2.2.- Ha sido medida la distancia de frenado (en metros) de una

Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
2.2.- Ha sido medida la distancia de frenado (en metros) de una determinada
marca de coches, según el tipo de suelo y velocidad a la que circula, los resultados en
64 pruebas aparecen en el listado siguiente:
43, 40, 41, 50, 70, 35, 38, 50, 32, 35, 36, 45, 58, 30, 33, 45,
49, 46, 47, 51, 64, 36, 39, 51, 51, 48, 49, 53, 66, 38, 41, 43,
70, 45, 46, 55, 68, 40, 53, 55, 52, 49, 50, 59, 62, 45, 48, 60,
32, 30, 40, 39, 42, 30, 35, 40, 38, 36, 46, 45, 68, 50, 69, 69.
Se pide:
1. Calcular las principales medidas de posición y dispersión para los datos anteriores.
2. ¿Existe algún dato anormal?, en caso afirmativo, cuál o cuales son.
3. Agrupando los datos anteriores en cuatro intervalos de igual amplitud, comparar
las medidas de posición ahora obtenidas con las del apartado 1.
4. Análisis gráfico de los datos según la agrupación anterior.
SOLUCIÓN:
1.
Medidas de Posición:
Máximo: 70 m. ; Mínimo: 30 m.
Moda: 45 m.
Mediana: 46 m.
Media:
X = 47.1718 m.
Cuartiles: C1 = 39 m.
C2 ≡ Me = 46 m.
C3 = 52.5 m.
Medidas de Dispersión:
Rango: 40
Semi-rango inter-cuartilico: 6.75
Varianza: 118.205
Desviación típica: 10.8722
Cuasi-Varianza: 120.081
Cuasi-Desviación típica: 10.9581
Error Estándar: 1.3697
Coeficiente de Variación: 0.2304 ⇒23.04%
2.
Estudio de datos anormales:
Xminimo = 30 ; Zmin imo = −1.579 ⇒ dato normal
Xmáximo = 70 ; Zmáx imo = 2.099 ⇒ dato no normal
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
1
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
Continuemos con los siguientes, empezando por el dato mayor siguiente:
X = 69 ; Z = 2.007 ⇒ dato no normal
X = 68 ; Z = 1.915 ⇒ dato normal
Y por tanto los datos siguientes también seran normales.
3.
Tabla de frecuencias:
[30 – 40]
(40 – 50]
(50 – 60]
(60 – 70]
X*
35
45
55
65
ni
21
23
11
9
Ni
21
44
55
64
fi
0.33
0.36
0.17
0.14
Fi
0.33
0.69
0.86
1.00
Medidas de Posición:
Intervalo modal: (40 - 50]
Media: X = 46.25
Mediana o Segundo Cuartil, m e ≡ C2 = 44.7826
C1 = 37.619 y C3 = 53.6363
Medidas de Dispersión:
Varianza: 104.68
Desviación típica: 10.2316
Cuasi-varianza: 106.349
Cuasi-desviación típica: 10.3125
Error Estándar: 1.289
Coeficiente de Varianción: 0.2212 ⇒ 22.12%
4. Representación gráfica de los datos según la agrupación anterior
Histograma
0.33
0.36
0.17
30
40
50
0.14
60
70
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
2
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
1
0.86
Diagrama de
Frecuencias
Acumuladas
0.69
0.33
30
40
50
60
70
-o0o2.1.- Las puntuaciones obtenidas por 80 opositores en una determinada prueba
fueron las siguientes:
68, 84, 75, 82, 68, 90, 62,
73, 88, 79, 73, 61, 65, 75,
74, 69, 77, 94, 75, 82, 78,
83, 71, 75, 71, 65, 76, 85,
88, 78, 62, 76, 52, 74, 77,
88, 76, 93, 75, 85, 59, 71, 93, 60,
87, 74, 62, 95, 78, 63, 72, 60, 68,
66, 96, 78, 89, 61, 75, 95, 60, 79,
78, 97, 67, 62, 79, 65, 80, 73, 57,
85, 75, 76, 63, 72, 81, 73, 67, 86.
Agrupando los datos en 5 intervalos de igual amplitud, se pide:
1)
2)
En el supuesto de que sólo pasan el 25% de mayor nota, ¿cuál será la puntuación mínima para superar la oposición?.
¿Están muy dispersas las notas?
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
3
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
3)
Con los opositores se hacen tres grupos:
9 el descrito en el primer apartado
9 el 35% de nota inferior al anterior
9 el resto
¿Cuales serán las notas mínimas para cada uno de los grupos? y ¿cuántos opositores
habrá en cada grupo?.
SOLUCIÓN:
Tabla de frecuencias:
X*
56.5
65.5
74.5
83.5
92.5
[52 – 61]
(61 - 70]
(70 - 79]
(79 – 88]
(88 - 97]
ni
8
16
33
14
9
Ni
8
24
57
71
80
fi
0.1
0.2
0.4125
0.175
0.1125
Fi
0.1
0.3
0.7125
0.8872
1
1) La puntuación mínima para superar la oposición será de 80.928
2)
C.V. = 0.1337 o bien 13.37%
Con lo que los datos están poco dispersos, o lo que es lo mismo, la muestra es
muy homogénea.
3) Los tres grupos pedidos son:
40%
52
G3
35%
P40
G2
25%
P75 ≡ C3
G1
La cota mínima del grupo G1, corresponde al P75 ≡ C3 = 80.928 , y hay 20 opositores en
