Tema 11 Sucesiones de números.

Tema 11
Sucesiones de números.
11.1.
Lı́mites de oscilación
Definición 11.1.1. Sea {an } una sucesión de números reales. Se dice que l ∈ R es un
lı́mite de oscilación de la sucesión {an } si para cada ε > 0 hay una cantidad infinita
de términos de la sucesión en el intervalo (l − ε, l + ε), es decir, el conjunto {n ∈ N :
l − ε < an < l + ε} es infinito
Teorema 11.1.2. Sea {an } una sucesión de números reales y sea l ∈ R. Entonces l es un
lı́mite de oscilación de {an } si y sólo si existe una subsucesión de {an } convergente a l.
Corolario 11.1.3. El único lı́mite de oscilación de una sucesión convergente es el propio
lı́mite de la sucesión.
Definición 11.1.4. Sea {an } una sucesión acotada de números reales. Para cada k ∈ N,
sea Ak := {an : n ≥ k} y sea
yk = ı́nf Ak = ı́nf {an : n ≥ k}
n
y
zk = sup Ak = ı́nf {an : n ≥ k}.
n
La sucesión {yk } es creciente y acotada; la sucesión {zk } es decreciente y acotada. Por
tanto, existen y = lı́mk yk = supk {yk : k ∈ N} y z = lı́mk zk = ı́nf k {zk : k ∈ N}. Al valor
y se le llama lı́mite inferior de la sucesión {an } y se denota por lı́m inf an ó lı́m an . Al
valor z se le llama lı́mite superior de la sucesión {an } y se denota por lı́m sup an ó lı́m an .
Dicho de otra forma:
y = lı́m an = lı́m inf an = sup ı́nf {an }
k
n≥k
y
1
z = lı́m an = lı́m sup an = ı́nf sup{an }.
k n≥k
Curso 2015/2016
Cálculo Infinitesimal
Nota 11.1.5. Toda sucesión acotada de números reales posee lı́mite superior e inferior.
Teorema 11.1.6. Sea {an } una sucesión acotada de números reales y sean a, b ∈ R.
Entonces:
a = lı́m inf an
b = lı́m sup an

el conjunto {n ∈ N :
⇐⇒ ∀ε > 0
el conjunto {n ∈ N :

el conjunto {n ∈ N :
⇐⇒ ∀ε > 0
el conjunto {n ∈ N :
an ≤ a − ε} es finito
an < a + ε} es infinito
an > b − ε} es infinito
an ≥ b + ε} es finito
Teorema 11.1.7. Los lı́mites superior e inferior de una sucesión acotada son, respectivamente, el mayor y el menor de los lı́mites de oscilación.
Corolario 11.1.8. lı́m inf an ≤ lı́m sup an .
Teorema 11.1.9. Una sucesión acotada {an } es convergente si y sólo si lı́m inf an =
lı́m sup an (= lı́m an ).
Corolario 11.1.10 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada posee una
subsucesión convergente.
Corolario 11.1.11 (Caracterización secuencial de compactos). Un conjunto A ⊂ R es
compacto si y sólo si toda sucesión de A posee una subsucesión convergente a un punto de
A.
Definición 11.1.12. Sea {an } una sucesión no acotada superiormente. Se define lı́m sup an =
+∞. Si, además, lı́m an = +∞, entonces se define lı́m inf an = +∞.
Sea {an } una sucesión no acotada inferiormente. Se define lı́m inf an = −∞. Si,
además, lı́m an = −∞, entonces se define lı́m sup an = −∞.
11.2.
Sucesiones de Cauchy.
Definición 11.2.1. Una sucesión de número reales {an } se dice que es una sucesión de
Cauchy si para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que ∀m, n ≥ n0 es |an − am | < ε.
Lema 11.2.2. Toda sucesión de Cauchy es acotada.
Teorema 11.2.3 (Criterio general de convergencia de Cauchy). Una sucesión de números
reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy.
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