Distancia entre dos puntos aleatorios de un c´ırculo

Distancia entre dos puntos aleatorios de un cı́rculo
José R. Berrendero*
Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid, 28049 Madrid
1.
Planteamiento del problema
Sean X1 y X2 dos vectores aleatorios independientes con distribución uniforme en un cı́rculo
de radio R. El problema es determinar la distribución de la distancia Y = kX1 − X2 k y, una
vez obtenida la distribución, calcular su valor esperado, E(Y ).
2.
La función de covarianza de un conjunto
Dado un conjunto de Borel acotado S ⊂ R2 , la función de covarianza de S es
KS (u) = µ(S ∩ Tu S),
donde µ es la medida de Lebesgue y Tu S = {x − u : u ∈ S} es la traslación de S por el vector
−u.
La función de distribución de Y = kX1 −X2 k y la función de covarianza de S están relacionadas
de la siguiente forma:
Z
1
KS (u)du, 0 ≤ x ≤ diam(S),
(1)
F (x) = P(Y ≤ x) =
µ(S)2 B(0,x)
donde B(0, x) = {y ∈ R2 : kyk ≤ x} y diam(S) = sup{kx − yk : x, y ∈ S} es el diámetro del
conjunto S. Esta relación es consecuencia de aplicar la fórmula de solapamiento de Borel (véase,
por ejemplo, el lema 1.3 en Cabo and Baddeley (1995)) a la función f (u) = I[0,x] (u)/µ(S)2 .
3.
El caso de un cı́rculo de radio R
Si S = {x ∈ R2 : kxk ≤ R} y escribimos el argumento de KS en coordenadas polares, es
evidente por simetrı́a que KS (u) = KS (r cos θ, r sen θ) = g(r), donde g(r) es el área de la
intersección de dos cı́rculos de radio R, uno con centro en el origen y el otro con centro en
(0, r). Se puede comprobar que esta área es
√
r
r 4R2 − r2
2
2
g(r) = πR −
− 2R arctan √
, 0 ≤ r ≤ 2R.
2
4R2 − r2
Usando esta expresión y escribiendo la integral de (1) en coordenadas polares:
Z x Z 2π
Z x
1
2
F (x) = 2 4
rg(r)dr =
rg(r)dr.
π R 0 0
πR4 0
*
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1
Derivando esta expresión se deduce la función de densidad de Y :
√
4R2 − x2
2xg(x)
x
x
2x
0
2
2
f (x) = F (x) =
πR −
− 2R arctan √
,
=
πR4
πR4
2
4R2 − x2
donde 0 ≤ x ≤ 2R. Finalmente, podemos obtener el valor esperado calculando la correspondiente integral (usando, por ejemplo, algún programa de cálculo simbólico):
Z
E(Y ) =
2R
xf (x)dx =
0
4.
128
R ≈ 0,9054R.
45π
Comentarios finales
El resultado no es nuevo, se puede encontrar como unos de los casos que cubre el teorema 2.4
de Sheng (1985), aunque en este artı́culo se mencionan otras referencias mucho más antiguas,
publicadas en los años 40 del siglo XX.
En Dunbar (1997) se deduce la fórmula del valor esperado utilizando la llamada ecuación de
Crofton. También se deduce el valor esperado de Y para otras figuras diferentes al cı́rculo.
Por ejemplo, si S es un cuadrado de lado `,
√
√
2 2 + 10 log(1 + 2) + 4
` ≈ 0,5214`.
E(Y ) =
30
Un resultado general que también se menciona en Dunbar (1997) es que si S es un conjunto
convexo de área µ(S),
r
128 µ(S)
.
(2)
E(Y ) ≥
45π
π
Como hemos visto, para el cı́rculo se alcanza la igualdad, lo que asemeja (2) a la desigualdad
isoperimétrica.
Referencias
Cabo, A. and Baddeley, A. (1995). Line transects, covariance functions and set convergence.
Advances in Applied Probability, 27:585–605.
Dunbar, S. R. (1997). The average distance between points in geometric figures. College
Mathematics Journal, 28:187–197.
Sheng, T. (1985). The distance between two random points in plane regions. Advances in
Applied Probability, 17:748–773.
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