este primer grupo G1 . La cota mínima del grupo G2 , corresponde al P40 = 72.18, y en
este grupo hay 28 opositores. En el grupo G3 que corresponde al resto, hay 32 opositores, la frecuencia absoluta acumulada al P40.
-o0o-
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
4
97
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
3.8.- Los siguientes datos representan la distribución por Pesos de 70 empleados de
un centro comercial, así como su distribución por Sexo:
Total (nPi)
8
15
21
18
7
1
Pesos
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
90 – 100
100 - 110
Hombres (nHi)
3
9
16
10
5
1
Mujeres (nMi)
5
6
5
8
2
0
Se pide calcular:
1. ¿Qué Pesos están más dispersos, los correspondientes a los Hombres o a las
Mujeres?
2. Medidas gráficas, de posición y dispersión adecuadas a la variable Sexo de los
empleados del centro comercial.
3. Medidas de dispersión para la variable Peso de los empleados del centro
comercial.
4. Existe asociación entre la variable Peso y la variable Sexo de los empleados
del centro comercial.
SOLUCIÓN:
Marcas de Clase Xi*
55
65
75
85
95
105
Pesos
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
90 – 100
100 - 110
1.
CVH = 0.15016
;
Total (nPi)
8
15
21
18
7
1
n=70
Hombres (nHi) Mujeres (nMi)
3
5
9
6
16
5
10
8
5
2
1
0
nH=44
nM=26
CVM = 0.1717
Con lo que la variable Peso se encuentra ligeramente más dispersa en el grupo Mujer
2.
Medidas Gráficas
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
5
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
44
26
Hombre
Mujer
Medidas de Posición o Centralización:
9 Moda: mo = Grupo Hombre, frecuencia absoluta 44
El resto de medidas de Posición, Dispersión y Forma no se pueden obtener al ser una
variable de tipo Nominal.
3. Medidas de dispersión para la variable Peso de los empleados del centro comercial.
X = 75.571
S2M = 145.387 ; S =12.057
2
SM =147.494 ; S = 12.144
CVM = 0.159
E.S. = 1.45
4.
Tabla de frecuencias observadas
Pesos
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
90 – 100
100 - 110
n.j
Hombres
3
9
16
10
5
1
44
Mujeres
5
6
5
8
2
0
26
ni.
8
15
21
18
7
1
n=70
Tabla de frecuencias esperadas:
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
6
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
Pesos
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
90 – 100
100 - 110
n.j
Hombres
5.0285
9.4285
13.2
11.314
4.4
0.6285
44
Mujeres
2.9714
5.5714
7.8
6.6857
2.6
0.3714
26
ni.
8
15
21
18
7
1
n=70
Las dos variables están relacionadas.
Medidas de asociación adecuadas a las dos variables.
Estadístico P de Pearson: P = 5.077
C de Contingencia: C = 0.26
V de Cramer: V = 0.269
-o0o5.1.- En una jugada de cartas: ¿cuál es la probabilidad de que a un determinado jugador, en la primera mano, le lleguen los cuatro Ases?.
NOTA: Se supone que se reparten 5 cartas a cada jugador y que la baraja tiene 52 cartas.
SOLUCIÓN:
Sea el suceso A ≡ “un jugador recibe en la primera mano los 4 Ases y otra carta
cualquiera”.
P ( A ) = 1.84 ×10−5
-o0o5.2.- Se va a elegir al delegado de un cierto curso. De los 100 alumnos del curso, 51 apoyan al candidato A y 49 al B. Se sabe que sólo votará el 80% de los alumnos. Se pide, ¿ cuál será la probabilidad de que resulte elegido como delegado el candidato B?.
NOTA: La votación se gana por mayoría simple.
SOLUCIÓN:
P ( B ) ≈ 0.25838
-o0o_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
7
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
5.4.- De los tres profesores que forman un equipo en un determinado Departamento, se decide que uno de ellos asistirá a un congreso. A fin de elegir quien ha de
asistir, se dispone una urna con tres bolas, dos blancas y una roja. Los profesores
extraen una bola por orden de antigüedad en el Departamento sin reposición. Irá al
congreso el que saque la bola roja. ¿Cuál de los tres profesores tiene más probabilidad de asistir al congreso?.
SOLUCIÓN:
Los tres miembros del Departamento tienen igual probabilidad de asistir al congreso.
-o0o5.5.- Una caja contiene 1000 tornillos, de los cuales 50 son defectuosos. Calcular la probabilidad de que al sacar 10 al azar, x sean defectuosos.
SOLUCIÓN
9
Supuesto sin reposición del tornillo extraído
 50  950 
 

