METODO SIMPLEX DE 2 FASES

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
DEPARTAMENTO DE PROCESOS Y SISTEMAS
PS 1111 INVESTIGACION DE OPERACIONES
ALGORITMO SIMPLEX
METODO SIMPLEX DE 2 FASES
FASE II
PASO 1: Llevar el problema a su forma standard de maximización:
Max Z(x)= CX
s.a.: AX=b
X≥0, b≥0. A ε R mxn, X ε R nx1,C ε R 1xn, b ε R mx1
Si el problema es de minimización, se plantea igual, se invierte la condición de optimalidad (ver paso 6)
PASO 2: Plantear la matriz de trabajo de la siguiente forma:
Z
1
0
.
.
.
.
0
VB
Z
X1
-C1
a11
X2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xn-m. . . . . Xn
-C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . -Cn-m
-Cn
a12. . . . . . .. . . . . . . . . . . a1,n-m. . . . a1n
b
0
b1
b2
am1 a2m. . . …. . . . . . . . . . . . . am, n-m .. . amn
bm
(Se está representando +Z-C1X1-C2X2-.......................-CnXn=0 )
PASO 3: Chequear si existe una matriz identidad de orden mxm.
Si existe: Ir al paso 4 de esta misma fase.
Si no existe: Efectuar Fase I.
PASO 4: Las variables asociadas a la matriz identidad constituyen las variables básicas iniciales y la tabla se presenta de la
siguiente forma:
Z
1
0
.
.
.
.
0
0
0
VB
Z
X1
X2
X3
X1
-C1
a11
X2 . . . . . . . . . . . . .
-C2 . . . . . . . . . . . .
a12. . . . . . .. . . . . . .
Xm
am1 a2m. . . …. . . . . . . .
Xn-m Xn-m+1 Xn
-Cn-m –Cn-m+1 -Cn
a1,n-m
1
0
0
0
b
0
b1
b2
am, n-m
bm
0
1
PASO 5: Hacer cero los coeficientes de costo de las variables básicas iniciales (mediante operaciones elementales de fila) y
de esta manera se obtiene la siguiente tabla denominada tabla canónica:
Z
1
0
.
.
.
.
0
0
0
VB
Z
X1
X2
X3
X1 X2 . . . . . . . . . . . . .
-C1 -C2 . . . . . . . . . . . .
a11 a12. . . . . . .. . . . . . .
Xn-m Xn-m+1
-Cn-m –Cn-m+1
a1,n-m
1
0
0
am1 a2m. . . …. . . . . . . .
am, n-m
0
__ ___
____
1 Z
C1 C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . Cn-m
0
Con @= +b1Cn-m+1+-b2Cn-m+2+.............................+bmCn
Xm
Xn
-Cn
0
b
0
b1
b2
1
bm
0
@
PASO 6: CONDICION DE OPTIMALIDAD: La nueva solución es al menos “mejor”
Si Cj≥0 para todo j, entonces se tiene la solución óptima, parar. (Caso miminización, Cj ≤0)
Si existe Cj≤0 y aj≤0 para todo j, entonces el problema no está acotado superiormente,
es decir Z
∞, parar.
(Caso maximización, en el caso minimización, ocurre cuando Cj>0, y Z
-∞)
Sino escoger el mínimo de los Cj≤0, es decir, el Cj más negativo (caso maximización, si fuera minimización, el
criterio de optimización se invierte, se selecciona el Cj más positivo):
Cs = min{ Cj / Cj≤0 } y la variable Xs entra en la base
PASO 7: CONDICION DE FACTIBILIDAD: La nueva solución es factible
Encontrar la variable que sale de la base con el test de la mínima razón:
br/ars = min { br/ars / ars > 0 } y la variable Xr es la que sale de la base
PASO 8 : REPRESENTAR LANUEVA SOLUCION
Hacer pivote en ars , la columna s debe convertirse en un vector unitario con su coeficiente de costo reducido cero. IR AL
PASO 6.
FASE I
PASO 1:Añadir variables artificiales R hasta completar una matriz identidad de orden mxm.
PASO 2: La nueva función objetivo será: W(R) = ∑ Ri, y ésta será el problema aumentado.
PASO 3: Hacer cero los coeficientes de costo de las variables básicas iniciales.
PASO 4: Chequear si existe algún Cj < 0
Si existe: iterar pasos 6,7 y 8 de la fase II.
Sino: Si W = 0 ir al paso 5 de esta fase.
Sino: ( W≠ 0) el problema original no tiene soluciones factibles.
PASO 5: Si W = 0 pueden suceder 2 casos:
Caso 1: Si existe una variable artificial en la base, ésta debe salir, para lo cual se procede como sigue:
a) Si existe algún Rkj tal que Xj sea no básica, se hace pivote en Rkj por lo tanto Xj entra en la base y Rk
sale de la base, ir al paso 6 de esta fase.
b) Si Rkj =0 para todo j esto dice que la restricción k es redundante y se puede eliminar conjuntamente
con la variable artificial ak, ir al paso 6 de esta fase.
PASO 6: Eliminar las columnas pertenecientes a las variables artificiales, ya que ellas ya han sido o
bien eliminadas
de la base o sustituidas por variables del problema original. Eliminar la función objetivo del problema
aumentado.
PASO 7: Incorporar la función objetivo del problema original ( Z ) a la tabla, tomando como solución básica factible inicial
la hallada en la fase I, hacer cero los coeficientes de costo de las variables pertenecientes a la base, ir al paso 6
de la fase II.