REGLA DE L`HOPITAL PARA SERIES Departamento de

Boletin
Nueva
de Maternat
icas
Serie VoU No.2 (1994) y Vol.1I No.1 (1995) (17-33)
REGLA
DE L'HOPITAL
Yu
Departamento
PARA
SERIES
TAKEUCHI
de Matematicas,
Universidad Nacional Colombia
RESUMEN. Se establecen propiedades
que pueden considerarse como versiones de reglas de L'H6pital para series de nurneros reales en algunos casas
y de complejos en otros; en todos ellos se reduce el limite de un cociente
de series al limite de un cociente de las sucesiones que generan a las series.
Se aplican los resultados al an alisis de la convergencia de la sucesion lineal
dcfinida mediante una formula de recurrencia de primer orden muy general.
§l. INTRODUCCION
Para el estudiante
promedio
no es diffcil resolver una buena cantidad
de problemas
de calculo que involucran
funciones continuas y derivables.
Por ejemplo,
si se quiere hallar el limite del eociente de dos funciones,
generalmente
basta aplicar la regla de L'Hopital.
En cambia los problemas
sabre sucesiones y series son mas dificiles para ellos ya que no eonoeen
metodos
.0
seneillos de soluci6n.
Parece que los matematicos
del siglo XIX
de comienzos del siglo XX, eran muy habiles para resolver problemas
sucesiones y series, puesto que ellos eontaban can herramientas
adecuadas,
hoy en dia ignoradas
de
de trabajo
0 desaparecidas,
En el conoeido libro de Bromwich [1] publieado en 1907(1), que era posi(1)
Thomas John I'Anson Bromwieh, 1875-1929
17
YU TAKEUCHI
18
blemente
un texto para el estudio del calculo a comienzos de este siglo,
aparecen los temas del calculo de hoy en dia, en forma paralela
milares en teorfa de series.
POl'
a sus si-
ejemplo, ademas de la regla de L'H6pital
usual, se halla una version discreta de la misma:
Primer
Teorema sobre el limite del Cociente
Si lim an
n-+oo
= 0,
lim bn
n-+oo
= 0, y adernas
la sucesion (bn) es estrictamente
decreciente,
entonces
suponiendo
que el limite del segundo cociente exista.
Segundo Teorema sobre el limite del Cociente (Cauchy-Stolz]
Si (on) es esLrictamente
creciente y diverge a
'.
11m
n-+CX)
suponiendo
an
_.
h = 11m
v
n
?'"!.--+oo
+00,
an+ 1 -
an
bn+1
""n.
-
h
entonces
;
queel limite del segundo cociente exista,
En las secciones que siguen se dara otra version de la Regia de L'Hopital,
equivalente
a los teoremas
aplicada en problemas
aqui mencionados,
pero mas comoda para ser
de series. Los teoremas 2 y 4 son las formulas para
calcular el valor estimado
de la cola de una serie convergente y de la cabeza
de una serie divergente.
§2. RegIa d~ L'Hopital
para series del tipo ~
Sean (an)n y (bn)n dos sucesiones tales que lim abn = 1. Decimos en tal
n-too
caso que "(an)"
es asint6ticamente
que est a relacion es de equivalencia
de reales.
00
Adernas si ~
k=l
a ;::;;Lb«.
igual a (bn)n".
n
Es sen cillo comprobar
en el conjunto de todas las sucesiones
00
ak Y ~
k=l
bk son convergentes
y lim ~n
n-+oo
=
L
i=
0, entonces
n
Esto significa que en este caso para k suficientemente
grande, ak
REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES
19
es casi igual a Lbi: Se deduce que para n suficientemente
00
00
L
L
ak ~
k=n+1
As! se obtendra
grande,
bk.
k=n+1
la aproximaci6n:
para "n" suficienternente
grande.
En forma mas precisa, se obtiene el siguiente teorema:
Teorema 1. (Regia de L'Hopitel
00
00
k=l
k=l
L ak Y L b
Sean
k
tipo OjO)
dos series convergentes Y supongamos
que 1a ultima
satisface 1a condicion adicional:
(1)
si existe e1 limite
.
an
11m -- =L
(2)
n~co
bn
entonces:
(3)
Demostracum ..
De la convergencia
converge absolutamente.
lak/bk
o sea lak - L·
okl <
E
de
L bk
Y de (1), se sigue que
Dado (
> 0 existe N tal que
LI < (
para todo k con k
·Ibk:
para todo k C0n k
> N.
