Lección 12: Áreas de figuras planas

LECCIÓN 12
Lección 12: Áreas
de figuras planas
Con frecuencia es necesario saber cuánto mide el área de
una superficie. Por ejemplo, cuando se va a pintar una pared
o cuando se van a poner azulejos en un piso. En esta lección
veremos a qué se refiere el concepto de área y cómo calcular
el área de diversas figuras.
Concepto de área
De la misma manera en que medir una longitud significa ver
cuántas veces cabe en ella una unidad determinada, por
ejemplo, un centímetro, medir un área significa ver cuántas
veces cabe en ella una unidad determinada. La diferencia es
que ahora la unidad debe ser una superficie y no un segmento.
Podemos pensar, por ejemplo,
que una unidad es una figura
como la siguiente:
= 1 unidad de área
Podemos entonces utilizar esa unidad para medir la figura
de la izquierda. Si colocamos la unidad dentro de la figura,
podemos ver que la unidad cabe exactamente 15 veces en
ella (figura de la derecha):
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS II
El área de esta figura es igual a 15 unidades
Sin embargo, no siempre se tendrá que la unidad cabe un
número exacto de veces en la superficie que se desee medir.
Por ejemplo, en las siguientes figuras:
si intentamos colocar la unidad en ellas, vemos que no cabe
un número exacto de veces:
El área de esta figura es
mayor de 10 unidades
El área de esta figura es
mayor de 15 unidades
En estas dos figuras es más difícil calcular el área. Una
manera de hacerlo es calcular por una parte cuántas veces
cabe la unidad en ellas (10 en la primera y 15 en la segunda),
y, por otra, cuántas unidades se necesitan para cubrirla:
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LECCIÓN 12
El área de esta figura es
menor de 18 unidades
El área de esta figura es
menor de 35 unidades
Podríamos entonces decir que el área de la primera figura
mide más de 10 y menos de 15 unidades, mientras que
la segunda está entre 15 y 35. Este método nos permite
aproximar la medida de un área mediante dos números: uno
que es más chico que ella y otro que es más grande,1 y se
puede utilizar cuando se tiene figuras con bordes irregulares,
como la segunda de nuestro ejemplo.
Sin embargo, hay otros métodos para calcular las áreas de
algunas figuras que permiten llegar a resultados más exactos,
sin necesidad de usar intervalos. Estos son los que veremos a
continuación.
Área del rectángulo
Consideremos nuevamente el primer ejemplo. En este
rectángulo vemos que la unidad cabe cinco veces a lo largo
y tres a lo ancho. Es decir, la base del rectángulo mide cinco
veces el lado del cuadrito que nos sirve de unidad de área y
la altura del rectángulo mide tres veces el lado del cuadrito.
1
Si nos parece demasiado grande la diferencia entre esos dos números, podríamos partir la
unidad en cuatro cuadritos y ver cuántos cuartos de cuadrito (o sea, de unidad) caben en cada
figura y cuántos se necesitan para cubrirla.
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS II
Si tomamos el lado
del cuadrito como unidad
de longitud, tenemos:
= 1 unidad de longitud
= 1 unidad de área
altura:
3 veces
la unidad
de longitud
base: cinco veces la
unidad de longitud
El área de esta figura es
igual a 15 unidades
Así, cuando llenamos de cuadritos el rectángulo, caben cinco
cuadritos a lo largo por cada hilera y caben tres hileras a
lo ancho: en total cinco cuadritos por cada una de tres
hileras, o sea 3 ˘ 5 = 15. Es decir, el área del rectángulo es
igual a la medida de la longitud de la base del rectángulo
por la medida de la longitud de su altura.
Lo mismo ocurre cuando las
medidas de ambos lados no
son un número entero de
veces la unidad, como en el
caso del segundo rectángulo
que tenemos en la lección:
altura:
2.5 veces
la unidad
de
longitud
base: 5.7 veces la unidad:
Ahora la base mide 5.7 unidades de longitud y la altura mide
2.5. Entonces podemos decir que el rectángulo tiene como
área 5.7 ˘ 2.5. Al efectuar esta operación obtenemos 14.25
unidades de área. Recordemos que previamente habíamos
dicho que este rectángulo medía entre 10 y 15 unidades:
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LECCIÓN 12
ahora sabemos que la medida exacta es de 14.25 unidades,
o sea 14 unidades y un cuarto de unidad.