casos favorables  x 10 − x 
=
P ( pedida ) =
casos posibles
1000 


 10 
9 Supuesto reposición del tornillo extraído
10 
10 − x
P ( pedida ) =   0.05x × 095( )
x
-o0o3.6.- Un Tahur que tiene marcadas las 16 figuras (As, Sota, Caballo y Rey) de
una baraja de 40 cartas, juega con un Matemático. El juego consiste en escoger una
carta y decidir si es o no As. Si la carta no está marcada, el Tahur dirá que no es As, y
si está marcada dirá que si. El Matemático dirá siempre que no es As. ¿Quién ganará?.
SOLUCIÓN
La estrategia del Matemático es más eficiente para ganar el juego.
-o0o_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
8
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
6.1.- De una urna con tres bolas blancas y dos bolas negras, se extraen dos bolas al azar, (de una en una).
Se pide:
a) Construir el espacio muestral.
b) Probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.
SOLUCIÓN:
a) Ω= {B1B2 ; B1N2 , N1B2 , N1N2}
b)
P ( B1B2 ) =
3
3
3
1
; P ( B1 N 2 ) =
; P ( N1B2 ) =
; P ( N1 N 2 ) =
10
10
10
10
-o0o-
6.2.- Una urna contiene 8 bolas Blancas y 7 Negras. Realizamos la extracción
de dos bola, en el supuesto de que hemos visto que una de ellas es Negra, ¿cuál es la
probabilidad de que la otra también sea Negra?.
SOLUCIÓN:
9 Si suponemos extracciones Sin Reposición.
Sean los sucesos C ≡ “Una de las bolas extraídas Negra, y D ≡ “La otra bola también es
negra”
( C ) = 0.2727
P D
9 Si suponemos extracciones Con Reposición.
( C ) = 0.3043
P D
-o0o6.3.- Un cierto mercado de ordenadores se lo reparten dos casas comerciales.
En la casa M1, el 80% de la producción pertenece al tipo T1, el 5% al tipo T2 y el
15% al tipo T3. En la casa M2 los porcentajes son A, B y C respectivamente.
Se pide:
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
9
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
a) Dar una expresión lo más simplificada posible de la proporción de ordenadores tipo T1 en el mercado.
b) Sabiendo que A=92% y que el porcentaje de ordenadores tipo T1 en todo el
mercado es del 89%, comparar las producciones totales de las dos marcas.
c) Si el porcentaje de ordenadores tipo T2 en todo el mercado es del 5%, ¿qué
valor tomará B?.
d) Para el valor de B anterior, ¿cuál es la proporción de ordenadores tipo T3
de la marca M2 entre el total de ordenadores tipo T3 del mercado?.
SOLUCIÓN:
a) P ( T1) = ( 0.8 − a ) k + a
b) P ( M1) = 0.25 ⇒ P ( M2 ) = 0.75 .
c) El porcentaje de ordenadores T2 en la casa M2 es del 5%.
d)
P M2
= 0.3749 ⇒ 37.49%
T3
(
)
-o0o6.6.- Se sabe que la probabilidad de que el jugador A dé en el blanco al lanzar
un dardo es 1/4 y la probabilidad de que dé el jugador B es 1/3.
Se pide:
a) Si cada jugador dispara dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado una vez por lo menos?.
b) Si cada uno dispara una vez y el blanco es alcanzado solamente una vez,
¿cuál es la probabilidad de que A haya dado en el blanco?.