L bk
> N,
Asi, para n
> N se
tiene:
00
00
/,,!!...m
oo
L
k=n+l
ak -
L·
L
k=n+1
00
00
bkl:s: }~~
L
k=n+1
lak ~ L ·bk\ <
('}!...ffi
oo
L
k=n+1
Ibki.
YU TAKEUCHI
20
00
Dividiendo la desigualdad
anterior por
L
I
I
bk se obtiene:
k=71+1
(4)
De la con dicion (1), 1a desigualdad
(3).
(4) garantiza
1a existencia
del limite
0
Observaci6n ..
Si bk
automdticamente
> 0 para todo k, entonces 1a condicion (1) se cumple
y en este caso e1 teorema
1 es "equiva1ente"
a1 Primer
Teorema sobre el limite del cociente", citado en la introduccion.
Si en el teorema 1 se su prime la condicion (1), el result ado no es valido,
como se ve en el ejemplo que sigue
Ejernplo
1. Sean
(an)"
y (bn)n dadas mediante
y
entonces se tiene evidentemente
que:
. an
1im L
n-OO
Un
=
1.
Sin embargo para n par, tenemos:
00
00
L
bk = 0
k=71+l
por lo tanto
n
-* 00.
e1 cociente
y
L
ak
i
0,
'\;=71+1
L~n+l
a;,./ L~n+1
Ok no converge cuando
0
Notese que la sucesion (b,,) no satisface la condicion (1), como puede
verificarlo ellector.
REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES
Ejemplo 2. Si Xn
::::;
C
. n y Bn
(siendo C una constante),
::::;
B
Bk
00
~
Xk·
21
XT<+l
B
::::;C2 . n'
En efecto, aplicando el teorema 1 se tiene:
-,-'f
n
lim Bk· k(k + 1)
k-.oc
XkXk+1
B
.
Ejemplo 3. Sl
1
Uk ::::; kp
(p> 1), entonces por el teorema 1,
00
Uk ~
y pOI el criterio de la integral
1
r»
I
= ~_
1
kp'
k=n+1
se tiene:
1
+ C + O( ~)
~dx
x'P
J:
P -
1
2:
L·
k=n+l
> ' .z. =
k=~ k'P
1
00
2:
(5)
.::::..
(C es una canstante)
n'P
. (1-
Inn·
.
_1_) + C + Or
p-l
\
l_)'
"I
'
luego
00
1
1
2:k
'P
=
p-1
+C
k=l
y por 10 tanto
1
00
1
1
"""'
=-·-+0(-).
LJ kp
p - 1 nP-1
(6)
k=n+l
De (5) y (6):
00
I:
(7)
1
ak::::;
1
p _ 1.
nP-1
k=n+l
Como un caso particular,
(8)
Si
o
cuando
.u
au ::::;2
n
p
= 2,
entonces
tenemos:
1
nP
entances
YU TAKEUCHI
22
00
Ejemplo 4. Sea
(X-X+
n~oo
k
una serie convergente de terrninos positivos; si
k=l
n 1)
I'
urn
LX
n
=
1, entonces
(9)
En efecto, par el teorema 1 se tiene que
Ejemplo 5. Sea (Xn) una sucesi6n de tulmeros complejos no nulos que
satisface
, Xn+!
I1m -Xn
( 10)
n~(X)
= 1',
11'1 < 1,
..
entonces:
(11)
En efecto,
I
00
L
00
(Xk-J
-
Xk! = IXnl
k=n+l
=
L
(!Xk-l!-
lXki),
(Serie telescopica)
k=n+l
Adernas:
iXk-l!
- IXkl > 0
para "k" suficientemente
grande y
aplicando el teorema 1 se tiene que
r
nl~
IXk-l - Xkl
(IXk-1i -IXkl)
11-
1'1
1 -11'1
REG LA DE L'HC>PITAL
PARA SERIES
23
Teorema 2. (Valor estimado de la cola de una serie convergente)
Sea (Xn)
una sucesion
(10); si (bn)
~
de usunetos
cornplejos
que satisface
la condici6n
b, entonces:
lim L~=n+l bk· Xk = ~
n~oo
Xn
1- r
(12)
o sea,
Demostracioti.
De (11) tenernoc que
L~n+l
!Xk-1
sup I
n IL~n+l(Xk-l-Xk)
-
Xkl
I
< +00,
00
por 10 tanto la serie I:(Xk-1
-
Xk) satisface la condicion (1) del teorema
k=l
1. Aplicando el teorema 1 se obtiene:
N6tese que
l'
puede ser O.
