0 ))
tiene plano tangente no vertical.
Generalización:
Definición
Sea f : A ⊆ R2 −→ R y sea (x0 , y0 ) punto interior de A.
Diremos que f es diferenciable en (x0 , y0 ) si existen reales p, t1
y t2 y existen funciones φ, ψ : R2 −→ R continuas en (0, 0) con
φ(0, 0) = ψ(0, 0) = 0 de modo que para cualesquiera h, k tales
que k(h, k)k∞ < p se cumple que
f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) + ht1 + kt2 + hφ(h, k ) + kψ(h, k)
La definición es independiente de la existencia o no de derivadas parciales
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Derivable ⇒ Existen las derivadas parciales
Teorema
Sea f : A ⊆ R2 −→ R y sea (x0 , y0 ) punto interior de A. Si f es
diferenciable en (x0 , y0 ), entonces existen las derivadas
∂f
∂f
(x0 , y0 ) = t1 y
(x0 , y0 ) = t2
parciales
∂x
∂y
(Demostrar)
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Interpretación geométrica
Si f (x, y) es diferenciable (x0 , y0 ):
f (x0 +h, y0 +k) = f (x0 , y0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 )h +
(x0 , y0 )k
∂x
∂y
+hφ(h, k ) + kψ(h, k)
si llamamos x = x0 + h, y = y0 + k :
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + D1 f (x0 , y0 )(x − x0 ) + D2 f (x0 , y0 )(y − y0 ) +
+ (x − x0 ) φ (x − x0 ), (y − y0 ) + (y − y0 ) ψ (x − x0 ), (y − y0 )
f (x, y ) es igual al plano tangente (no vertical) más un error
(bidimensional) que tiende a cero con grado superior a 1.
Gráficamente: f es diferenciable en (x0 , y0 ) si la gráfica de f en el punto
(x0 , y0 , f (x0 , y0 )) tiene plano tangente (no vertical).
Si f es diferenciable entonces existen todas las rectas tangentes en el punto,
luego existen las derivadas parciales, y todas las derivadas direccionales.
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Dos teoremas importantes
Teorema
Sea f : A ⊆ R2 −→ R y sea (x0 , y0 ) punto interior de A. Si f es
diferenciable en (x0 , y0 ), entonces f es continua en (x0 , y0 ).
Teorema
Sea f : A ⊆ R2 −→ R y sea (x0 , y0 ) punto interior de A. Si D1 f
Y D2 f son continuas en un entorno de (x0 , y0 ), entonces f es
diferenciable en (x0 , y0 ).
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
1
Función diferenciable
2
Regla de la cadena (2 variables)
3
Regla de la cadena (vectorial)
Regla de la cadena (vectorial)
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Curvas parametrizadas
Las curvas parametrizadas (o paramétricas) son funciones
continuas γ : X ⊆ R → R2 :
γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t))
donde X es una unión de intervalos
Ejemplos: Parametrización de la circunferencia unidad y
parametrización de una recta.
Diferenciabilidad
Sea γ : I ⊂ R −→ R2 , γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t)) y sea t0 un punto
interior de I. Diremos que γ es diferenciable en t0 si γ1 y γ2 lo
son, y llamaremos derivada de γ en t0 a
γ 0 (t0 ) = γ10 (t0 ), γ20 (t0 )
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Composición R → R2 → R
Regla de la Cadena (2 variables)
Sea γ : I ⊂ R −→ A ⊂ R2 , γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t)) una función
diferenciable en t0 punto interior de I. Sea f : A ⊆ R2 −→ R
diferenciable en (x0 , y0 ) = γ(t0 ) punto interior de A. Entonces,
la función compuesta g : I −→ R, definida por
g(t) = f (γ(t)) = f (γ1 (t), γ2 (t)), es diferenciable en t0 y su
derivada es
g 0 (t0 ) = D1 f (γ(t0 ))γ10 (t0 ) + D2 f (γ(t0 ))γ20 (t0 )
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Otra notación
Regla de la Cadena (2 variables)- Con notación de Leibniz
Sea γ : I ⊂ R −→ A ⊂ R2 , γ(t) = (x(t), y(t)) una función
diferenciable en t0 punto interior de I. Sea f : A ⊆ R2 −→ R