Esto que hemos visto en dos ejemplos es cierto en general:
para calcular la medida del área de un rectángulo lo que
tenemos que hacer es multiplicar la medida de la longitud
de la base por la medida de la longitud de la altura. Dicho de
manera más corta, “base por altura” y expresado como
fórmula, si denotamos con b a la longitud de la base y con h
a la longitud de la altura, y si A es el área del rectángulo:
altura: h
A=b˘h
base: b
Encuentre las áreas de los rectángulos que tienen
estas medidas:
a) base = 4, altura = 3
b) base = 6, altura = 2
c) base = 143, altura = 56
d) base = 0.7, altura = 0.5
e) base = 5.8, altura = 3.2
f) base = 3.2, altura = 5.8
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS II
a) Compare los resultados obtenidos en los primeros incisos
a) y b) del ejercicio anterior. ¿En qué se parecen? ¿En qué
se parecen los rectángulos? ¿Y en qué difieren?
b) Compare los resultados obtenidos en los últimos incisos e)
y f) del ejercicio anterior. ¿En qué se parecen? ¿En qué se
parecen los rectángulos? ¿Y en qué difieren?
Recuerde que se puede considerar que los cuadrados son una
clase muy particular de rectángulos: tienen la base igual a la
altura. Si ? es la longitud del lado de un cuadrado, encuentre
la fórmula para el área.
Encuentre las áreas de los cuadrados que tienen estas
medidas:
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a) l = 1
d) l = 0.3
b) l = 2
e) l = 47
c) l = 0.5
f) l = 10
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a) ¿Se puede saber cuánto mide el área de un cuadrado si se
sabe que su perímetro es de 320 cm?
b) ¿Se puede saber cuánto mide el lado de un cuadrado si se
sabe que su área es de 240 cm2?
c) ¿Se puede saber cuánto mide el perímetro de un cuadrado
si se sabe que su área es de 36 cm2?
d) ¿Se puede saber cuánto miden los lados de un rectángulo
si se sabe que su área es de 240 cm2?
a) Si los lados del cuadrado B miden el doble de los lados
del cuadrado A, ¿cuánto mide el área del cuadrado B con
respecto al área de A? (Verifique su resultado con un
ejemplo)
b) Si los lados del rectángulo B miden el doble de los lados
del rectángulo A, ¿cuánto mide el área del cuadrado B
con respecto al área de A? (Verifique su resultado con un
ejemplo)
Área del triángulo
Para empezar, consideremos un triángulo rectángulo. Este
triángulo es la mitad de un rectángulo, como se puede ver en
la figura de la derecha. Observe que los dos triángulos que se
forman en el rectángulo tienen la misma forma y el mismo
tamaño, sólo que invertidos; si lo desea, puede copiar la figura
en un papel y recortar ambos triángulos; y superponerlos.
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS II
Entonces, el área de este triángulo es la mitad del área
del rectángulo, por lo que podemos encontrar el área
multiplicando la medida de la base por la medida de la
altura y dividir entre dos:
altura: h
Área del triángulo: A = b ˘ h
2
base: b
Cuando un triángulo no es rectángulo se puede hacer
algo similar. Por ejemplo, considere el triángulo ABC de
la siguiente figura. En él tomemos como base el lado AB
(podríamos tomar cualquier otro); en ese caso la altura
correspondiente es la que se marca en línea punteada en
la figura. Si ahora consideramos el rectángulo que tiene la
misma base que el triángulo y la altura del mismo,
obtenemos el rectángulo ABED:
C
A
B
D
C
E
A
F
B
Como ABED es un rectángulo, AB y DE tienen la misma longitud,
y DA, CF y EB tienen la misma longitud. Observe ahora que el
triángulo ACD tiene la misma forma y el mismo tamaño que
el triángulo AFC, y que el triángulo CBE tiene la misma forma
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LECCIÓN 12
y el mismo tamaño que el triángulo CFB (esto lo puede
verificar con el mismo procedimiento de copiar y recortar).
Esto quiere decir que en el rectángulo ABED cabe exactamente
dos veces el triángulo ABF, por lo que el área del triángulo
es nuevamente la mitad del área del rectángulo. Si b es la
medida de AB y h es la medida de DA, entonces el área del
rectángulo es b ˘ h, y tenemos:
Área del triángulo: A = b ˘ h
2
altura: h
base: b
Encuentre el área de los triángulos que tienen las siguientes
medidas:
a) base = 5, altura = 3
c) base = 4.2, altura = 15
b) base = 0.42, altura = 1.5
d) base = 84, altura = 73
Mida en centímetros las bases y las alturas de los siguientes
cinco triángulos, calcule las áreas y compárelas. ¿Qué observa?
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS II
En el triángulo de la derecha,
trace las tres alturas (extienda
para ello los lados BC y AC todo
lo que sea necesario). Después
mida en centímetros cada lado
y cada altura y calcule el área
del triángulo de las tres
maneras. ¿Qué observa?
A
B
C
Usando la regla y el compás, trace los triángulos que tienen
las medidas que se indican. Después elija en cada uno un
lado como base, trace la altura correspondiente y mídala,
y calcule el área de cada triángulo. Finalmente, compare
las tres áreas, ¿qué observa?