0
Ejemplo 6. El teorema 1 es tarnbien valido si la condicion (1) para (6
71)
es reernplazada
(13)
por la siguiente:
.
lim
n~oo
bn-l-'-
1
bn
:0::
r
con
0 < Ir I
<
En efecto, del teorema 2 se tiene que
L~n+l
ibkl
11'1
~ 1=H
ibnl
)'oot
........
k=n.,l
ibnl
I
I 'kl
y que
~1_1' 1(;0)
1- r
1.
YU TAKEUCHI
24
por 10 tanto
la sucesi6n (bn) satisface la condicion (1).
en consecuencia,
Ejemplo 7.
00
(i)
(ii)
(iii)
(iv )
(ipi <
(v)
§3 Regia de L'H6pital
para series del t ipo
Teorema 3. (Regia de L'Hopitel
Seeu
I:~l
ak,
I:~1 bk series
del tipo
divetgeates;
(1)
si existe el limite
(2)
lim ak
bk
k->oo
entonces iembien
(3)
1)
=L
00/00.
o
00
00
Jensen)
supongamos
edetnes que
REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES
Observaci6n.
Si bk
automaticamente
25
> 0 para todo k ; entonces la condicion (1) se cumple
y en este caso el teorema
3 es equivalente
al "Segundo
Teorema sobre el Limite del Cociente" citado en la introduccion.
Demostraci6n.
LI <
I~: -
> 0 existe N tal que
Dado
f
e,
sea,
0
lak - L . bkl <
f
2:~1 bk, y la
De la divergencia de la serie
·Ibkl
(para todo k
> N).
condicion (1), se tiene:
n
}~~I~
bkl =
+00,
k=l
entonces existe No (depende del N ya escogido) tal que
N
n
12::(ak -
bk)I/!2::
L·
k=l
bkl
<
£
k=l
Para n > No se tiene:
n
II)ak
k=l
N
n
-
L· ~
bkl ::;
n
I~(ak -
k=l
f
lak -
L· bkl
k=N+l
N
<
L
bk)1 +
L·
k=l
·1~
n
bk
k=l
I+ ~
n
f·
I b k I < 2f ~ I b k I·
k=N+l
k=l
n
Dividiendo la desigualdad
anterior por
IL bkl
se obtiene:
k=l
(4)
La condicion (1) y la desigualdad
para todo
(4) garantizan
ti
> No)
el limite en (3).
0
YU TAKEUCHI
26
Ejemplo 8. (Primer teorema de Cauchy)
' .
51 lim an
(5)
n-+oo
En efecto, aplicando
=S
entonces
.
al
lim
n-+co
+ az + ... + an = S.
n
el teorema 3 se obtiene:
Ejemplo 9. 5i lim (an+l - an)
n-+oo
=
S entonces
aplicando el teorema 3 se obtiene (considereando
lim an
n-oo
ao
n
=
S. En efecto,
= 0):
n
Corolar io. Segundo
zeorerna de Ceucliy
Sea (an) una sucesiot: de termitios positivos; si lim an+l = r, entonces:
n-+oo an
lim ~=
r.
n-+oo
Demostracion.
Tomando
tiene inmediatamente
Ejemplo 10. Sea
Xn+d
"log an" en lugar de "an" en el ejemplo 9 se ob-
el segundo teorema de Cauchy.
L:~=l X k
una serie divergente de terminos positivos; si
Xn ----.1 cuando n ----.00, entonces:
(6)
En efecto, par el teorema 3 se obtiene:
(Considere:
Xo
= 0.)
REGLA
DE L'HOPITAL
PARA
SERIES
27
Ejemplo 11. Sea (X n) una sucesion de mimeros complejos que satisface:
, Xn+l
11m -Xn
(7)
=
n .....oo
T
con
ITI>
1
entonces:
I:~=lIXk-Xk-ll
1I:~=l(Xk - Xk-1)1
lim
(8)
n-HXl
11
Fr=l'
Xo = 0 tenemos:
En efecto, considerando
n
n
/L(Xk
-
= IX
Xk-1)!
n -
Xol = IXnl = L(!Xk!-
IXk-1!),
k=l
k=l
Ademas,
IT -
/Xkl-IXk-1!
> 0 para "k" suficientemente grande, Aplicando el
teorema 3 se obtiene:
I::~=l IXk
-
Xk-1!
-
Xk-d!