c) Si A dispara dos veces, ¿cuántas veces debe disparar B para que el blanco
sea alcanzado alguna vez , con probabilidad de al menos 0.9?.
SOLUCIÓN:
Sean los sucesos: X ≡ “El jugador A da en el blanco”.
Y ≡ “El jugador B da en el blanco”.
a) Z ≡ “El blanco es alcanzado por lo menos una vez”
P(Z) = 3
4
b) Sean los sucesos I = X ∩ Y , II = X ∩ Y y W ≡ “El blanco es alcanzado una
vez
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
10
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
( W) = 25
P I
c) El jugador B debe disparar 4 veces para que el blanco sea alcanzado al menos una vez con probabilidad de al menos 0.9 .
-o0o6.10.- En un jardín botánico el 35% de las plantas son del tipo A, el 15% de
otro tipo B y las restantes del tipo C. Una enfermedad E aparece en el 9% de las plantas de tipo A, en el 30% de las del tipo B y en el 10% de las C. Se elige al azar una
planta y resulta tener la enfermedad E, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo
B?.
SOLUCIÓN:
Sean los sucesos: A ≡ “ Planta del tipo A”
B ≡ “ Planta del tipo B”
C ≡ “ Planta del tipo C”
E ≡ “ Padecer la enfermedad”
( E ) = 0.3557
P B
-o0o7.2.- El número de huevos en cada puesta de una determinadas aves pueden
ser {0, 1, 2}. Sea X la v.a. que nos mide el número de huevos en cada puesta, y sabemos que:
P ( X = 0 ) = 0.2
P ( X ≤ 1 ) = 0.7
P ( X ≥ 2 ) = 0.3
Se pide:
a) Función de distribución de la v.a. X
b) Calcular la desviación típica de la variable
SOLUCIÓN:
a)
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
11
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
X
p(x)
F(x)
0
0.2
0.2
1
0.5
0.7
2
0.3
1
b)
σ X = 0.7
-o0o7.3.- Una variable aleatoria X toma tres valores consecutivos x1, x2 = 4 y x3 = 5,
con probabilidades respectivas 0.5, p2 y 0.2. Sabiendo que σ2 = 0.61, determinar el
valor de x1 y de p2, así como la correspondiente función de distribución.
SOLUCIÓN:
X
p(x)
F(x)
x1 = 3
0.5
0.5
4
p2=0.3
0.8
5
0.2
1
-o0o7.5.- Sea ha comprobado que un gran número de fenómenos naturales en Física, Química, Biología, Medicina, etc. tienen asociada una v.a. X, cuya ley de probabilidades es
 K e − Kx si 0 < X
, con K > 0
f ( x) = 
en el resto
0
Se pide:
a) Valor de la constante K, para que f(x) sea una función de densidad
b) Para K = 0.1, calcular F(x).
c) Para el valor de K del apartado anterior, calcular:
P ( X ≤ 10 ) y P ( 50 < X < 100 )
SOLUCIÓN:
a)
f(x) no depende del valor de la constante K para ser una verdadera función de densidad,
siempre que K > 0, tal y como se expresa en el enunciado.
b)
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
12
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
si
0≥ X
 0
F(x) = 
− 0.1x
si 0 < X
1 − e
c)
P ( X ≤ 10 ) = 0.632 ;
P ( 50 < X < 100 ) = 6.693 ⋅10−3
-o0o7.11.- El volumen de negocio de una empresa familiar del sector informático,
(expresado en miles de Euros), sigue una v.a. cuya función de densidad es:
−