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a) AB = 10 cm
BC = 6.5 cm
AC = 9.5 cm
b) AB = 8 cm
BC = 8.5 cm
AC = 8.5 cm
c) AB = 12 cm
BC = 9 cm
AC = 6.8 cm
LECCIÓN 12
a) ¿Se puede saber cuánto miden los lados de un triángulo si
se sabe que su área es de 36 cm2?
b) ¿Se puede saber cuánto miden los lados de un triángulo
rectángulo si se sabe que su área es de 36 cm2?
Área del círculo
Consideremos un círculo cuyo radio sea r. Observemos que
si hacemos cuatro cuadrados cuyo lado sea r, obtenemos un
cuadrado grande en el que cabe completo el círculo:
r
r
El área de cada cuadrado chico es igual a r ˘ r, o sea igual
a r2, por lo que el área del cuadrado grande es igual a 4 ˘ r2.
Entonces, lo que sabemos acerca del área del círculo es que
es menor que 4r2. ¿Cuántas veces tendríamos que tener el
área del cuadrado de lado r para tener el área del círculo?
Ese número es claramente mayor que 1 y menor que 4. La
respuesta a esa pregunta es nuevamente el número p (pi),
que usted ya vio en su curso anterior y que se mencionó
en la lección 11. Ese número es un poco mayor que 3 y es
aproximadamente igual a 3.14.
p = 3.14
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS II
La medida del área de un círculo es igual a p veces la medida
del cuadrado de lado r. Esto es:
radio: r
Área del círculo: A = p ˘ r2
Encuentre las áreas de los círculos cuyos radios son:
a) r = 7.36
c) r = 0.46
b) r = 2.4
d) r = 100
Utilice su regla para medir
las longitudes que necesite y
calcule el área sombreada en
la figura de la derecha.
138
LECCIÓN 12
En el siguiente cuadro resumimos las fórmulas vistas en
este capítulo:
Figura
Fórmula
del área
Manera de calcularla
Rectángulo
A=b˘h
base por altura
Cuadrado
A = l2
lado al cuadrado
Triángulo
A= b˘h
2
base por altura entre dos
Círculo
A = p ˘ r2
pi por radio al cuadrado
Las fórmulas anteriores pueden servir también para calcular
áreas que no son rectángulos, cuadrados, triángulos ni
círculos pero que se pueden descomponer en varias figuras
con esas formas. Por ejemplo, las siguientes figuras se
pueden descomponer como se indica con líneas punteadas:
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS II
a) Haga las mediciones necesarias en centímetros en las
figuras anteriores, y calcule el área de cada una.
b) En las tres primeras figuras, trace otras líneas para formar
rectángulos, cuadrados o triángulos, y calcule el área
nuevamente considerando la nueva descomposición.
c) Calcule en m 2 el área del siguiente patio:
4.50 m
0.80 m
4.00 m
4.00 m
3.55 m
6.00 m
2.90 m
Don Pablo acaba de inaugurar una
cafetería, y desea anunciarla con una
gran manta. Compra 10 m de tela de
1.50 m de ancho y parte esa tira en
dos pedazos iguales, cada una de
1.50 m de ancho. Después cose a lo
largo las dos tiras. Para cada costura
y el dobladillo de cada orilla debe
apartar 2 cm (es decir, 0.02 m).
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LECCIÓN 12
a) ¿Cuánto mide la parte útil de cada pedazo?
b) ¿Cuánto mide de largo y de ancho la manta?
c) ¿Qué área tiene la manta?
El jardinero de un nuevo centro comercial va a utilizar
un cuadrado de terreno de 12 m de lado para poner, en un
círculo del mayor tamaño posible, plantas de flores amarillas.
En el resto del terreno va a poner plantas de flores rojas.
a) ¿Cuánto mide el área que va a plantar con plantas de
flores amarillas y cuánto mide en la que va a poner flores
rojas? Sugerencia: el diámetro del círculo es igual al lado
del cuadrado.
b) Si las plantas de flores amarillas se deben sembrar a
razón de 12 en cada metro cuadrado, y las plantas de
flores rojas a razón de 25 en cada metro cuadrado,
¿cuántas plantas debe comprar de cada color?
c) Si cada planta de flores amarillas cuesta $12 y cada
planta de flores rojas cuesta $20, ¿cuánto gasta el
centro comercial en plantas?
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS II
Se desea pintar las paredes de un cuarto, sin pintar la puerta
ni las ventanas cuadradas (que tienen 90 cm de lado) ni las
redondas (que tienen 60 cm de diámetro). Si un litro de
pintura alcanza para pintar 8 metros cuadrados, ¿cuántos
litros de pintura se deben comprar?
4.00 m
3.60 m
2.30 m
3.60 m
4.00 m
1.00 m
2.30 m
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1.90 m