Hoja 2.

Teorı́a analı́tica de números
Capı́tulo 2. Funciones aritméticas. Ejercicios 2007-2008
1.- Completar el cuadrado de caracterı́sticas ( funciones multiplicativas y completamente
multiplicativas) de las funciones aritméticas
µ, ϕ, N α , u, Λ, λ, τ, σ, σα , r, π, ψ, θ,
(α ∈ R) definidas en este capı́tulo.
2.(i) Supongamos que m.c.d.(m, m0 ) = 1, a recorre un conjunto completo de residuos
(mod(m)) y a0 recorre un conjunto completo de residuos (mod(m0 )). Entonces
a0 m + am0 recorre un conjunto completo de residuos (mod(mm0 )).
(ii) Probar que la función indicatriz de Euler, ψ : N → N donde
ψ(n) := card{k ≤ n | m.c.d.(k, n) = 1}
es una función multiplicativa.
(iii) Probar que ψ = N ∗ µ.
3.- Sea f una función múltiplicativa. Entonces f es completamente multiplicativa si y
solo si
f −1 = µf.
4.- Sea λ la función aritmética de Liouville, probar
n
1 si n está libre de cuadrados,
−1
λ (n) =
0 si n contiene cuadrados.
X
Y
τ (n)
5.- Probar las igualdades
µ(d) = µ2 (n) y
d=n 2 .
d2 |n
d|n
6.- El conserje de un hotel cierra todas las puertas el primer dı́a, el segundo dı́a abre las
pares, el tercer dı́a vuelve (si estaba abierta la cierra y viceversa) las múltiplos de 3,
el cuarto dı́a las múltiplos de 4, etcétera.
¿Qué puertas quedarán cerradas al final del proceso?.
7. Demostrar las siguientes fórmulas asintóticas y hallar las constantes A y B:
³ log x ´
X log n
1
(a)
= log2 x + A + O
, si x ≥ 2.
n
2
x
n≤x
³ 1 ´
X
1
(b)
= log(log x) + B + O
, si x ≥ 2.
n log n
x log x
2≤n≤x
8.- Demostrar, para x ≥ 1, las siguientes fórmulas:
X τ (n)
1
= log2 x + 2γ log x + O(1).
n
2
n≤x
X τ (n)
1
=
(b) Si α > 0, α 6= 1,
x1−α log x + ζ(α)2 + O(x1−α ).
α
n
1−α
n≤x
X
1
(c) Si α > 0, α 6= 1,
σα (n) =
ζ(α + 1)xα+1 + O(xβ ) con β = max(1, α).
1+α
n≤x
X
(d) Si α > 0, α 6= 1,
σ−α (n) = ζ(α + 1)x + O(xβ ) con β = max(0, 1 − α).
(a)
(e)
X
n≤x
σ−1 (n) = ζ(2)x + O(log x) .
n≤x
9.- Demostrar que
∞
X
π4
τ (n)
=
n2
36.
n=1
10.- Sea r3 (n) = #{n = x2 + y 2 + z 2 | x, y, z ∈ Z}. Probar que
R3 (x) =
X
n≤x
r3 (n) =
4 3
πx 2 + O(x),
3
x ≥ 1.