f ( x) = K x

0
1
2
si
0 < X ≤ 16
en el resto
Se pide:
a) Calcular el volumen esperado de negocio de la citada empresa
b) Determinar su función de Distribución
c) La empresa deberá de cerrar si su volumen de negocio es inferior a 1.500 €. ¿Cuál
es la probabilidad de que la empresa cierre?.
d) La empresa ampliará capital si su volumen de negocio sobrepasa los 1.200 €.
¿Cuál es la probabilidad de que amplíe capital?.
SOLUCIÓN:
Determinado el valor de la constante K, la función de densidad de la variable aleatoria
en estudio es:
1 − 12
si 0 < X ≤ 16
 x
f (x) = 8
 0
en el resto

a)
µ = E ( X ) = 5.3
Al expresarlo en miles de €, el volumen de negocio esperado para la citada empresa es
de 5.333 €.
b)
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
13
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________



F(x) = 


c)
d)
X≤0
0
1
4
x
0 < X ≤ 16
X >16
1
P ( X ≤ 1.5 ) = 0.3062
P ( X ≥ 12 ) = 0.1339
-o0o10.3.- El aumento en peso y altura de una determinada especie animal tiene
por función de densidad conjunta:
0 ≤ X ≤ 1
f ( x , y) = K x2 y (1 − x ) ; 
 0 ≤Y ≤ 1
¿Son independientes las dos variables?.
SOLUCIÓN:
Las dos variables X e Y son independientes.
-o0o-
10.4.- La función de Distribución conjunta de dos variables X e Y es:

 X ≤0

 0
 Y ≤0

 xy
0 < X < 2

( x + y) 
 16
 0 <Y < 2

0 < X < 2
 x
F ( x, y) = 
( x + 2) 
 Y ≥2
 8
 y
 X ≥2

( y + 2) 
 8
 0 <Y < 2

 X ≥2
 1


 Y ≥2

Se desea saber si X e Y son independientes, y calcular
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
14
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
(
P 0 < X < 1 ; 1<Y < 3
2
)
SOLUCIÓN:
Las dos variables no son independientes.
(
P 0 < X < 1;1 < Y < 3
2
= 0.234375
) = 15
64
-o0o-
8.1.- Una empresa dedicada a la venta de equipos informáticos ofrece a sus
clientes dos forma de pago: “Pago al contado” y “Pago aplazado”. Se sabe que el
20% de las unidades vendidas por esa empresa lo son bajo la forma de “Pago al contado”. En un periodo de tiempo determinado la empresa ha realizado 5 ventas, se pide:
a.- Probabilidad de que dos o más lo hayan sido bajo la forma “Pago al contado”.
b.-Probabilidad de que dos o menos lo hayan sido bajo la forma “Pago aplazado”.
SOLUCIÓN:
a)
b)
P ( pedida ) = 0.2627
P ( pedida ) = 0.0579
-o0o-
8.3.- Se pretende introducir un nuevo producto en el mercado, del que se es razonable esperar que sea demandado por el 4% de la población. Determinar la probabilidad de que, consultados 1000 personas, dicho producto sea demandado por:
a) Por tres o más personas
b) Por cinco o menos.
SOLUCIÓN:
a)
P ( pedida ) ≈1
b)
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
15
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
_____________________________________________________________________________________
P ( pedida ) = 4.12 ×10−12
-o0o-
8.5.- El 60% de los clientes de un almacén paga con dinero en metálico y el
40% con tarjeta. Calcular la probabilidad de:
a) De 10 clientes, 4 paguen en metálico
b) El décimo cliente es el cuarto en pagar con dinero en metálico.
SOLUCIÓN:
a)
b)
P ( pedida ) = 0.11147
P ( pedida ) = 0.04459
-o0o-
8.6.- Una máquina automática produce tornillos de uno en uno. Cada tornillo
fabricado tiene una probabilidad 1% de ser defectuoso. Los tornillos fabricados, son
defectuosos o no, independientemente de los demás tornillos. Calcular:
a) Probabilidad de que el primer tornillo defectuoso que se fabrique, sea el que hace
el número 50.
b) Probabilidad de que el tornillo número 20 de los fabricados sea el quinto que sale
defectuoso.
SOLUCIÓN:
a)
b)
P ( pedida ) = 6.11×10−3
P ( pedida ) = 3.33×10−7
-o0o-
_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
16
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
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8.8.- Dos máquinas producen una misma pieza. En la primera el 2% de las
piezas son defectuosas, el 5% de calidad aceptable y el resto sin defecto. En la segunda son el 3%, 4% y 93% respectivamente.
Realizando un muestreo con reemplazamiento, se pide:
a) Si elegimos la primera máquina, probabilidad de que la primera pieza defectuosa
que se encuentre sea la extraída con el número 10. ¿Qué distribución seguiría este suceso?.
b) Probabilidad de que se tengan que escoger 15 piezas de la segunda máquina para
encontrar 3 defectuosas. ¿Qué distribución sigue la v.a. que mide este suceso?
c) Si se mezcla la producción total de ambas máquinas (suponemos igual producción), y escogemos una pieza al azar, ¿probabilidad de que sea defectuosa?.
d) Si de la producción total tomamos dos piezas al azar y resultan estar en buenas
condiciones, ¿probabilidad de que ambas piezas pertenezcan a la misma máquina?.
SOLUCIÓN:
a)
P ( pedida ) = 0.0166
b)
Situados en la Máquina nº 2, consideramos en este apartado solamente dos sucesos:
D ≡ “Pieza Defectuosa”
D ≡ “Pieza No Defectuosa”
con probabilidades respectivas: P ( D ) = 0.03 ; P ( D ) = P ( A ∪ B ) = 0.97
La v.a. Xb que nos medirá en que repetición del experimento aparece la tercera pieza
defectuosa, tendrá por distribución: X b ∈bn ( k = 3, p = 0.03)
Luego:
c)
d)
P ( pedida ) =1.7 ×10−3
P ( D ) = 0.025
P [ pedida ] = 0.499
-o0o-
8.10.- La función de densidad de la vida de una válvula es:
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Estadística. Ejercicios Propuestos
17
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
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



f ( x)= 




x
20
K
; 0≤ X <5
; X ≥5
2
7 

 x− 2 


0 ; resto de valores
la válvula es susceptible de avería, sabiendo que si dura mas de 28.5 horas, se recomienda su cambio.
a) Calcular el valor de K, para que f(x) sea una verdadera función de densidad.
b) Un equipo posee 9 válvulas como la descrita, calcular la probabilidad de que pasadas 28.5 horas, se repongan un mínimo de 3 válvulas.
c) ¿Qué periodo de garantía tendrán las válvulas, si el fabricante desea reparar, a su
cargo, como máximo el 5% de ellas?.
SOLUCIÓN:
a)
Obtenido el valor de K, la función de densidad es:





f (x) = 





b)
x
; 0≤X<5
20
9
16
; X≥5
2
7

x− 
2

0 ; resto de valores
P ( pedida ) = 8.64 ×10−4
c)
1.41 horas
-o0o9.2.- Una persona dispone de dos velas (i = 1, 2), el tiempo en horas hasta que
la vela i-esima se consume es un a v.a. con función de densidad:
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Estadística. Ejercicios Propuestos
18
Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
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f ( xi ) = 2
9
xi ; 0 < X i < 3 ∀ i = 1,2
esta persona piensa usar las velas, una a una, en el supuesto de fallar la energía eléctrica, determinar:
a) La media y la varianza del tiempo total en que se consumirán los dos velas.
b) La probabilidad, si se dispusiera de 150 velas como las descritas, de que pueda
estar sin luz al menos 10 días, en el supuesto de fallo de energía eléctrica. (suponemos que mantiene las velas encendidas todo el día)
SOLUCIÓN:
a)
b)
 E ( X ) = 2 + 2 = 4