I
i
I I:~=l
(Xk
Ir - 11
- iri -I'
Teorema 4. (Valor estimativo
Sea (Xn)
de la cabeza de una serie divergente)
una sucesi6n de rnimeros complejos que satisfacen la condici6n
7; si lim bn
n .....oo
= b entonces:
(9)
Demosiracion.
De acuerdo con el ejemplo 11, de Ia igualdad (8) se obtiene
YU TAKEUCHI
28
oo
L (X
Asl'la
serie
siendo
2:: bkX
k -
X
satisface
k-1)
la condici6n
k Y 2::(Xk - Xk-d
divergentes,
puede aplicarse el teorema 3
= 0):
Xo
Observacion.
La f6rmula (9) es valida cuando r
. lim -X
X n+ 1 =
S1
00
(
esto es, l'urn -XX nO) =
n
Ejernplo
3 y
k=n
(considerando
n-+(Xl
(1) del teorema
n-+oo
= 00,
a sea:
entonces
n+l
12.
n
(i) Lk(k+l).2k~n(n+l).2n+l
k=l
n
(;
2k
k(k
Lku
+ 1)(k + 2)
1
n
(iii)
2n+1
k
.. 2 ~ n(n
.na .pn+1
. pi< ~ __
+ 1)(n + 2)
(lpl> 1).
o
p- 1
k=1
Ejemplo 13.
t
(10)
1 ·3·5··· (2k - 1) ~ 2n+1
k=1
!Jr1i:'
u:
k!
V"
En efecto, aplicando
el teorema 4
2:::=1
- 1) ~ 2 1· 3· 5· ~/2n
1· 3·5· ~/2k
- 1)
Por la f6rmula de Stir-
ling:
1·3·5···(2n-1)
n!
par 10 tanto se obtiene la aproximaci6n
(2n)!
2n . (n!)2
(10).
2n
~
0
y7rn
REGLA
DE L'HOPITAL
PARA
29
SERIES
Ej'emplo 14. E1 teorema 3 es tambien valido si la condicion (1) para (bn)
es reemplazada
por la siguiente:
. bn+l
11m
-bn
(11)
=r
n~oo
1<
con
Irl < +00.
Su prueba es similar ala del ejemplo 6 de 130 §2.
§4. Formula
lineal de recurrencia
Consideramos
de 1e r orden
la formula lineal de recurrencia
.Xn+l = an ,Xn - bn
(1)
0
de primer orden
(n = 1,2,3, ... )
donde (an)",
(bn)n son sucesiones dadas.
Se sabe (ver [2]) que 10,solucion general de 10,formula. (1) estit dada
pOl'
(2)
Teorema
(an) ........a,
(bn) ........b (cuando n ........
(0); en tal caso
(i) Si lal < 1, etitouces
(ii) Si
(1) supoiigese que
5. En la Ioinule. de recurrencia
lal >
toda solucion (Xn) converge al limite _b __ .
a - 1
1, entonces
L
00
a) (Xn)
........00
b) (Xn)
--t
(3)
f: P =
b
k
k=lala2···ak
_b_ cuando XI = p.
a -
Notese que al setie p
Demostraci6n.
cuando Xl
=
1
bk
00
Lk=l
a] az ...
ak
converge absolutamente.
Si
A" = ----
1
(n=1,~,3,
... )
YU TAKEUCHI
30
al solucion general (2) de la formula (1) puede escribirse
entonces
como
sigue:
1
(4)
n
= A'
Xn+l
- I:Ak
[Xl
n
0)
Si
lal <
=
(n
·bk]
1,2,3, ... )
k=l
1, entonces:
= --
An+I/An
1
1
~ -
an+l
I~I-~
.
Ial - lal > 1 ,
con
a
por 10 tanto
An ~ 00,
Aplicando
1
n
el teorema 3 se obtiene que
A
~n
lim X-Ii
n+l - -
L" k=l
m
n--too
(li) Si lai
.
n-t(X)
lim -A = O.
a sea,
b
k'
An.
n-+oo
b . (~)
b
-1-1
a-I
k
a
> 1, entonces:
= --
An+l/An
1
1
~
an+l
I~I= ,I,ul < 1 ,
can
a
j
U
I
par 10 tanto
(cuando n ~ 00)
An ~ 0
Como la serie
I:~=l Ak . bk converge absolutamente
del cociente),
entonces cuando n ~ 00,
n
rv
[1q
-
00
,""",A
L...J
(par el criteria
.rv
1-1
r<k . UkJ
-r-r
[1\}
-
~A
L...J
k'
b'_v
kJ -
Xl
f:. p.