diferenciable en (x0 , y0 ) = γ(t0 ) = (x(t0 ), y (t0 )) punto interior de
A. Entonces, la función compuesta g : I −→ R, definida por
g(t) = f (γ(t)) = f (x(t), y (t)), es diferenciable en t0 y su
derivada es
g 0 (t0 ) =
dx
∂f
dy
∂f
(x(t0 ), y(t0 )) (t0 ) +
(x(t0 ), y (t0 )) (t0 )
∂x
dt
∂y
dt
Ejemplo: Cálculo de la derivada de f ◦ γ donde
γ(t) = (cos(t), sen(t)) y f (x, y) = xy.
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Regla de la cadena usando el vector gradiente
Definición
Sea f : A ⊆ R2 −→ R con derivadas parciales de primer orden
en A. Llamaremos vector gradiente de f en (x, y ) ∈ A a
∇f (x, y) = D1 f (x, y), D2 f (x, y )
Otra fórmula para la Regla de la Cadena
g 0 (t0 ) = ∇f (γ(t0 )) · γ 0 (t0 )
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Aplicación de la regla de la cadena: cálculo de
derivadas direccionales
Teorema
Sea f : A ⊆ R2 −→ R diferenciable en (x0 , y0 ) punto interior de
A y sea v = (v1 , v2 ) ∈ R2 un vector unitario. Entonces, la
derivada direccional Dv f (x0 , y0 ) puede calcularse como
Dv f (x0 , y0 ) = D1 f (x0 , y0 )v1 + D2 f (x0 , y0 )v2 = ∇f (x0 , y0 ) · v
(Demostrar)
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Algunas observaciones
Si f es diferenciable en (x0 , y0 ), entonces la gráfica de f
tiene plano tangente en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) y este
plano contiene a todas las rectas tangentes (derivadas
direccionales), luego conociendo dos de ellas (por ejemplo
las correspondientes a las derivadas parciales) todas las
demás pueden expresarse como combinación de ellas.
Si f es diferenciable en (x0 , y0 ), entonces la derivada de f
en la dirección dada por cualquier vector unitario v ∈ R2 es
Dv f (x0 , y0 ) = ∇f (x0 , y0 ) · v = k∇f (x0 , y0 )kkv k cos(θ).
Esta expresión es máxima cuando el vector v es
proporcional a ∇f (x0 , y0 ) (es decir, cos(θ) = 1). Por lo
tanto, la dirección de pendiente máxima de f en el punto
(x0 , y0 ) viene dada por el vector gradiente ∇f (x0 , y0 ).
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Generalización a varias variables
∇f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
= D1 f (x1 , x2 , . . . , xn ), D2 f (x1 , x2 , . . . , xn ), . . . , Dn f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn
g 0 (t) = D1 f (γ(t))γ10 (t) + D2 f (γ(t))γ20 (t) + · · · + Dn f (γ(t))γn0 (t)
o bien
g 0 (t) = ∇f (γ(t)) · γ 0 (t)
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
1
Función diferenciable
2
Regla de la cadena (2 variables)
3
Regla de la cadena (vectorial)
Regla de la cadena (vectorial)
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
R2
ϕ /
Rn
f
Regla de la cadena (vectorial)
/R
f depende de n variables y toma valores reales:
f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R
ϕ depende de 2 variables y tiene n componentes:
ϕ(x, y ) = (ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y ), . . . , ϕn (x, y))
Consideremos la función compuesta:
g(x, y ) = f (ϕ(x, y )) = f (ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y), . . . , ϕn (x, y ))
| {z }
| {z } | {z }
x1
x2
xn
Puede verse como un “cambio de variable” en el que cada xi
pasa a depender de x e y por medio de la función ϕi :
xi = ϕi (x, y)
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Regla de la cadena (con notación de Leibniz)
g(x, y ) = f (ϕ(x, y)) = f (ϕ1 (x, y ), ϕ2 (x, y), . . . , ϕn (x, y ))
| {z }
| {z } | {z }
x1
x2
xn
∂f ∂x1
∂f ∂x2
∂f ∂xn
∂g
=
+
+ ··· +
∂x
∂x1 ∂x
∂x2 ∂x
∂xn ∂x
∂g
∂f ∂x1
∂f ∂x2
∂f ∂xn
=
+
+ ··· +
∂y
∂x1 ∂y
∂x2 ∂y
∂xn ∂y
Con notación matricial:
 ∂x1
∂x
h
∂g
∂x
∂g
∂y
i
=
h
∂f
∂x1
∂f
∂x2
i  ∂x2