V ( X ) = 1 2 + 1 2 = 1
P ( pedida ) =1
-o0o-
9.3.- El peso medio de las pasajeros de un avión es de 75 Kg. con desviación
típica de 7.5 Kg. ¿Cuántos pasajeros debe admitir el avión para que la probabilidad
de que la carga total supere las 3 Tm. sea igual a 0.05?
SOLUCIÓN:
El número de pasajeros admitidos será de 39
-o0o-
9.4.- Un control al 100% de las bombillas fabricadas por un taller del ramo, ha
permitido comprobar que de las 15160 bombillas fabricadas 758 eran defectuosas. Se
estima la probabilidad p de fabricar una bombilla defectuosa a partir de los resultados anteriores y se designa por X a la v.a. aleatoria que mide el “Número de bombillas defectuosas en un lote de 70 bombillas” escogidas al azar. Se pide:
a) Verdadera distribución de la v.a. X
b) Calcular las siguientes probabilidades:
P ( X = 4) ; P ( X ≤ 5) ; P ( X ≥6)
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Estadística. Ejercicios Propuestos
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Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
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c) ¿Cuál es la probabilidad de que existan 62 bombillas No defectuosas en el lote?
d) Probabilidad de que existan 82 bombillas No defectuosas en un lote de 90 bombillas?
e) Si consideramos un lote de 300 bombillas, ¿podemos admitir que la probabilidad
de encontrarnos 275 bombillas en buen estado es de 0.05?
SOLUCIÓN:
a)
b ( n = 70 ; p = 0.05 )
70
X = ∑ i =1 X i ∈ 
 h ( n = 70;a = 758; b = 14402 )
según que el muestreo de las 70 bombillas se realice Con o Sin Reposición.
Pero como n = 70 < 0.05 ( a + b ) = 758 , la distribución hipergeométrica tiende a la distribución binomial, es decir:
X ∈h ( n = 70;a = 758; b =14402 ) → b ( n = 70 ; p = 0.05 )
b)
c)
d)
e)
P ( X = 4 ) = 0.194 , P ( X ≤ 5) = 0.8626
,
P ( X ≥ 6 ) = 0.1374
P ( pedida ) = 0.01533
P ( pedida ) = 0.04513
P ( pedida ) = 0.00435
-o0o-
9.5.- Un técnico ha estimado que el tiempo en reparar un ordenador es de 30
minutos con desviación típica de 15 minutos. Se le encarga reparar 100 ordenadores,
disponiendo para ellos de una semana laboral (5 días), trabajando 8 horas diarias.
a) Hallar la distribución aproximada del tiempo en horas necesario para la tarea.
b) A la vista del tiempo disponible, ¿concluirá el trabajo?. En caso afirmativo, ¿con
que probabilidad?.
c) La empresa decide contratar a otro técnico, pero deberán reparar entre los dos
150 ordenadores (75 cada uno), en el mismo tiempo, ¿cuál sería la probabilidad
de que terminen el trabajo?.
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Estadística. Ejercicios Propuestos
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Ejercicios de Estadística descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variable aleatoria y Distribuciones.
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SOLUCIÓN:
a)
X ∈ N ( µ = 50; σ 2 = 6.25 )
b)
No
c)
,
P ( pedida ) = 0
P [ pedida ] = 0.765
-o0o-
9.7.- El número de enfermos visitados por un médico diariamente sigue una
distribución uniforme en el intervalo (20 , 40). ¿Cuál es la probabilidad de que pueda
visitar mas de 6800 enfermos al cabo de un año?.
(Suponemos 11 meses al año y cada mes con 20 días laborables)
SOLUCIÓN:
P ( pedida ) = 0.00964
-o0o-
9.8.- La cantidad de grano consumida diariamente por un hámster sigue una
variable aleatoria X. Por término medio consume 50 grs. con una desviación típica de
5 grs.
Sabiendo que: P ( 50 − H ≤ X ≤ 50 + H ) = 0.8
Determinar:
a)Valor de H utilizando la desigualdad de Tchebycheff
b)Valor de H suponiendo que la distribución de X es Normal.
SOLUCIÓN:
a) H = 11.18
b) H = 6.4
-o0o_____________________________________________________________________________________
Estadística. Ejercicios Propuestos
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