."\.1 -
P .
k=l
k=l
Por 10 tanto se tiene que
(Xn)
Si Xl = P =
Xn+l
I:~l
1
~
=A
.[L...J
n
~
00
cuando
Ak
•
bk, aplicando el teorema 2 se obtiene:
Ak
.
~
b, - L...J Ak . bkJ =
k=l
cociente que tiende a
I:~=n+l Ak
An
k=l
b·
(l)
al)
(1 - ;;-
b
a-I
o
.
bk
REGLA
Corolario 1. Sea (Xn)
DE L'HOPITAL
PARA
SERIES
31
una sucesi6n de tuituetos complejos que satisface
la desigualdad:
(4)
donde an
>
0, bn
>
0, Y
(5)
< 1,
lim an
lim b« = 0 ,
n-+oo
entonces:
=0
lim Xn
rl.-+(x)
Demostracion.
.
< 1, entonces existe una sucesi6n (an) tal que
a = lim an < 1. Sea (Yn) la sucesion determinadapor:
Como lim an
an ~ an, y an
---+
(n= 1,2,3, ... ), Y1 =
Yn+1 =an·Yn+bn
IXII.
Por el teorema 5 se tiene que
=0
lim Yn
71,-+00
Par inducci6n,
se obtiene inmediatamente
IXnl ~ Yn
para to do
.
la siguiente desigualdad:
n = 1,2,3, ... ,
par 10 tanto
lim
n-+oo
IXni =
0,
lim X
o sea
n-+oo
It
= o.
0
Ejemplo 15. Sea (Xn) una solucion de la formula de recurrencia:
(6)
si
L:~=l
Xn+1
Icnl
=
(Xn?
(X )2+1
n
+cn
< +00, entonces limn-+oo
En efecto, se tiene:
Xn
(n=1,2,3,
= 0.
... )
YU TAKEUCHI
32
Si la desigualdad
anterior tomamos n = 1,2,3, ... Ny sumarnos, obtenemos
IXn+1!
IXII +
S;
N
00
n=l
n=l
I:lenl S; IXII + I:lenl (= M),
por 10 tanto la sucesion (Xn) es acotada.
De
deducimos que
y por el corolario 1 del teorema 5 se concluye que (X n)
Ejemplo 16. Consideremos
(7\
\ • J
donde an
---t
a, bn
(Xn)
1
---t
---t
b con (3
L
,
=
O.
0
la sucesion
bn
X
n
+
Xn-t-l=an·Xn
---t
J
<
(an>O,bn>O),
a
<
b
,
I- a
I, b
n=1,2,3,
.. -
> 0; entonces:
para cualquier Xl
> O.
Demostracion. Primero observemos que
por 10 tanto:
1
I
lim < lim
Xn - n-oo 2 . Janbn
-
1
2·
Vab
o sea que la sucesion (Xl ) es acotada superiorrnente.
n
entonces L satisface la ecuacion:
L=a·L+-
b
L
,
Como L
=
J
b
I-a
,
REGLA
DE L'HOPITAL
De la formula de recurrencia
IXn+l - L1
=
(8)
-
- L)
Lb I
+ Xbnn
-
+ (an
- a) . L -
b·(X n -L)
X . L
n
+
b
< lan-
Como I(an
33
(7) se tiene que
lanXn - aL
= lan(Xn
PARA SERIES
b - b
Xn.LI·IXn-LI+I(an-~)·LI+1
a)· LI _ 0 y
b-b
n
Xn
b - b
I-n--I_
Xn
~n
I
I·
0 (cuando n _ (0) y
(ver la nota que sigue).
De la desigualdad
(8), aplicando
lim IXn
n-tOO
Nota.
~
2 a
a . (a2
-
LI
el corolario del teorema 5, se deduce que
= 0,
- a < 1 si y solo si
+ 2a + 1)
y esta ultima desigualdad
> 1 - a,
sea,
0
lim Xn
n-+oo
vr=a < 2va(a
0
sea,
4a3
se cumple para a
= L.
+ 1),
+ 8a2 + 5a
0
esto es,
- 1 > 0,
1
> 6'
REFERENCIAS
[1] T. J. Bromwich, An Introduction
Millan, London, 1926.
[2] Yu Takeuchi,
Universitaria
Estudio sistematico
No 20, pp. 3-74.
to the Theory of Infinite
de algunas
sucesiones,
Series,
(first edition),
Matern atica,
Mac
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