∂f
· · · ∂xn ·  ∂x.
 ..
∂xn
∂x
∂x1 
∂y
∂x2 
∂y 
.. 
. 
∂xn
∂y
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Regla de la cadena (con notación de Leibniz)
g(x, y ) = f (ϕ(x, y)) = f (ϕ1 (x, y ), ϕ2 (x, y), . . . , ϕn (x, y ))
| {z }
| {z } | {z }
x1
x2
xn
∂f ∂x1
∂f ∂x2
∂f ∂xn
∂g
=
+
+ ··· +
∂x
∂x1 ∂x
∂x2 ∂x
∂xn ∂x
∂g
∂f ∂x1
∂f ∂x2
∂f ∂xn
=
+
+ ··· +
∂y
∂x1 ∂y
∂x2 ∂y
∂xn ∂y
Con notación matricial:
 ∂x1
∂x
∇g =
h
∂f
∂x1
∂f
∂x2
i  ∂x2

∂f
· · · ∂xn ·  ∂x.
 ..
∂xn
∂x
∂x1 
∂y
∂x2 
∂y 
.. 
. 
∂xn
∂y
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Regla de la cadena (con notación de Leibniz)
g(x, y ) = f (ϕ(x, y)) = f (ϕ1 (x, y ), ϕ2 (x, y), . . . , ϕn (x, y ))
| {z }
| {z } | {z }
x1
x2
xn
∂f ∂x1
∂f ∂x2
∂f ∂xn
∂g
=
+
+ ··· +
∂x
∂x1 ∂x
∂x2 ∂x
∂xn ∂x
∂g
∂f ∂x1
∂f ∂x2
∂f ∂xn
=
+
+ ··· +
∂y
∂x1 ∂y
∂x2 ∂y
∂xn ∂y
Con notación matricial:
 ∂x1
∂x
 ∂x2

∇g = ∇f ·  ∂x.
 ..
∂xn
∂x
∂x1 
∂y
∂x2 
∂y 
.. 
. 
∂xn
∂y
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Regla de la cadena (con notación de Leibniz)
g(x, y ) = f (ϕ(x, y)) = f (ϕ1 (x, y ), ϕ2 (x, y), . . . , ϕn (x, y ))
| {z }
| {z } | {z }
x1
x2
xn
∂f ∂x1
∂f ∂x2
∂f ∂xn
∂g
=
+
+ ··· +
∂x
∂x1 ∂x
∂x2 ∂x
∂xn ∂x
∂g
∂f ∂x1
∂f ∂x2
∂f ∂xn
=
+
+ ··· +
∂y
∂x1 ∂y
∂x2 ∂y
∂xn ∂y
Con notación matricial:


∇ϕ1
∇ϕ 
 2
∇g = ∇f ·  .. 
 . 
∇ϕn
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Matriz de Jacobi
La matriz formada por las m × n derivadas parciales (Di ϕj (x))
de una función ϕ : Rn −→ Rm , se llama matriz de Jacobi de ϕ
en el punto x, y se denota por Jϕ (x). También puede
entenderse como los gradientes de las m funciones escalares
componentes de ϕ dispuestos en filas:

 
D1 ϕ1 (x) D2 ϕ1 (x) . . . Dn ϕ1 (x)
∇ϕ1 (x)
 D1 ϕ2 (x) D2 ϕ2 (x) . . . Dn ϕ2 (x)  

  ∇ϕ2 (x)
Jϕ (x) = 
=
..
..
..
...


.
.
...
.
∇ϕ
m (x)
D1 ϕm (x) D2 ϕm (x) . . . Dn ϕm (x)




Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Regla de la cadena con matrices de Jacobi
En general, para funciones vectoriales, la regla de la cadena
afirma que (en las condiciones adecuadas) la matriz Jacobi de
la función compuesta es el producto de las matrices de Jacobi
de ambas funciones:
Rn
f
/ Rm
g
/ Rk
Jg◦f (x) = Jg (f (x)) · Jf (x)
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Ejemplo: g(x, y) = f u(x, y), v (x, y ), w(x, y)
g es la función compuesta de f : R3 −→ R, f (u, v , w), con una
función ϕ : R2 −→ R3 , ϕ(x, y) = (u(x, y ), v (x, y ), w(x, y)).
¿Cuál es la derivada parcial de f u(x, y ), v (x, y), w(x, y )
respecto de x?
%
x
&
y
u
%
f
→
%
x
&
y
v
&
%
x
&
y
w
∂g
∂f ∂u
∂f ∂v
∂f ∂w
=
+
+
∂x
∂u ∂x
∂v ∂x
∂w ∂x
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Ejemplo: g(x, y) = f u(x, y), v (x, y ), w(x, y)
g es la función compuesta de f : R3 −→ R, f (u, v , w), con una
función ϕ : R2 −→ R3 , ϕ(x, y) = (u(x, y ), v (x, y ), w(x, y)).
¿Cuál es la derivada parcial de f u(x, y ), v (x, y), w(x, y )
respecto de x?
%
x
u
%
f
→
&
y
%
x
&
y
%
x
&
y
v
&
w
o más exactamente
∂u
∂v
∂w
∂g
∂f
∂f
∂f
(x, y ) =
ϕ(x, y )
(x, y )+
ϕ(x, y )
(x, y )+
ϕ(x, y)
(x, y )
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂x
Función diferenciable
Regla de la cadena (2 variables)
Regla de la cadena (vectorial)
Ejemplo: g(x, y) = f u(x, y), v (x, y ), w(x, y)
También puede verse con matrices de Jacobi:
Como g = f ◦ ϕ : R2
ϕ
/ R3
f
/ R se tiene que:
Jg (x, y ) = Jf (ϕ(x, y )) · Jϕ (x, y)
Por tanto:
∂u
(x, y )
∂x

 ∂v
∂f

(x, y )
(ϕ(x, y )) ·
 ∂x
∂w
 ∂w
(x, y )
∂x

Jg (x, y ) =
∂f
(ϕ(x, y ))
∂u
∂f
(ϕ(x, y))
∂v

∂u
(x, y )

∂y

∂v

(x, y ) 

∂y

∂w
(x, y )
∂y
Multiplicando ambas matrices se obtendrá el gradiente de g (y,
en particular, su parcial respecto de x).