MATEMÁTICA 6ºto Derecho Prof: Paula Vilas 2014 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Distribuciones Estadísticas y Distribuciones de Probabilidad Cuando una variable estadística discreta toma un conjunto de valores aislados x1 , x2 , x3 ....xq con frecuencias f1, f2 , f3 ,...., fq y frecuencias relativas f f1 f 2 f3 , , ,..., q ; los resultados pueden presentarse mediante una tabla de n n n n frecuencias como la siguiente: xi fi fri Se le llama distribución estadística de variable discreta. x1 f1 fr1 f2 fr2 El gráfico de este tipo de variables estadísticas es un diagrama de barras. x2 . . . . . . xq fq frq n 1 Al concepto de distribución de probabilidad, se llega mediante una idealización de las distribuciones estadísticas, fundamentada en la Ley de los grandes números que asegura que en un experimento aleatorio, las frecuencias relativas de cada suceso tienden a acercarse a su probabilidad cuando el número de repeticiones es suficientemente grande. Por tanto, cuando n se hace muy grande, la tabla anterior se convertiría en la siguiente: X pi x1 p1 x2 p2 . . . . xq pq Se le llama distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta (X). 1 Distribuciones Estadísticas Distribuciones de Probabilidad Variable estadística Variable aleatoria Frecuencia relativa de xi : fri fr1 fr2 ... frq 1 Probabilidad de X = xi : pi p1 p2 ... pq 1 1 MATEMÁTICA 6ºto Derecho Prof: Paula Vilas 2014 Ejemplo: Se tiran dos dados, sea la variable aleatoria X: “suma de los puntos obtenidos”. La VA X puede tomar cualquier valor entre 2 y 12. Se pueden calcular las probabilidades de estos valores mediante la Ley de Laplace. # 36 X 2 (1,1) X 3 (1, 2);(2,1) 1 36 2 P( X 3) 36 P( X 2) Y así sucesivamente, se puede completar la tabla: X pi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 Más ejemplos: 1) X: “número de caras al lanzar dos monedas” X pi 2) En una bolsa hay 20 bolas numeradas: 9 con un uno, 5 con un dos y 6 con un tres. Se extrae una bola al azar. X: “número que aparece en la bola”. X pi 2 MATEMÁTICA 6ºto Derecho Prof: Paula Vilas 2014 Parámetros en una distribución de probabilidad discreta Las probabilidades pi, son idealizaciones de las frecuencias relativas fri fi . Por tanto, los parámetros se n definen de manera similar. Media, Esperanza o Valor esperado: E( X ) p1x1 p2 x2 ... pq xq Varianza: X pi x1 p1 x2 p2 . . . . xq pq Var( X ) p1 ( x1 )2 p2 ( x2 )2 ... pq ( xq )2 Var ( X ) p1 x12 p2 x2 2 ... pq xq 2 2 Desviación típica: Varianza En el ejemplo de la suma de los dos dados, verificar que la esperanza es 7 y la desviación típica 2,415. Ejercicios: 1) Sea la variable aleatoria X: “puntuación al lanzar un dado”, calcula la esperanza y la desviación típica. 2) Se tiran dos monedas, sea la variable aleatoria X: “número de veces que se obtiene cara”. Calcula la esperanza y la desviación típica. 3) En una bolsa se tienen 20 bolas numeradas: 9 bolas con un uno, 5 con un dos y 6 con un tres. Se extrae una bola al azar, sea X: “la puntuación que aparece en la bola”. Calcula los parámetros y . 3 MATEMÁTICA 6ºto Derecho Prof: Paula Vilas 2014 PRÁCTICO 3 1) Completa la siguiente tabla de probabilidades: X pi 0 1 2 3 0,1 0,3 …. 0,1 2) La variable aleatoria X tiene la siguiente distribución: X 2 4 6 pi 6a 2a 0,2 a) Halla P(X =2) y P(X = 4) b) Calcula la esperanza. 3) Las caras de un dado irregular tienen las siguientes probabilidades: P(1) = 0,1 P(2) = 0,2 P(3) = 0,1 P(4) = 0,15 P(6) = 0,25 a) Averigua la P(5). b) Halla la esperanza y la desviación típica. 4) Se lanzan dos dados, sea la variable aleatoria X:” diferencia entre la mayor y la menor puntuación” a) Escribe el recorrido de X y realiza la tabla de distribución de probabilidad. b) Calcula y . 5) Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Se hacen dos extracciones sin reemplazamiento. Sea la variable aleatoria X:”número de bolas rojas extraídas” a) Escribe el recorrido de X. b) Realiza la tabla de distribución de probabilidad. c) Calcula y . 6) Se extraen dos cartas con reposición de un mazo de 40, sea la VA X:”número de ases obtenidos” a) Escribe el recorrido de X. b) Realiza la tabla de distribución de probabilidad. c) Calcula y . 4 MATEMÁTICA 6ºto Derecho Prof: Paula Vilas 2014 7) Una persona dispone de U$S6000 para invertir en acciones. Por la historia pasada, las rentabilidades anuales de esas acciones se distribuyen según las probabilidades: X (renta en %) 10 11 12 13 pi 0,3 0,4 0,2 0,1 ¿Qué ganancia puede esperar por su inversión? 8) Se extraen tres cartas de una baraja española de 40 cartas y se cuentan el número de bastos. Realiza una tabla de probabilidades, calcula se media y desviación típica. 9) En una lotería popular hay 1000 números. Se rifa un número , que gana $5000,. El anterior y el siguiente ganan $1000 cada uno. Todos los que tienen la misma terminación que el ganador se llevan $10, y el resto nada. Completa la tabla de probabilidades de una persona que juegue un único número. Halla su media. Xi pi 5000 1000 10 0 5